＜#素粒子論の基礎試験＞ 9 ▶#素粒子論の基礎知識のテスト おまけ:数学の知識を要する問題 (26)#マクスウェル方程式 を下記3通りで記述せよ a)4つの #微分方程式 b)#相対論 の #四元ポテンシャル c)#微分形式 (27)#カラビ・ヤウ多様体 の定義を簡単に (28)#標準模型 の #ゲージ群 は?

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」 (日本評論社1968久賀) 前書きより引用: 『#線型常微分方程式 の 場合を含む ある #特殊 な #型 の #微分方程式 に対しては 十分 #成功 したものの， #Lie 自身が はじめに #想定 した形の #理論 からは #ほど遠い ように思われる。』

#ルベーグ積分と関数解析の参考書 「ルベーグ積分入門」 (内田老鶴圃1974洲之内) 前書きより: 「理工系の基礎数学として ･#微積分　に続いて ･#複素関数論 ･#微分方程式 という伝統的なコースがあるが 最近は ･#ルベーグ積分 ･#関数解析 というコースが 必須のものとなりつつある。」

#大学の力学_惑星の運動編 42 そもそも #時間微分 の記号d/dtを含む #微分方程式 を 「解く」とは， d/dtの記号を「外す」(消す)こと. (d/dt)(何かの関数)＝0 ↓ ↓ 両辺を時間で #積分 ↓ 何かの関数＝一定 これで「d/dt」という記号が消えたので 微分方程式を「解けた」ことになる.

＜#物理数学の参考書＞ SGCライブラリ83 「共形場理論 現代数理物理の基礎として」(2011伊藤) p65より引用: 『#ミニマル模型 において， #縮退primary場 の #相関関数 は， #確定特異点 をもつ #微分方程式 をみたす. この微分方程式を #解く ことにより #共形ブロック が #決定 される.』

#大学の力学_惑星の運動編 41 物理で，#運動方程式 などの #微分方程式 を解くコツは ズバリ「時間不変の #保存量 を見つけること」. 時間不変(時間変化がゼロ)とは (d/dt)(何かの関数)＝0 ↑ この「何かの関数」が保存量. 保存量を作れたら微分方程式は「解ける」. なぜそう言える？

#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 76 ①#最小作用の原理 δS＝0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ↑ いずれも 「#微分方程式 を作るための方程式」 と考えるとよい. つまりその式自体を "解く" というより， 変形・代入して 別の微分方程式を生み出すのが目的.

#解析力学_Lagrange形式編 62 Q. 物理学で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. #最小作用の原理 を満たす軌跡を #変分法 で導出した #微分方程式. #ニュートンの運動方程式 を 数学的に洗練された方法で定式化し直し #一般化座標 に拡張したもの. #ラグランジュの運動方程式.

＜#物理数学の参考書＞ 「物理・工学のための グリーン関数入門」 (東海大出版2000松浦) 前書きより: 『#非同次 の #微分方程式 の 解法は面倒であるが #常微分方程式 の場合は #定数変化法 などで比較的 容易に解ける場合が多い。 しかし実際の #応用 では #偏微分方程式 が多く現れ…』

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」(1968久賀) 前書きより: 『#微分方程式論 における #群論 的考察の手段として作った #Lie群 の名が #Lie の名を不朽にしている. 元来の目標である #微分方程式 論の #群論的 考察には Lie自身はあまり 決定的な寄与はできなかった.』

＜#物理数学の参考書＞ 「問題-解答形式　物理と特殊関数」 (共立出版2004平松) 前書きより: 「#物理学 で 現象を規定する #方程式 のうち #2階 の #微分方程式 で， #解 が #特殊関数 で表される 問題を多く取り上げ その性質に関するもの， それを使わなければ 解の得られない問題を…」

#シュレディンガー方程式の導出 44 #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆－e^2 / 4πε_0 r}X＝EX に ∆＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) を代入すれば #極座標系 ( r，θ，φ ) の #微分方程式 になる！！

＜#物理数学の参考書＞ SGCライブラリ55 「超幾何関数入門」(2007木村) 前書きより引用: 『#標語的 に言えば， #微分方程式 や #公式 の #具体的 な形は 覚えている必要はなく， #自然数 N の #分割 が指定されれば， 微分方程式も それらについての様々な公式も 原則的に #復元 できる。』

#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式: {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量 演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは，上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ 具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。

#解析力学_Lagrange形式編 25 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対する #汎関数 S[q](ε)＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt ★ が満たす #微分方程式 は [ dS/dε ]_{ε=0} ＝0 であり， Sをεで微分する計算が必要. この計算を進めるには， ★の右辺より Lをεで微分する計算が必要.

#解析力学_Lagrange形式編 24 ① #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. … ③ q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t)の時 [ dS/dε ]_{ε=0} ＝0 ①は積分形の式だが，問題を言い換え ③の #微分方程式 に変形できた. 次ツイから，③左辺の dS/dεを詳しく計算してみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 19 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる」★ ↑ ★は，物理学的には #ラグランジアン Lの時間積分という #作用汎関数 が最小値をとること. すなわち #最小作用の原理 に相当する. ★を変形し q(t)が満たす #微分方程式 を作るには?

