#シュレディンガー方程式の導出 28 ここまでで 古典論の #波動方程式 から 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を導出し #運動量演算子 p=±iℏ(d/dx) を得た. 参考文献: 例えば東京化学同人 「量子化学・基本の考え方16章」6章 §6.3 電子の波動方程式 ～ §6.5 ハミルトン演算子 を参照.

#シュレディンガー方程式の導出 26 #電子 のみたす #波動方程式 －(ℏ^2 / 2m)X_xx ＋ U X = E X ↓ {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X ＝ E X これを，1次元の 「時間に依存しない #シュレディンガー方程式」 と呼ぶ。 左辺の { } 内は 右辺の #エネルギー Eに対応すると考えられる。

#シュレディンガー方程式の導出 25 #ディラック定数(#換算プランク定数) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87… ℏ＝h/2π を定義すると… #電子 のみたす #波動方程式 は X_xx＝－4π^2 (2m/h^2)(E－U) X ↓ X_xx＝－(2m/ℏ^2)(E－U) X ↓ －(ℏ^2 / 2m)X_xx = (E－U) X ↓ －(ℏ^2 / 2m)X_xx＋UX = E X

#シュレディンガー方程式の導出 24 1次元で運動する #電子 に #波長 λを仮定すると E＝p^2 / 2m + Uかつ p＝h/λ より E＝h^2 / 2mλ^2 + U ∴ 1/λ^2＝(2m/h^2)(E－U)なる λとEの関係式を得て これを時間非依存の #波動方程式 に代入すると X_xx =－4π^2 (1/λ^2) X =－4π^2 (2m/h^2)(E－U) X

#シュレディンガー方程式の導出 23 #古典力学 の #波動方程式(時間依存) u_xx=(1/v^2)u_tt に正弦波解 u(x,t)=X(x) A cosωt を代入し X_xx=－(ω^2 / v^2) X ★ なる時間非依存の式を得る. 波の変数の基本関係式より ω=2πf v=fλ ∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2 よって★は X_xx=－(4π^2 / λ^2) X

#シュレディンガー方程式の導出 22 #古典力学 の #波動方程式 u_xx=(1/v^2)u_tt v:波の速度 u(x,t)=X(x)T(t)=X(x)Acosωt なる #変数分離形 の #正弦波解 を仮定・代入すると u_xx=X_xx A cosωt u_tt=－(ω^2) X A cosωt ∴ X_xx A cosωt=－(1/v^2)(ω^2) X A cosωt → X_xx=－(ω^2 / v^2) X

#シュレディンガー方程式の導出 11 前ツイまでで 古典論の #波動方程式 u_xx ＝ (1/c^2) u_tt の導出方法や， 偏微分方程式としてのタイプも確認できた。 この古典論の波動方程式をもとに #量子化学 の主役である 量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 10 1次元の #波動方程式 を変形すると 振幅u(x,t)に対し u_tt / u_xx ＝ c^2　★ ★式の両辺を それぞれ #次元解析 すると どちらの辺も [m^2 / s^2] となる。 この事から★式を間違いなく記憶でき， 波動方程式の u_tt と u_xx の項を 混同しなくて済む。

#シュレディンガー方程式の導出 9 古典論の #波動方程式 は… ▶1次元では u_xx ＝ (1/c^2) u_tt cは #位相速度[m/s]。 ▶3次元では ∆u (＝u_xx＋u_yy＋u_zz) ＝ (1 / c^2) u_tt ∆は #ラプラシアン。

#シュレディンガー方程式の導出 8 ▶#双曲型 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C… u_xx＝k u_tt なる #波動方程式 がある ▶#放物型 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE… u_xx＝k u_t なる #熱伝導方程式 がある ▶#楕円型 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95… u_xx＝f(x)なる #ポアソン方程式 や #ラプラス方程式 がある

#シュレディンガー方程式の導出 7 古典論の #波動方程式 は， 以下の3パターンに分類された #偏微分方程式 のうちの 双曲型というカテゴリーに属する。 ･#双曲型 ←ｺﾚ! ･#放物型 ･#楕円型 この3種類の偏微分方程式の 数理的性質と， おのおのが表す物理的現象とは 覚えておきたい。

#シュレディンガー方程式の導出 6 参考文献: 量子論的な波動方程式 (#シュレディンガー方程式) を学ぶための前段階として， まず先に 古典論の #波動方程式 を 導出させる #量子化学 の教科書としては たとえば東京化学同人 「量子化学　基本の考え方16章」 の6章などが挙げられる。

#シュレディンガー方程式の導出 4 現代化学･#量子化学 および #前期量子論 は， #シュレーディンガー の #波動方程式 に 立脚している。 しかしまず先に， 古典論の力学における波動方程式 ∂^2 u / ∂x^2 ＝ (1 / v^2) (∂^2 u / ∂^2 t) を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 3 #量子化学 の典型的カリキュラム: ･講義1回目で #前期量子論 をやり ･#古典力学 の #波動方程式 を見せ ･そこからの類推で，水素原子の #シュレディンガー方程式 を導出。 この流れを 「#シュレディンガー方程式の導出」 のタグで紹介してゆきます。