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#シュレディンガー方程式の導出 25 #ディラック定数(#換算プランク定数) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87… ℏ=h/2π を定義すると… #電子 のみたす #波動方程式 は X_xx=-4π^2 (2m/h^2)(E-U) X ↓ X_xx=-(2m/ℏ^2)(E-U) X ↓ -(ℏ^2 / 2m)X_xx = (E-U) X ↓ -(ℏ^2 / 2m)X_xx+UX = E X
#シュレディンガー方程式の導出 24 1次元で運動する #電子 に #波長 λを仮定すると E=p^2 / 2m + Uかつ p=h/λ より E=h^2 / 2mλ^2 + U ∴ 1/λ^2=(2m/h^2)(E-U)なる λとEの関係式を得て これを時間非依存の #波動方程式 に代入すると X_xx =-4π^2 (1/λ^2) X =-4π^2 (2m/h^2)(E-U) X
#シュレディンガー方程式の導出 23 #古典力学 の #波動方程式(時間依存) u_xx=(1/v^2)u_tt に正弦波解 u(x,t)=X(x) A cosωt を代入し X_xx=-(ω^2 / v^2) X ★ なる時間非依存の式を得る. 波の変数の基本関係式より ω=2πf v=fλ ∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2 よって★は X_xx=-(4π^2 / λ^2) X
#シュレディンガー方程式の導出 11 前ツイまでで 古典論の #波動方程式 u_xx = (1/c^2) u_tt の導出方法や, 偏微分方程式としてのタイプも確認できた。 この古典論の波動方程式をもとに #量子化学 の主役である 量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。
#シュレディンガー方程式の導出 10 1次元の #波動方程式 を変形すると 振幅u(x,t)に対し u_tt / u_xx = c^2 ★ ★式の両辺を それぞれ #次元解析 すると どちらの辺も [m^2 / s^2] となる。 この事から★式を間違いなく記憶でき, 波動方程式の u_tt と u_xx の項を 混同しなくて済む。
#シュレディンガー方程式の導出 9 古典論の #波動方程式 は… ▶1次元では u_xx = (1/c^2) u_tt cは #位相速度[m/s]。 ▶3次元では ∆u (=u_xx+u_yy+u_zz) = (1 / c^2) u_tt ∆は #ラプラシアン。
#シュレディンガー方程式の導出 8 ▶#双曲型 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C… u_xx=k u_tt なる #波動方程式 がある ▶#放物型 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE… u_xx=k u_t なる #熱伝導方程式 がある ▶#楕円型 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95… u_xx=f(x)なる #ポアソン方程式 や #ラプラス方程式 がある
#シュレディンガー方程式の導出 6 参考文献: 量子論的な波動方程式 (#シュレディンガー方程式) を学ぶための前段階として, まず先に 古典論の #波動方程式 を 導出させる #量子化学 の教科書としては たとえば東京化学同人 「量子化学 基本の考え方16章」 の6章などが挙げられる。
#シュレディンガー方程式の導出 4 現代化学・#量子化学 および #前期量子論 は, #シュレーディンガー の #波動方程式 に 立脚している。 しかしまず先に, 古典論の力学における波動方程式 ∂^2 u / ∂x^2 = (1 / v^2) (∂^2 u / ∂^2 t) を導出しよう。
#シュレディンガー方程式の導出 3 #量子化学 の典型的カリキュラム: ・講義1回目で #前期量子論 をやり ・#古典力学 の #波動方程式 を見せ ・そこからの類推で,水素原子の #シュレディンガー方程式 を導出。 この流れを 「#シュレディンガー方程式の導出」 のタグで紹介してゆきます。
#ルベーグ積分と関数解析の参考書 「シュレーディンガー方程式Ⅰ」(朝倉書店2014) 前書きより: 『#Schrödinger方程式 の解は #波動方程式 と違い 波の #伝搬速度 が #無限大 で 解が初期条件の 無限遠方までの性質に依存する. また #熱方程式 と違い 解の #不連続性 が 突然現れたりする.』
#シュレディンガー方程式の導出 28 ここまでで 古典論の #波動方程式 から 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を導出し #運動量演算子 p=±iℏ(d/dx) を得た. 参考文献: 例えば東京化学同人 「量子化学・基本の考え方16章」6章 §6.3 電子の波動方程式 ~ §6.5 ハミルトン演算子 を参照.
