#3次元・極座標のラプラシアン導出 5 ▶文献1続 その∂/∂x，∂/∂y，∂/∂zを2乗し足し合わせ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 =∇^2=∆の極座標表示を得る. それを活用し 6章「#水素原子」 §6.1「エネルギー固有値と固有関数」で #シュレディンガー方程式 を #変数分離 で解いている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 2 3次元空間の #ラプラシアン∆を (x，y，z) の #直交座標系 ではなく (r，θ，φ) の #極座標系(球面座標系)で 書き直す必要があるのはなぜか。 一例として， 水素原子の電子が満たす 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を解く という目標がある。

#シュレディンガー方程式の導出 44 #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆－e^2 / 4πε_0 r}X＝EX に ∆＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) を代入すれば #極座標系 ( r，θ，φ ) の #微分方程式 になる！！

#シュレディンガー方程式の導出 41 3次元の #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X に， #水素原子 の #原子核 が生む #ポテンシャル U(r) = －e^2 / 4πε_0 r を代入すると… { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X

#シュレディンガー方程式の導出 40 3次元の #シュレディンガー方程式 を #水素原子 の #電子 に適用する. 水素原子の #原子核 から電子までの距離をr #電荷素量 をeとおくと… 電子が受ける #クーロン力 は F(r) = e^2 / 4πε_0 r^2 なる #引力. #ポテンシャル は U(r) = －e^2 / 4πε_0 r

#シュレディンガー方程式の導出 39 時間非依存の #シュレディンガー方程式: ▶1次元 {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) ＝ E X(x) ▶3次元 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] ＋U } X ＝ E X ∴ {－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X #ラプラシアン が現れる。

#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式: {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量 演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは，上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ 具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。

#シュレディンガー方程式の導出 34 21世紀の今 #前期量子論 を初学者が学ぶ意味は 薄れたと言われます. 最近の #量子論 の本は #シュレディンガー方程式 を あえて解かない物もあります. が，#量子力学 はともかく #量子化学 は シュレディンガー方程式を 解かないわけにはいきませんね.

#シュレディンガー方程式の導出 31 #量子化学 の学び始めの #前期量子論 の部分では， #特殊相対論 の結果を使う. その際，前提知識を深堀りはせず 理由も良く分からないまま いきなり #相対論 の結果式 E＝cp を使う. そして #シュレディンガー方程式 を導き #演算子対応 を受け入れる…

#シュレディンガー方程式の導出 30 ちゃんとやると 下記の順序になる。 #マクスウェル方程式 の #電磁気学 および #ガリレイ変換 下での破綻 ↓ #特殊相対論 での #テンソル 計算 ↓ #光子 の #相対論的エネルギー E＝cp ↓ #シュレディンガー方程式 導出 ↓ それをもとにした #量子化学

#シュレディンガー方程式の導出 29 #大学化学 の土台は #量子化学 で 真っ先に習うのが #シュレディンガー方程式。 しかし，その導出時に 初手で必要になるのが #特殊相対性理論 の E ＝√( m^2・c^4 ＋ p^2・c^2 ) ＝ pc という式。 #相対論 未修なのに 結果だけ先取りするのである…！

#シュレディンガー方程式の導出 28 ここまでで 古典論の #波動方程式 から 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を導出し #運動量演算子 p=±iℏ(d/dx) を得た. 参考文献: 例えば東京化学同人 「量子化学・基本の考え方16章」6章 §6.3 電子の波動方程式 ～ §6.5 ハミルトン演算子 を参照.

