#3次元・極座標のラプラシアン導出 88 (∂/∂x)^2で使う #積の微分 続 ∂_θ (1/sinθ)∂_φ=-(cosθ/sin^2 θ)∂_φ+(1/sinθ)∂_θ ∂_φ ∂_φ cosφ ∂_r=-sinφ ∂_r+cosφ ∂_φ ∂_r ∂_φ cosφ ∂_θ=-sinφ ∂_θ+cosφ ∂_φ ∂_θ ∂_φ sinφ ∂_φ=cosφ ∂_φ+sinφ (∂_φ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 87 (∂/∂x)^2 の計算に必要な #積の微分: ∂_r (1/r) ∂_θ=－(1/r^2) ∂_θ＋(1/r) ∂_r ∂_θ ∂_r (1/r) ∂_φ=－(1/r^2) ∂_φ＋(1/r) ∂_r ∂_φ ∂_θ sinθ ∂_r=cosθ ∂_r＋sinθ ∂_θ ∂_r ∂_θ cosθ ∂_θ=－sinθ ∂_θ＋cosθ (∂_θ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 86 #ラプラシアン の計算ミスが頻出である事は 杉浦「解析入門Ⅰ」の 第Ⅱ章「微分法」§6「多変数ベクトル値函数の微分法」p137にも こう注記されている。 引用: 『二階偏導函数の計算では，#積の微分 法によって係数を微分することを忘れてはならない』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 84 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を明記し #積の微分 を使うと… (∂/∂r) { (1/r)･(∂/∂θ) f(r,θ,φ) } = { (∂/∂r)(1/r) }･(∂f/∂θ) + (1/r)･(∂/∂r)(∂f/∂θ)←この項が現れる = (－1/r^2)(∂/∂θ)f + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)f これが正しい計算！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 83 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } = { (∂/∂r) (1/r) }・(∂/∂θ) ↑ この計算は誤り. 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を 略さず書けば… (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) f(r,θ,φ) } つまり (1/r) と (∂/∂θ) f(r,θ,φ) との積を #積の微分 で扱う必要がある.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 81 ∂/∂x の #極座標 表示を2乗し (∂/∂x)^2 を求める際， 計算をミスりやすいポイント… それは「#積の微分」！ ここでよく間違える。 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } ＝ { (∂/∂r) (1/r) } (∂/∂θ) ＝ －(1/r^2) (∂/∂θ) この計算は間違いである！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 80 (∂/∂x)^2 = { (sinθ cosφ)(∂/∂r) +(cosθ cosφ / r)(∂/∂θ) －(sinφ / r sinθ)(∂/∂φ) }^2 ↑ 展開すると3×3=9項。 さらに各項で #積の微分 により 項数が倍に増え18項になる. それが x，y，zの3変数ぶんあるので…， 合計で18×3＝54項！

#大学の力学_惑星の運動編 64 ↑r / r を時間微分すると， #積の微分 公式より (d/dt)( ↑r / r ) = ↑ṙ (1/r) + ↑r (d/dt)(1/r) = ↑ṙ (1/r) + ↑r {－ṙ / r^2} = ↑ṙ r (1/r^2) － ṙ ↑r ( 1/ r^2 ) = (1/r^2){ ↑ṙ r － ↑r ṙ } ↑ これをさらにシンプルな形に変形可能か？

#大学の力学_惑星の運動編 58 ベクトル形式の #運動方程式 を 上手に変形するため， 下記の式の時間微分を考えよう. ↑ṙ × (↑r×↑ṙ) #積の微分 公式より (d/dt) { ↑ṙ × (↑r×↑ṙ ) } = { (d/dt)( ↑ṙ ) } × (↑r×↑ṙ) + ↑ṙ × { (d/dt)(↑r×↑ṙ) } 計算を進めると…?