#シュレディンガー方程式の導出 26 #電子 のみたす #波動方程式 -(ℏ^2 / 2m)X_xx + U X = E X ↓ {-(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 + U(x) } X = E X これを,1次元の 「時間に依存しない #シュレディンガー方程式」 と呼ぶ。 左辺の { } 内は 右辺の #エネルギー Eに対応すると考えられる。
#シュレディンガー方程式の導出 25 #ディラック定数(#換算プランク定数) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87… ℏ=h/2π を定義すると… #電子 のみたす #波動方程式 は X_xx=-4π^2 (2m/h^2)(E-U) X ↓ X_xx=-(2m/ℏ^2)(E-U) X ↓ -(ℏ^2 / 2m)X_xx = (E-U) X ↓ -(ℏ^2 / 2m)X_xx+UX = E X
#シュレディンガー方程式の導出 24 1次元で運動する #電子 に #波長 λを仮定すると E=p^2 / 2m + Uかつ p=h/λ より E=h^2 / 2mλ^2 + U ∴ 1/λ^2=(2m/h^2)(E-U)なる λとEの関係式を得て これを時間非依存の #波動方程式 に代入すると X_xx =-4π^2 (1/λ^2) X =-4π^2 (2m/h^2)(E-U) X
#シュレディンガー方程式の導出 23 #古典力学 の #波動方程式(時間依存) u_xx=(1/v^2)u_tt に正弦波解 u(x,t)=X(x) A cosωt を代入し X_xx=-(ω^2 / v^2) X ★ なる時間非依存の式を得る. 波の変数の基本関係式より ω=2πf v=fλ ∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2 よって★は X_xx=-(4π^2 / λ^2) X
#シュレディンガー方程式の導出 11 前ツイまでで 古典論の #波動方程式 u_xx = (1/c^2) u_tt の導出方法や, 偏微分方程式としてのタイプも確認できた。 この古典論の波動方程式をもとに #量子化学 の主役である 量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。
#シュレディンガー方程式の導出 10 1次元の #波動方程式 を変形すると 振幅u(x,t)に対し u_tt / u_xx = c^2 ★ ★式の両辺を それぞれ #次元解析 すると どちらの辺も [m^2 / s^2] となる。 この事から★式を間違いなく記憶でき, 波動方程式の u_tt と u_xx の項を 混同しなくて済む。
#シュレディンガー方程式の導出 9 古典論の #波動方程式 は… ▶1次元では u_xx = (1/c^2) u_tt cは #位相速度[m/s]。 ▶3次元では ∆u (=u_xx+u_yy+u_zz) = (1 / c^2) u_tt ∆は #ラプラシアン。
#シュレディンガー方程式の導出 8 ▶#双曲型 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C… u_xx=k u_tt なる #波動方程式 がある ▶#放物型 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE… u_xx=k u_t なる #熱伝導方程式 がある ▶#楕円型 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95… u_xx=f(x)なる #ポアソン方程式 や #ラプラス方程式 がある
#シュレディンガー方程式の導出 6 参考文献: 量子論的な波動方程式 (#シュレディンガー方程式) を学ぶための前段階として, まず先に 古典論の #波動方程式 を 導出させる #量子化学 の教科書としては たとえば東京化学同人 「量子化学 基本の考え方16章」 の6章などが挙げられる。
#シュレディンガー方程式の導出 4 現代化学・#量子化学 および #前期量子論 は, #シュレーディンガー の #波動方程式 に 立脚している。 しかしまず先に, 古典論の力学における波動方程式 ∂^2 u / ∂x^2 = (1 / v^2) (∂^2 u / ∂^2 t) を導出しよう。
#シュレディンガー方程式の導出 3 #量子化学 の典型的カリキュラム: ・講義1回目で #前期量子論 をやり ・#古典力学 の #波動方程式 を見せ ・そこからの類推で,水素原子の #シュレディンガー方程式 を導出。 この流れを 「#シュレディンガー方程式の導出」 のタグで紹介してゆきます。
#シュレディンガー方程式の導出 28 ここまでで 古典論の #波動方程式 から 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を導出し #運動量演算子 p=±iℏ(d/dx) を得た. 参考文献: 例えば東京化学同人 「量子化学・基本の考え方16章」6章 §6.3 電子の波動方程式 ~ §6.5 ハミルトン演算子 を参照.
