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#3次元・極座標のラプラシアン導出 11 ▶(文献4) 培風館「量子論入門講義」(米谷): 5章「#角運動量と #水素原子 のスペクトル」 §5.2p100 #角運動量演算子の2乗和Lを求める際， 3次元極座標 #ラプラシアンをLで表した ∆ =∇^2 =L^2 / ℏ^2 r^2＋∂^2 / ∂r^2＋(2/r)∂/∂r を得ている.

大学の化学を独学しようたん(大学化学たん。量子化学･化学結合論･量子力学･物理化学の学術たん)@DaigakuBakegaku

#3次元・極座標のラプラシアン導出 5 ▶文献1続その∂/∂x，∂/∂y，∂/∂zを2乗し足し合わせ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 =∇^2=∆の極座標表示を得る. それを活用し 6章「#水素原子」 §6.1「エネルギー固有値と固有関数」で #シュレディンガー方程式を #変数分離で解いている.

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#シュレディンガー方程式の導出 41 3次元の #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X に， #水素原子 の #原子核が生む #ポテンシャル U(r) = －e^2 / 4πε_0 r を代入すると… { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X

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#シュレディンガー方程式の導出 40 3次元の #シュレディンガー方程式を #水素原子 の #電子に適用する. 水素原子の #原子核から電子までの距離をr #電荷素量をeとおくと… 電子が受ける #クーロン力は F(r) = e^2 / 4πε_0 r^2 なる #引力. #ポテンシャルは U(r) = －e^2 / 4πε_0 r

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#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子の運動に関する時間非依存の #シュレディンガー方程式: {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは，上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ具体的な #微分方程式を作ってみましょう。

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