#3次元・極座標のラプラシアン導出 25 #極座標 の #ラプラシアン は 導出が大変で #座標変換 の知識が必要。 なので，まず 下記がスラスラできるようにしよう. 2次元平面での極座標の取り方 (x，y) ⇔ (r，θ) 3次元空間での極座標の取り方 (x，y，z) ⇔ (r，θ，φ) ※パッと出てきますか?

#3次元・極座標のラプラシアン導出 24 ここまでで #極座標 の #ラプラシアン について… ・各種の物理，化学，数学の参考書で どう導出しているか概観した. ・その導出は 解析学や #座標変換 の前提知識が いろいろ必要だという事を確認した. ・Wolfram Alphaで検算する方法を 確認した.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 22 Laplacian[ f( r, theta, phi ) ] wolframalpha.com/input?i=Laplac… Δf(r,θ,ϕ) = ( r^2 (d^2 f / dr^2) +(d^2 f / dθ^2) +csc^2 θ (d^2 f / dϕ^2) +2 r (df/dr) +cotθ (df/dθ) ) / r^2 #ラプラシアン の #極座標 表示を得た. ※ cscθ=1/sinθ cotθ=1/tanθ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 20 Wolfram Alphaで 3次元 #極座標 での #ラプラシアン を表示させるには… Laplacian[ f( r, θ, φ ) ] と入力した場合: wolframalpha.com/input?i=Laplac… →「φ」という文字が 極座標の変数として認識されず 2次元極座標系(r, θ)での∆が計算されてしまう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 19 Wolfram Alphaで 2次元 #極座標 での #ラプラシアン を表示させるには… Laplacian[ f( r, θ ) ] wolframalpha.com/input?i=Laplac… 出力： Δ f(r,θ) = ((d^2 f(r,θ))/(dθ^2))/r^2 + (d^2 f(r,θ))/(dr^2) + ((df(r,θ))/(dr))/r r:#動径座標 θ:#方位角

#3次元・極座標のラプラシアン導出 18 手計算では結構きついので，先に Wolfram Alphaで検算する方法を確かめよう。 まずは「Laplacian」とだけ入力してみると… wolframalpha.com/input?i=Laplac… ↓ #微分幾何学 に基づき， 一般の座標系における #ラプラシアン の抽象的な定義が出力される。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 17 #極座標 の∆の導出について， 凜ちゃんは何と述べているだろうか？ 物理学科に入学した凛ちゃんbot曰く… 「#球座標 に変換した #ラプラシアン の計算？ もう二度とゴメンだにゃ」 そう！この計算はしんどいのである！！ twitter.com/DaigakuBakegak…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 11 ▶(文献4) 培風館「量子論入門講義」(米谷): 5章「#角運動量 と #水素原子 のスペクトル」 §5.2p100 #角運動量演算子 の2乗和Lを求める際， 3次元極座標 #ラプラシアン をLで表した ∆ =∇^2 =L^2 / ℏ^2 r^2＋∂^2 / ∂r^2＋(2/r)∂/∂r を得ている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 9 ▶文献3続 その 「∂/∂x と ∂/∂y を #極座標 の #偏微分 で表す方法」 を使って， 2次元平面上での #ラプラシアン ∆f ＝ f_xx ＋ f_yy ＝ g_rr ＋ (1/r) g_r ＋ (1/r^2) g_θθ を得ており， 計算の注意点も併記されている。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 3 様々な書籍で 極座標の∆をどう求めているか 概観してみよう。 ▶(文献1) 裳華房・基礎化学選書12「量子化学」(原田): 5章「#角運動量」 5.2「極座標による表示」 #角運動量演算子 の極座標表示のついでに #ラプラシアン の極座標表示も求めている。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 2 3次元空間の #ラプラシアン∆を (x，y，z) の #直交座標系 ではなく (r，θ，φ) の #極座標系(球面座標系)で 書き直す必要があるのはなぜか。 一例として， 水素原子の電子が満たす 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を解く という目標がある。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 1 ↑ このタグでは， #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出します。

#シュレディンガー方程式の導出 45 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ＝ (∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) の導出方法は， #3次元・極座標のラプラシアン導出 というタグで学ぼう！

#シュレディンガー方程式の導出 43 直交座標系の #ラプラシアン ∆ ＝(∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 は， 3次元 #極座標 系(球面座標系)に書き換えると ＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) である…！

#シュレディンガー方程式の導出 39 時間非依存の #シュレディンガー方程式: ▶1次元 {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) ＝ E X(x) ▶3次元 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] ＋U } X ＝ E X ∴ {－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X #ラプラシアン が現れる。

#シュレディンガー方程式の導出 9 古典論の #波動方程式 は… ▶1次元では u_xx ＝ (1/c^2) u_tt cは #位相速度[m/s]。 ▶3次元では ∆u (＝u_xx＋u_yy＋u_zz) ＝ (1 / c^2) u_tt ∆は #ラプラシアン。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 96 #極座標 の #ラプラシアン の計算で 感想として 「めっちゃ楽しかった！」 「こういう計算を一日中，ずっとしていたい！」 「２４時間やっていられる！」 と思う人が もしいたら…， その人は，#微分幾何学 が向いている。 才能があるのだろう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 94 以上で，#ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 の #3次元 での #極座標 表示 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出した. 何という手間だ…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 86 #ラプラシアン の計算ミスが頻出である事は 杉浦「解析入門Ⅰ」の 第Ⅱ章「微分法」§6「多変数ベクトル値函数の微分法」p137にも こう注記されている。 引用: 『二階偏導函数の計算では，#積の微分 法によって係数を微分することを忘れてはならない』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 78 #直交座標 での #偏微分 ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z の３つをそれぞれ #極座標 パラメータ r，θ，φ だけで表す事ができた。 次は，これらの二乗和をとればよい。 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示まであと少し！