#3次元・極座標のラプラシアン導出 88 (∂/∂x)^2で使う #積の微分 続 ∂_θ (1/sinθ)∂_φ=-(cosθ/sin^2 θ)∂_φ+(1/sinθ)∂_θ ∂_φ ∂_φ cosφ ∂_r=-sinφ ∂_r+cosφ ∂_φ ∂_r ∂_φ cosφ ∂_θ=-sinφ ∂_θ+cosφ ∂_φ ∂_θ ∂_φ sinφ ∂_φ=cosφ ∂_φ+sinφ (∂_φ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 87 (∂/∂x)^2 の計算に必要な #積の微分: ∂_r (1/r) ∂_θ=－(1/r^2) ∂_θ＋(1/r) ∂_r ∂_θ ∂_r (1/r) ∂_φ=－(1/r^2) ∂_φ＋(1/r) ∂_r ∂_φ ∂_θ sinθ ∂_r=cosθ ∂_r＋sinθ ∂_θ ∂_r ∂_θ cosθ ∂_θ=－sinθ ∂_θ＋cosθ (∂_θ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 86 #ラプラシアン の計算ミスが頻出である事は 杉浦「解析入門Ⅰ」の 第Ⅱ章「微分法」§6「多変数ベクトル値函数の微分法」p137にも こう注記されている。 引用: 『二階偏導函数の計算では，#積の微分 法によって係数を微分することを忘れてはならない』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 84 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を明記し #積の微分 を使うと… (∂/∂r) { (1/r)･(∂/∂θ) f(r,θ,φ) } = { (∂/∂r)(1/r) }･(∂f/∂θ) + (1/r)･(∂/∂r)(∂f/∂θ)←この項が現れる = (－1/r^2)(∂/∂θ)f + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)f これが正しい計算！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 83 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } = { (∂/∂r) (1/r) }・(∂/∂θ) ↑ この計算は誤り. 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を 略さず書けば… (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) f(r,θ,φ) } つまり (1/r) と (∂/∂θ) f(r,θ,φ) との積を #積の微分 で扱う必要がある.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 81 ∂/∂x の #極座標 表示を2乗し (∂/∂x)^2 を求める際， 計算をミスりやすいポイント… それは「#積の微分」！ ここでよく間違える。 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } ＝ { (∂/∂r) (1/r) } (∂/∂θ) ＝ －(1/r^2) (∂/∂θ) この計算は間違いである！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 80 (∂/∂x)^2 = { (sinθ cosφ)(∂/∂r) +(cosθ cosφ / r)(∂/∂θ) －(sinφ / r sinθ)(∂/∂φ) }^2 ↑ 展開すると3×3=9項。 さらに各項で #積の微分 により 項数が倍に増え18項になる. それが x，y，zの3変数ぶんあるので…， 合計で18×3＝54項！