#シュレディンガー方程式の導出 27 #電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2＋U(x) } X = E X ① ここで，古典力学での 全エネルギーの定義は p^2 / 2m ＋ U(x) = E ② ①左辺と ②左辺を比べると －(ℏ^2)(d/dx)^2 = p^2 ∴ p = ±i ℏ (d/dx)

#シュレディンガー方程式の導出 26 #電子 のみたす #波動方程式 －(ℏ^2 / 2m)X_xx ＋ U X = E X ↓ {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X ＝ E X これを，1次元の 「時間に依存しない #シュレディンガー方程式」 と呼ぶ。 左辺の { } 内は 右辺の #エネルギー Eに対応すると考えられる。

#シュレディンガー方程式の導出 11 前ツイまでで 古典論の #波動方程式 u_xx ＝ (1/c^2) u_tt の導出方法や， 偏微分方程式としてのタイプも確認できた。 この古典論の波動方程式をもとに #量子化学 の主役である 量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 6 参考文献: 量子論的な波動方程式 (#シュレディンガー方程式) を学ぶための前段階として， まず先に 古典論の #波動方程式 を 導出させる #量子化学 の教科書としては たとえば東京化学同人 「量子化学　基本の考え方16章」 の6章などが挙げられる。

#シュレディンガー方程式の導出 3 #量子化学 の典型的カリキュラム: ･講義1回目で #前期量子論 をやり ･#古典力学 の #波動方程式 を見せ ･そこからの類推で，水素原子の #シュレディンガー方程式 を導出。 この流れを 「#シュレディンガー方程式の導出」 のタグで紹介してゆきます。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 5 ▶文献1続 その∂/∂x，∂/∂y，∂/∂zを2乗し足し合わせ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 =∇^2=∆の極座標表示を得る. それを活用し 6章「#水素原子」 §6.1「エネルギー固有値と固有関数」で #シュレディンガー方程式 を #変数分離 で解いている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 2 3次元空間の #ラプラシアン∆を (x，y，z) の #直交座標系 ではなく (r，θ，φ) の #極座標系(球面座標系)で 書き直す必要があるのはなぜか。 一例として， 水素原子の電子が満たす 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を解く という目標がある。

#シュレディンガー方程式の導出 44 #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆－e^2 / 4πε_0 r}X＝EX に ∆＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) を代入すれば #極座標系 ( r，θ，φ ) の #微分方程式 になる！！

#シュレディンガー方程式の導出 41 3次元の #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X に， #水素原子 の #原子核 が生む #ポテンシャル U(r) = －e^2 / 4πε_0 r を代入すると… { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X

#シュレディンガー方程式の導出 40 3次元の #シュレディンガー方程式 を #水素原子 の #電子 に適用する. 水素原子の #原子核 から電子までの距離をr #電荷素量 をeとおくと… 電子が受ける #クーロン力 は F(r) = e^2 / 4πε_0 r^2 なる #引力. #ポテンシャル は U(r) = －e^2 / 4πε_0 r

#シュレディンガー方程式の導出 39 時間非依存の #シュレディンガー方程式: ▶1次元 {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) ＝ E X(x) ▶3次元 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] ＋U } X ＝ E X ∴ {－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X #ラプラシアン が現れる。

#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式: {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量 演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは，上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ 具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。

#シュレディンガー方程式の導出 34 21世紀の今 #前期量子論 を初学者が学ぶ意味は 薄れたと言われます. 最近の #量子論 の本は #シュレディンガー方程式 を あえて解かない物もあります. が，#量子力学 はともかく #量子化学 は シュレディンガー方程式を 解かないわけにはいきませんね.

#シュレディンガー方程式の導出 31 #量子化学 の学び始めの #前期量子論 の部分では， #特殊相対論 の結果を使う. その際，前提知識を深堀りはせず 理由も良く分からないまま いきなり #相対論 の結果式 E＝cp を使う. そして #シュレディンガー方程式 を導き #演算子対応 を受け入れる…

#シュレディンガー方程式の導出 30 ちゃんとやると 下記の順序になる。 #マクスウェル方程式 の #電磁気学 および #ガリレイ変換 下での破綻 ↓ #特殊相対論 での #テンソル 計算 ↓ #光子 の #相対論的エネルギー E＝cp ↓ #シュレディンガー方程式 導出 ↓ それをもとにした #量子化学