#シュレディンガー方程式の導出 26 #電子 のみたす #波動方程式 -(ℏ^2 / 2m)X_xx + U X = E X ↓ {-(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 + U(x) } X = E X これを,1次元の 「時間に依存しない #シュレディンガー方程式」 と呼ぶ。 左辺の { } 内は 右辺の #エネルギー Eに対応すると考えられる。
#シュレディンガー方程式の導出 25 #ディラック定数(#換算プランク定数) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87… ℏ=h/2π を定義すると… #電子 のみたす #波動方程式 は X_xx=-4π^2 (2m/h^2)(E-U) X ↓ X_xx=-(2m/ℏ^2)(E-U) X ↓ -(ℏ^2 / 2m)X_xx = (E-U) X ↓ -(ℏ^2 / 2m)X_xx+UX = E X
#シュレディンガー方程式の導出 24 1次元で運動する #電子 に #波長 λを仮定すると E=p^2 / 2m + Uかつ p=h/λ より E=h^2 / 2mλ^2 + U ∴ 1/λ^2=(2m/h^2)(E-U)なる λとEの関係式を得て これを時間非依存の #波動方程式 に代入すると X_xx =-4π^2 (1/λ^2) X =-4π^2 (2m/h^2)(E-U) X
#シュレディンガー方程式の導出 23 #古典力学 の #波動方程式(時間依存) u_xx=(1/v^2)u_tt に正弦波解 u(x,t)=X(x) A cosωt を代入し X_xx=-(ω^2 / v^2) X ★ なる時間非依存の式を得る. 波の変数の基本関係式より ω=2πf v=fλ ∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2 よって★は X_xx=-(4π^2 / λ^2) X
#シュレディンガー方程式の導出 11 前ツイまでで 古典論の #波動方程式 u_xx = (1/c^2) u_tt の導出方法や, 偏微分方程式としてのタイプも確認できた。 この古典論の波動方程式をもとに #量子化学 の主役である 量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。
#シュレディンガー方程式の導出 10 1次元の #波動方程式 を変形すると 振幅u(x,t)に対し u_tt / u_xx = c^2 ★ ★式の両辺を それぞれ #次元解析 すると どちらの辺も [m^2 / s^2] となる。 この事から★式を間違いなく記憶でき, 波動方程式の u_tt と u_xx の項を 混同しなくて済む。
#シュレディンガー方程式の導出 9 古典論の #波動方程式 は… ▶1次元では u_xx = (1/c^2) u_tt cは #位相速度[m/s]。 ▶3次元では ∆u (=u_xx+u_yy+u_zz) = (1 / c^2) u_tt ∆は #ラプラシアン。
#シュレディンガー方程式の導出 8 ▶#双曲型 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C… u_xx=k u_tt なる #波動方程式 がある ▶#放物型 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE… u_xx=k u_t なる #熱伝導方程式 がある ▶#楕円型 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95… u_xx=f(x)なる #ポアソン方程式 や #ラプラス方程式 がある
#シュレディンガー方程式の導出 6 参考文献: 量子論的な波動方程式 (#シュレディンガー方程式) を学ぶための前段階として, まず先に 古典論の #波動方程式 を 導出させる #量子化学 の教科書としては たとえば東京化学同人 「量子化学 基本の考え方16章」 の6章などが挙げられる。
#シュレディンガー方程式の導出 4 現代化学・#量子化学 および #前期量子論 は, #シュレーディンガー の #波動方程式 に 立脚している。 しかしまず先に, 古典論の力学における波動方程式 ∂^2 u / ∂x^2 = (1 / v^2) (∂^2 u / ∂^2 t) を導出しよう。