#シュレディンガー方程式の導出 5 問題: 水平にx軸を取り 両側の壁に水平に固定された弦がある時， 弦をつまんで持ち上げ手を離すと 弦全体はどんな運動をするか？ 位置xにおける時刻tの弦の振幅をu(x,t)とし u_xx ＝ (1 / v^2) u_tt なるuの #微分方程式 を導出せよ(下添え字は偏微分)

#解析力学_Lagrange形式編 18 3つの引数をとる既知関数 L(q,q̇,t) がある. 未知関数q=q(t)を引数にとる #汎関数 S[q] として S[q]＝∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt を考える。 S[q] が #極値(#停留値)をとるような 関数q(t)を求めよ. (=そのようなq(t)が満たす #微分方程式 を作る手順を示せ.)

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#解析力学_Lagrange形式編 16 Q. 一般的に，#変分法 で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. Euler–Lagrange equation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#汎関数 の停留値を与える関数」 を求める #微分方程式. 一般的な汎関数に対し， オイラー・ラグランジュ方程式は 物理学と無関係に成立.

＜#物理数学の参考書＞ 復刊「特殊函数」(朝倉書店1967～2004小松) 前書きより: 『#特殊函数 は， #解析函数 や #微分方程式 の #理論 とその #応用 との間の #橋渡し をする立場にある. 理論の #成果 を 応用という面を通して #具現 するとともに 逆に #一般的 理論への 素材を提供する.』

#シュレディンガー方程式の導出 44 #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆－e^2 / 4πε_0 r}X＝EX に ∆＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) を代入すれば #極座標系 ( r，θ，φ ) の #微分方程式 になる！！

＜#代数学の参考書＞ 「群と物理」(丸善1992佐藤) 前書きより引用: 『#物理 では #ニュートンの運動方程式 に始まる #微分方程式 による #解析的 な方法が よく知られているが， #群論 のような #代数的，#幾何的 な ものの見方も大切で 現在では #物理数学 の重要な一分野。』

#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式: {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量 演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは，上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ 具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。

#シュレディンガー方程式の導出 5 問題: 水平にx軸を取り 両側の壁に水平に固定された弦がある時， 弦をつまんで持ち上げ手を離すと 弦全体はどんな運動をするか？ 位置xにおける時刻tの弦の振幅をu(x,t)とし u_xx ＝ (1 / v^2) u_tt なるuの #微分方程式 を導出せよ(下添え字は偏微分)

#解析力学_Hamilton形式編 27 Q. #ラグランジュ形式 と比較して #ハミルトン形式 のメリット&デメリット A. デメリット: #オイラー・ラグランジュ方程式 と比べ #ハミルトンの正準方程式 は 変数も方程式も個数が2倍. メリット: #微分方程式 の階数が1階で済み #量子力学 へ移行もしやすい.

#解析力学_Hamilton形式編 25 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式: L(q,q̇)に対し ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式: H(q,p)に対し ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ この2つで 「#微分方程式 の #階数」は異なる? A. ①q(t)に関し2階. ②q(t),p(t)に関しそれぞれ1階.

＜#解析力学の参考書＞ 岩波講座 現代数学への入門 「解析力学と微分形式」(岩波書店1996) amazon.co.jp/dp/4000106260 前書きより 『"#多様体論" として学ぶと #抽象的 に見える事柄が， "#微分方程式 を #変数変換 して #解く" ための 重要な #手法 である事を 理解して頂けたら幸いである』

#解析力学_Hamilton形式編 27 Q. #ラグランジュ形式 と比較して #ハミルトン形式 のメリット&デメリット A. デメリット: #オイラー・ラグランジュ方程式 と比べ #ハミルトンの正準方程式 は 変数も方程式も個数が2倍. メリット: #微分方程式 の階数が1階で済み #量子力学 へ移行もしやすい.

#解析力学_Hamilton形式編 4 #ラグランジアン Lを変形して #ハミルトニアン Hを定義した という事は… ･Lと同じく Hの引数も #独立変数 である事 ･Hの満たす #微分方程式 も， 「なにで偏微分するか」の 微分と代入の記法が 曖昧になり混乱しやすい。という事 …に気を付けよう！

#解析力学_Hamilton形式編 25 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式: L(q,q̇)に対し ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式: H(q,p)に対し ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ この2つで 「#微分方程式 の #階数」は異なる? A. ①q(t)に関し2階. ②q(t),p(t)に関しそれぞれ1階.

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学―可積分系講義」(2000) 序章より 『#自転 する #コマ は #18世紀 以来 #研究 され #微分方程式 の #解 が #楕円函数 あるいはKowalevskiの例では #超楕円曲線 に関連する #Abel函数 で表せる事が よく知られている. 今日ではその全景に #代数曲線…』

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」(1968久賀) 前書きより: 『#モノドロミー群 Γの重要性は 解法理論にあるのではなく むしろ #微分方程式 が #初等的 に解けない時に威力を発揮. 特別な型の #Fuchs型 微分方程式論を #保型関数論 と結び付け 解の深い構造の追求…』

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学―可積分系講義」 (共立出版2000Audin) 序文より: 『#微分方程式 を解く事を 伝統的な用語では 「#積分 する」という。 #可積分系(#積分可能系)は 19世紀半ばに J. Liouville が 初めて明確な #定義 を与えて以来， さまざまな #変遷 の歴史を経て…』

#解析力学_Hamilton形式編 4 #ラグランジアン Lを変形して #ハミルトニアン Hを定義した という事は… ･Lと同じく Hの引数も #独立変数 である事 ･Hの満たす #微分方程式 も， 「なにで偏微分するか」の 微分と代入の記法が 曖昧になり混乱しやすい。という事 …に気を付けよう！