#シュレディンガー方程式の導出 16 ① E＝pc を導出するには #特殊相対論 が必要。 ② E＝hν を導出するには #光量子仮説 が必要。 #光子･歴史的発展 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%89… この①と②を合体させた式が p ＝ hν / c である。

#シュレディンガー方程式の導出 15 #プランク が発見し #アインシュタイン が名付けた #光量子仮説 によって… #光子 の #エネルギー Eは #光(#電磁波)の #振動数 ν(ニュー)により E＝hν だとわかった。 前ツイのE＝pcと合わせると 光子の #運動量 pを振動数表示した式 p＝hν/c を得る。

#シュレディンガー方程式の導出 14 #光 は… ①マクロなスケールでは波(#電磁波) ②ミクロなスケールでは粒子(#光子，#光量子) ②の時，光子は #質量 m＝0 であるにもかかわらず #運動量 p が非ゼロの値をとる。 この時， 光子の持つ #相対論的エネルギー E ＝√(m^2 c^4＋p^2 c^2) ＝pc

#シュレディンガー方程式の導出 13 #特殊相対論 における #相対論的エネルギー が E＝√(m^2 c^4＋p^2 c^2) である事の導出は例えば 培風館「相対性理論 入門講義」(風間) 5章「相対論的不変性と共変性」 §5.8「重要なローレンツ・スカラーとローレンツ・ベクトルの例」の式(5.108)を参照。

#シュレディンガー方程式の導出 12 まず #特殊相対論 を 既習・既知の前提として認めることにする。 #特殊相対性理論 における #相対論的エネルギー が E ＝ √( m^2・c^4 ＋ p^2・c^2 ) である事を示せ。 運動する物体の相対論的エネルギー ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%99… .

#シュレディンガー方程式の導出 11 前ツイまでで 古典論の #波動方程式 u_xx ＝ (1/c^2) u_tt の導出方法や， 偏微分方程式としてのタイプも確認できた。 この古典論の波動方程式をもとに #量子化学 の主役である 量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 10 1次元の #波動方程式 を変形すると 振幅u(x,t)に対し u_tt / u_xx ＝ c^2　★ ★式の両辺を それぞれ #次元解析 すると どちらの辺も [m^2 / s^2] となる。 この事から★式を間違いなく記憶でき， 波動方程式の u_tt と u_xx の項を 混同しなくて済む。

#シュレディンガー方程式の導出 9 古典論の #波動方程式 は… ▶1次元では u_xx ＝ (1/c^2) u_tt cは #位相速度[m/s]。 ▶3次元では ∆u (＝u_xx＋u_yy＋u_zz) ＝ (1 / c^2) u_tt ∆は #ラプラシアン。

#シュレディンガー方程式の導出 8 ▶#双曲型 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C… u_xx＝k u_tt なる #波動方程式 がある ▶#放物型 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE… u_xx＝k u_t なる #熱伝導方程式 がある ▶#楕円型 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95… u_xx＝f(x)なる #ポアソン方程式 や #ラプラス方程式 がある

#シュレディンガー方程式の導出 7 古典論の #波動方程式 は， 以下の3パターンに分類された #偏微分方程式 のうちの 双曲型というカテゴリーに属する。 ･#双曲型 ←ｺﾚ! ･#放物型 ･#楕円型 この3種類の偏微分方程式の 数理的性質と， おのおのが表す物理的現象とは 覚えておきたい。

#シュレディンガー方程式の導出 6 参考文献: 量子論的な波動方程式 (#シュレディンガー方程式) を学ぶための前段階として， まず先に 古典論の #波動方程式 を 導出させる #量子化学 の教科書としては たとえば東京化学同人 「量子化学　基本の考え方16章」 の6章などが挙げられる。

#シュレディンガー方程式の導出 5 問題: 水平にx軸を取り 両側の壁に水平に固定された弦がある時， 弦をつまんで持ち上げ手を離すと 弦全体はどんな運動をするか？ 位置xにおける時刻tの弦の振幅をu(x,t)とし u_xx ＝ (1 / v^2) u_tt なるuの #微分方程式 を導出せよ(下添え字は偏微分)

#シュレディンガー方程式の導出 4 現代化学･#量子化学 および #前期量子論 は， #シュレーディンガー の #波動方程式 に 立脚している。 しかしまず先に， 古典論の力学における波動方程式 ∂^2 u / ∂x^2 ＝ (1 / v^2) (∂^2 u / ∂^2 t) を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 3 #量子化学 の典型的カリキュラム: ･講義1回目で #前期量子論 をやり ･#古典力学 の #波動方程式 を見せ ･そこからの類推で，水素原子の #シュレディンガー方程式 を導出。 この流れを 「#シュレディンガー方程式の導出」 のタグで紹介してゆきます。

#シュレディンガー方程式の導出 2 #前期量子論 では… ･#古典力学 に(理由も分からず) 演算子置き換えを導入 ↓ ･#量子力学 へ移行 という流れに 謎，違和感，天下り感を感じます。 が実際は逆で， 「量子力学がまずあって そこから古典力学が導出される」 という流れが真なのです。

#シュレディンガー方程式の導出 1 堀田先生のご著書 「入門 現代の量子力学」(2021年)では 前時代的な古い教え方ではなく， 次世代を担う量子ネイティブを育成する 新しい教え方がなされています。 一方，#量子化学 などの科目では いまだに #前期量子論 をしっかり学ぶ必要があります。

このアカウントで使用する ハッシュタグの一覧 ▶量子化学のレクチャー: ①#シュレディンガー方程式の導出 ②#3次元・極座標のラプラシアン導出 ③#3次元・極座標ラプラシアン記憶法 ▶参考資料を紹介: ･#量子論をWebで独学・おすすめコンテンツ ･#量子論の参考書