白昼夢の青写真 6380円 ⇒ 4466円 switch.joytown.info/sale/700100000… #Switch #Switchセール #Switchsale #ラプラシアン

#3次元・極座標のラプラシアン導出 47 極座標が引数な関数 f(r,θ,φ)に 直交座標系で #ラプラシアン をかけた ∆f(r,θ,φ) = { (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 } f(r,θ,φ) を計算するには， { } の中の 「x，y，z に関する微分」を 「r，θ，φ に関する微分」に 書き直す必要がある.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 25 #極座標 の #ラプラシアン は 導出が大変で #座標変換 の知識が必要。 なので，まず 下記がスラスラできるようにしよう. 2次元平面での極座標の取り方 (x，y) ⇔ (r，θ) 3次元空間での極座標の取り方 (x，y，z) ⇔ (r，θ，φ) ※パッと出てきますか?

#3次元・極座標のラプラシアン導出 24 ここまでで #極座標 の #ラプラシアン について… ・各種の物理，化学，数学の参考書で どう導出しているか概観した. ・その導出は 解析学や #座標変換 の前提知識が いろいろ必要だという事を確認した. ・Wolfram Alphaで検算する方法を 確認した.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 22 Laplacian[ f( r, theta, phi ) ] wolframalpha.com/input?i=Laplac… Δf(r,θ,ϕ) = ( r^2 (d^2 f / dr^2) +(d^2 f / dθ^2) +csc^2 θ (d^2 f / dϕ^2) +2 r (df/dr) +cotθ (df/dθ) ) / r^2 #ラプラシアン の #極座標 表示を得た. ※ cscθ=1/sinθ cotθ=1/tanθ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 20 Wolfram Alphaで 3次元 #極座標 での #ラプラシアン を表示させるには… Laplacian[ f( r, θ, φ ) ] と入力した場合: wolframalpha.com/input?i=Laplac… →「φ」という文字が 極座標の変数として認識されず 2次元極座標系(r, θ)での∆が計算されてしまう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 19 Wolfram Alphaで 2次元 #極座標 での #ラプラシアン を表示させるには… Laplacian[ f( r, θ ) ] wolframalpha.com/input?i=Laplac… 出力： Δ f(r,θ) = ((d^2 f(r,θ))/(dθ^2))/r^2 + (d^2 f(r,θ))/(dr^2) + ((df(r,θ))/(dr))/r r:#動径座標 θ:#方位角

#3次元・極座標のラプラシアン導出 18 手計算では結構きついので，先に Wolfram Alphaで検算する方法を確かめよう。 まずは「Laplacian」とだけ入力してみると… wolframalpha.com/input?i=Laplac… ↓ #微分幾何学 に基づき， 一般の座標系における #ラプラシアン の抽象的な定義が出力される。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 17 #極座標 の∆の導出について， 凜ちゃんは何と述べているだろうか？ 物理学科に入学した凛ちゃんbot曰く… 「#球座標 に変換した #ラプラシアン の計算？ もう二度とゴメンだにゃ」 そう！この計算はしんどいのである！！ twitter.com/DaigakuBakegak…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 11 ▶(文献4) 培風館「量子論入門講義」(米谷): 5章「#角運動量 と #水素原子 のスペクトル」 §5.2p100 #角運動量演算子 の2乗和Lを求める際， 3次元極座標 #ラプラシアン をLで表した ∆ =∇^2 =L^2 / ℏ^2 r^2＋∂^2 / ∂r^2＋(2/r)∂/∂r を得ている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 9 ▶文献3続 その 「∂/∂x と ∂/∂y を #極座標 の #偏微分 で表す方法」 を使って， 2次元平面上での #ラプラシアン ∆f ＝ f_xx ＋ f_yy ＝ g_rr ＋ (1/r) g_r ＋ (1/r^2) g_θθ を得ており， 計算の注意点も併記されている。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 3 様々な書籍で 極座標の∆をどう求めているか 概観してみよう。 ▶(文献1) 裳華房・基礎化学選書12「量子化学」(原田): 5章「#角運動量」 5.2「極座標による表示」 #角運動量演算子 の極座標表示のついでに #ラプラシアン の極座標表示も求めている。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 2 3次元空間の #ラプラシアン∆を (x，y，z) の #直交座標系 ではなく (r，θ，φ) の #極座標系(球面座標系)で 書き直す必要があるのはなぜか。 一例として， 水素原子の電子が満たす 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を解く という目標がある。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 1 ↑ このタグでは， #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出します。

#シュレディンガー方程式の導出 45 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ＝ (∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) の導出方法は， #3次元・極座標のラプラシアン導出 というタグで学ぼう！

#シュレディンガー方程式の導出 43 直交座標系の #ラプラシアン ∆ ＝(∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 は， 3次元 #極座標 系(球面座標系)に書き換えると ＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) である…！

#シュレディンガー方程式の導出 39 時間非依存の #シュレディンガー方程式: ▶1次元 {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) ＝ E X(x) ▶3次元 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] ＋U } X ＝ E X ∴ {－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X #ラプラシアン が現れる。

#シュレディンガー方程式の導出 9 古典論の #波動方程式 は… ▶1次元では u_xx ＝ (1/c^2) u_tt cは #位相速度[m/s]。 ▶3次元では ∆u (＝u_xx＋u_yy＋u_zz) ＝ (1 / c^2) u_tt ∆は #ラプラシアン。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 96 #極座標 の #ラプラシアン の計算で 感想として 「めっちゃ楽しかった！」 「こういう計算を一日中，ずっとしていたい！」 「２４時間やっていられる！」 と思う人が もしいたら…， その人は，#微分幾何学 が向いている。 才能があるのだろう。