#シュレディンガー方程式の導出 29 #大学化学 の土台は #量子化学 で 真っ先に習うのが #シュレディンガー方程式。 しかし，その導出時に 初手で必要になるのが #特殊相対性理論 の E ＝√( m^2・c^4 ＋ p^2・c^2 ) ＝ pc という式。 #相対論 未修なのに 結果だけ先取りするのである…！

#シュレディンガー方程式の導出 28 ここまでで 古典論の #波動方程式 から 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を導出し #運動量演算子 p=±iℏ(d/dx) を得た. 参考文献: 例えば東京化学同人 「量子化学・基本の考え方16章」6章 §6.3 電子の波動方程式 ～ §6.5 ハミルトン演算子 を参照.

#シュレディンガー方程式の導出 27 #電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2＋U(x) } X = E X ① ここで，古典力学での 全エネルギーの定義は p^2 / 2m ＋ U(x) = E ② ①左辺と ②左辺を比べると －(ℏ^2)(d/dx)^2 = p^2 ∴ p = ±i ℏ (d/dx)

#シュレディンガー方程式の導出 26 #電子 のみたす #波動方程式 －(ℏ^2 / 2m)X_xx ＋ U X = E X ↓ {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X ＝ E X これを，1次元の 「時間に依存しない #シュレディンガー方程式」 と呼ぶ。 左辺の { } 内は 右辺の #エネルギー Eに対応すると考えられる。

#シュレディンガー方程式の導出 11 前ツイまでで 古典論の #波動方程式 u_xx ＝ (1/c^2) u_tt の導出方法や， 偏微分方程式としてのタイプも確認できた。 この古典論の波動方程式をもとに #量子化学 の主役である 量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 6 参考文献: 量子論的な波動方程式 (#シュレディンガー方程式) を学ぶための前段階として， まず先に 古典論の #波動方程式 を 導出させる #量子化学 の教科書としては たとえば東京化学同人 「量子化学　基本の考え方16章」 の6章などが挙げられる。

#シュレディンガー方程式の導出 3 #量子化学 の典型的カリキュラム: ･講義1回目で #前期量子論 をやり ･#古典力学 の #波動方程式 を見せ ･そこからの類推で，水素原子の #シュレディンガー方程式 を導出。 この流れを 「#シュレディンガー方程式の導出」 のタグで紹介してゆきます。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 5 ▶文献1続 その∂/∂x，∂/∂y，∂/∂zを2乗し足し合わせ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 =∇^2=∆の極座標表示を得る. それを活用し 6章「#水素原子」 §6.1「エネルギー固有値と固有関数」で #シュレディンガー方程式 を #変数分離 で解いている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 2 3次元空間の #ラプラシアン∆を (x，y，z) の #直交座標系 ではなく (r，θ，φ) の #極座標系(球面座標系)で 書き直す必要があるのはなぜか。 一例として， 水素原子の電子が満たす 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を解く という目標がある。

#シュレディンガー方程式の導出 44 #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆－e^2 / 4πε_0 r}X＝EX に ∆＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) を代入すれば #極座標系 ( r，θ，φ ) の #微分方程式 になる！！

#シュレディンガー方程式の導出 41 3次元の #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X に， #水素原子 の #原子核 が生む #ポテンシャル U(r) = －e^2 / 4πε_0 r を代入すると… { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X

#シュレディンガー方程式の導出 40 3次元の #シュレディンガー方程式 を #水素原子 の #電子 に適用する. 水素原子の #原子核 から電子までの距離をr #電荷素量 をeとおくと… 電子が受ける #クーロン力 は F(r) = e^2 / 4πε_0 r^2 なる #引力. #ポテンシャル は U(r) = －e^2 / 4πε_0 r

#シュレディンガー方程式の導出 39 時間非依存の #シュレディンガー方程式: ▶1次元 {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) ＝ E X(x) ▶3次元 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] ＋U } X ＝ E X ∴ {－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X #ラプラシアン が現れる。