#大学の力学_惑星の運動編 26 d↑r(t)/dt // ↑p(t) より d↑r(t)/dt × ↑p(t) ＝ ↑0 なので ↑r(t) × d↑p(t)/dt ＝ ( ↑0 ) ＋ ↑r(t) × d↑p(t)/dt ＝ ( d↑r(t)/dt × ↑p(t) ) ＋ ↑r(t) × d↑p(t)/dt ＝ (d/dt)( ↑r(t)×↑p(t) ) が言える。 ※#積の微分 である。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 88 (∂/∂x)^2で使う #積の微分 続 ∂_θ (1/sinθ)∂_φ=-(cosθ/sin^2 θ)∂_φ+(1/sinθ)∂_θ ∂_φ ∂_φ cosφ ∂_r=-sinφ ∂_r+cosφ ∂_φ ∂_r ∂_φ cosφ ∂_θ=-sinφ ∂_θ+cosφ ∂_φ ∂_θ ∂_φ sinφ ∂_φ=cosφ ∂_φ+sinφ (∂_φ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 87 (∂/∂x)^2 の計算に必要な #積の微分: ∂_r (1/r) ∂_θ=－(1/r^2) ∂_θ＋(1/r) ∂_r ∂_θ ∂_r (1/r) ∂_φ=－(1/r^2) ∂_φ＋(1/r) ∂_r ∂_φ ∂_θ sinθ ∂_r=cosθ ∂_r＋sinθ ∂_θ ∂_r ∂_θ cosθ ∂_θ=－sinθ ∂_θ＋cosθ (∂_θ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 86 #ラプラシアン の計算ミスが頻出である事は 杉浦「解析入門Ⅰ」の 第Ⅱ章「微分法」§6「多変数ベクトル値函数の微分法」p137にも こう注記されている。 引用: 『二階偏導函数の計算では，#積の微分 法によって係数を微分することを忘れてはならない』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 84 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を明記し #積の微分 を使うと… (∂/∂r) { (1/r)･(∂/∂θ) f(r,θ,φ) } = { (∂/∂r)(1/r) }･(∂f/∂θ) + (1/r)･(∂/∂r)(∂f/∂θ)←この項が現れる = (－1/r^2)(∂/∂θ)f + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)f これが正しい計算！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 83 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } = { (∂/∂r) (1/r) }・(∂/∂θ) ↑ この計算は誤り. 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を 略さず書けば… (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) f(r,θ,φ) } つまり (1/r) と (∂/∂θ) f(r,θ,φ) との積を #積の微分 で扱う必要がある.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 81 ∂/∂x の #極座標 表示を2乗し (∂/∂x)^2 を求める際， 計算をミスりやすいポイント… それは「#積の微分」！ ここでよく間違える。 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } ＝ { (∂/∂r) (1/r) } (∂/∂θ) ＝ －(1/r^2) (∂/∂θ) この計算は間違いである！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 80 (∂/∂x)^2 = { (sinθ cosφ)(∂/∂r) +(cosθ cosφ / r)(∂/∂θ) －(sinφ / r sinθ)(∂/∂φ) }^2 ↑ 展開すると3×3=9項。 さらに各項で #積の微分 により 項数が倍に増え18項になる. それが x，y，zの3変数ぶんあるので…， 合計で18×3＝54項！

#解析力学_Hamilton形式編 52 Q. #ポアソン括弧 が満たす #ライプニッツ則(Leibniz rule)とは A. 下記の性質がある. { A, BC } = { A, B } C + B { A, C } { AB, C } = { A, C } B + A { B, C } #ライプニッツ・ルール， #積の微分， #分配則 などと呼ぶ.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 88 (∂/∂x)^2で使う #積の微分 続 ∂_θ (1/sinθ)∂_φ=-(cosθ/sin^2 θ)∂_φ+(1/sinθ)∂_θ ∂_φ ∂_φ cosφ ∂_r=-sinφ ∂_r+cosφ ∂_φ ∂_r ∂_φ cosφ ∂_θ=-sinφ ∂_θ+cosφ ∂_φ ∂_θ ∂_φ sinφ ∂_φ=cosφ ∂_φ+sinφ (∂_φ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 87 (∂/∂x)^2 の計算に必要な #積の微分: ∂_r (1/r) ∂_θ=－(1/r^2) ∂_θ＋(1/r) ∂_r ∂_θ ∂_r (1/r) ∂_φ=－(1/r^2) ∂_φ＋(1/r) ∂_r ∂_φ ∂_θ sinθ ∂_r=cosθ ∂_r＋sinθ ∂_θ ∂_r ∂_θ cosθ ∂_θ=－sinθ ∂_θ＋cosθ (∂_θ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 86 #ラプラシアン の計算ミスが頻出である事は 杉浦「解析入門Ⅰ」の 第Ⅱ章「微分法」§6「多変数ベクトル値函数の微分法」p137にも こう注記されている。 引用: 『二階偏導函数の計算では，#積の微分 法によって係数を微分することを忘れてはならない』