#フーリエ変換の性質や諸公式 30 #微分方程式 を解く時に便利な #フーリエ変換 の性質… ℱ[ (d/dt) f(t) ] = jωℱ[ f(t) ] = jω F( jω ) ↑ 「#微分 のフーリエ変換は フーリエ変換の #周波数 倍」 #微分演算子 をjωに置き換えられるので 微分方程式が ωの #代数方程式 になる！

#シュレディンガー方程式の導出 44 #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆－e^2 / 4πε_0 r}X＝EX に ∆＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) を代入すれば #極座標系 ( r，θ，φ ) の #微分方程式 になる！！

#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#大学の力学_惑星の運動編 50 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) も #ケプラーの第１法則(#楕円軌道)も 下記の手順で導出できる. ① 物理法則を #微分方程式 で書く. ↓ ② ①を変形し d/dt～＝0の形を作る。 それが #保存量. ↓ ③ ②をtで積分すると 微分方程式が解けた事になる.

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」(1968久賀) 前書きより: 『#モノドロミー群 Γの重要性は 解法理論にあるのではなく むしろ #微分方程式 が #初等的 に解けない時に威力を発揮. 特別な型の #Fuchs型 微分方程式論を #保型関数論 と結び付け 解の深い構造の追求…』

#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式: {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量 演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは，上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ 具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。

#大学の力学_惑星の運動編 42 そもそも #時間微分 の記号d/dtを含む #微分方程式 を 「解く」とは， d/dtの記号を「外す」(消す)こと. (d/dt)(何かの関数)＝0 ↓ ↓ 両辺を時間で #積分 ↓ 何かの関数＝一定 これで「d/dt」という記号が消えたので 微分方程式を「解けた」ことになる.

#大学の力学_惑星の運動編 41 物理で，#運動方程式 などの #微分方程式 を解くコツは ズバリ「時間不変の #保存量 を見つけること」. 時間不変(時間変化がゼロ)とは (d/dt)(何かの関数)＝0 ↑ この「何かの関数」が保存量. 保存量を作れたら微分方程式は「解ける」. なぜそう言える？

#アナログ信号の解析法 51 #フーリエ級数展開 や #複素フーリエ級数展開 と比べた場合の #フーリエ変換 のメリット: ･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる ･#微分方程式 を解くのに役立つ ･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

＜#解析力学の参考書＞ 岩波講座 現代数学への入門 「解析力学と微分形式」(岩波書店1996) amazon.co.jp/dp/4000106260 前書きより 『"#多様体論" として学ぶと #抽象的 に見える事柄が， "#微分方程式 を #変数変換 して #解く" ための 重要な #手法 である事を 理解して頂けたら幸いである』

#アナログ信号の解析法 50 #フーリエ変換 の応用 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95… ・「最も重要なフーリエ変換の使用例は #偏微分方程式 の解を求めること」 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95… ・フーリエ変換と #微分作用素 は #両立 するので #微分方程式 を #代数方程式 に書き換えることができる.

＜#代数学の参考書＞ 「群と物理」(丸善1992佐藤) 前書きより引用: 『#物理 では #ニュートンの運動方程式 に始まる #微分方程式 による #解析的 な方法が よく知られているが， #群論 のような #代数的，#幾何的 な ものの見方も大切で 現在では #物理数学 の重要な一分野。』

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」(1968久賀) 前書きより: 『#基本群 Γは #微分方程式 の #解法理論 において Picard-Vessiot群Gほど強力ではない. しかし対象とする微分方程式を #Fuchs型 のみに限るなら その解法理論は #モノドロミー群 Γだけで 完全に記述できる.』

#ルベーグ積分と関数解析の参考書 「ルベーグ積分入門」 (内田老鶴圃1974洲之内) 前書きより: 「理工系の基礎数学として ･#微積分　に続いて ･#複素関数論 ･#微分方程式 という伝統的なコースがあるが 最近は ･#ルベーグ積分 ･#関数解析 というコースが 必須のものとなりつつある。」

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学―可積分系講義」 (共立出版2000Audin) 序文より: 『#微分方程式 を解く事を 伝統的な用語では 「#積分 する」という。 #可積分系(#積分可能系)は 19世紀半ばに J. Liouville が 初めて明確な #定義 を与えて以来， さまざまな #変遷 の歴史を経て…』

＜#代数学の参考書＞ 「群の発見」(2001原田) 前書きより: 『#群 が生まれ 数学の各分野が #近代化 した. #微分方程式 にも #代数方程式 のように 何かの群が背後に 隠されているのではないか という疑問から #リー は #19世紀 の終わり頃 #解析群論(後に #リー群 と呼ばれる) を始めた.』

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」(1968久賀) 前書きより: 『#微分方程式 の #定義域 のつながり具合を 示すのに使われる， 純粋に #位相幾何学的 に 定義される #群。 それは #基本群 とか #モノドロミー群 とか呼ばれている。 微分方程式の解の #多価性 をも表現…』

#シュレディンガー方程式の導出 5 問題: 水平にx軸を取り 両側の壁に水平に固定された弦がある時， 弦をつまんで持ち上げ手を離すと 弦全体はどんな運動をするか？ 位置xにおける時刻tの弦の振幅をu(x,t)とし u_xx ＝ (1 / v^2) u_tt なるuの #微分方程式 を導出せよ(下添え字は偏微分)

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」 (日本評論社1968久賀) 前書きより引用: 『#線型常微分方程式 の 場合を含む ある #特殊 な #型 の #微分方程式 に対しては 十分 #成功 したものの， #Lie 自身が はじめに #想定 した形の #理論 からは #ほど遠い ように思われる。』

今日の夜勉。 引き続き微分方程式。 微分方程式のお作法になかなか慣れない火曜日の夜💦 #夜勉 #数学 #勉強記録 #微分方程式 pic.x.com/roGB2wbdGM

#ルベーグ積分と関数解析の参考書 「ルベーグ積分入門」 (内田老鶴圃1974洲之内) 前書きより: 「理工系の基礎数学として ･#微積分　に続いて ･#複素関数論 ･#微分方程式 という伝統的なコースがあるが 最近は ･#ルベーグ積分 ･#関数解析 というコースが 必須のものとなりつつある。」

今日の昼勉。 今日は前日の運動会の振替日だったらしく、人が多いので早々に退散。 コツコツと。 微分方程式は久しぶりに解くとなかなか辛い汗 #微分方程式 #昼勉 #勉強記録 #数学 pic.x.com/CXYYi9nI05

間違えて記事を一回消すという挫折を経て、ついに書ききれました！！ 分数階微分積分学の備忘録 mathlog.info/articles/w8YDp… #Mathlog #積分 #微分方程式 #分数階微積分学 pic.x.com/CySZZArPux

電験二種とる～！！微分方程式その２．RL直列回路を解く⚡ youtu.be/vH3AowzAECw RL直列回路の過渡現象を微分方程式を使って解いてみましょう⚡ 何回か問題を解いて書けばマスターできるよ！！ #電験二種 #電験三種 #電気主任技術者 #電験理論 #SAT電験 #過渡現象 #微分方程式

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」(1968久賀) 前書きより: 『#微分方程式論 における #群論 的考察の手段として作った #Lie群 の名が #Lie の名を不朽にしている. 元来の目標である #微分方程式 論の #群論的 考察には Lie自身はあまり 決定的な寄与はできなかった.』

#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.

この手の小話の変種がたくさんあるようです。#微分方程式 x.com/subarusatosi/s…