#大学の力学_惑星の運動編 53 #運動方程式 m ↑r̈(t) ＝ ↑F(t) の右辺で， #惑星 に働く力は，#重力 ↑F ＝ ( G mM / r^2 )( －↑r / r ) Mは #太陽 の質量 Gは #万有引力定数。 ( －↑r / r ) は， 地球から太陽の方向を向く #単位ベクトル。 つまり重力は ↑r と反対方向の #引力。

#大学の力学_惑星の運動編 52 #LRLベクトル という #保存量 を知り， 証明の方針が立ったので， ここからは実際に #ケプラーの第１法則 を示してゆこう。 惑星の位置を ↑r(t) 惑星の質量を m 惑星に働く力を ↑F(t) とすると， ベクトル形式の #運動方程式 は… m ↑r̈(t) ＝ ↑F(t)

#大学の力学_惑星の運動編 51 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) の後で #ケプラーの第１法則(#楕円軌道) を証明するのはなぜ？ 番号からいえば，順序が逆では？ ↓ 第1法則よりも 第2法則のほうが #保存量 がシンプルで導出しやすいため。 また， 第1法則の証明に 第2法則を使う。

#大学の力学_惑星の運動編 50 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) も #ケプラーの第１法則(#楕円軌道)も 下記の手順で導出できる. ① 物理法則を #微分方程式 で書く. ↓ ② ①を変形し d/dt～＝0の形を作る。 それが #保存量. ↓ ③ ②をtで積分すると 微分方程式が解けた事になる.

#大学の力学_惑星の運動編 49 #ケプラーの第１法則 と保存量の関係: #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r)'×( ↑r×(↑r)' ) }/GM－↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる. ↓ ↓ 両辺を積分 ↓ #楕円軌道 が導出される！

#大学の力学_惑星の運動編 48 #ケプラーの第２法則 と保存量の関係: #角運動量原理 の式 d↑L/dt = ↑N ↓ ↓ #中心力 の場合 ↓ #角運動量 ↑L = ↑r × ↑p が (d/dt)↑L = ↑0 を満たす #保存量 となる。 ↓ ↓ この結果を使い… ↓ #面積速度一定 d↑S(t)/dt = 一定 を示せる。

#大学の力学_惑星の運動編 46 同じものを指すのに， 表記ゆれが大きいので エゴサで検索しづらい…。 ･#ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ･Laplace-Runge-Lenz ベクトル ･#ラプラスベクトル ･Laplaceベクトル ･#ルンゲ・レンツベクトル ･Runge-Lenzベクトル ･#LRLベクトル

#大学の力学_惑星の運動編 45 #ルンゲ・レンツベクトル(Runge–Lenz vector) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB… 逆二乗則に従う #中心力 の下の運動 (#ケプラー問題)における #保存量 の1つ。 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル (Laplace–Runge–Lenz vector，#LRLベクトル) とも呼ばれる。

#大学の力学_惑星の運動編 44 #角運動量 ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) は わりと単純な形をしている。 いっぽう #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r) ' × ( ↑r × (↑r) ' ) } / GM － ↑r / r は ↑L よりは複雑な式。 ↑L(t) も ↑e(t) も 時間変化しない #保存量。

#大学の力学_惑星の運動編 43 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) において，系の #保存量 は ･#角運動量 ↑L または ･#面積速度 d↑S/dt だった。 いっぽう #ケプラーの第１法則(#楕円軌道) において，系の保存量は ↑L と別に #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e がある。

#大学の力学_惑星の運動編 42 そもそも #時間微分 の記号d/dtを含む #微分方程式 を 「解く」とは， d/dtの記号を「外す」(消す)こと. (d/dt)(何かの関数)＝0 ↓ ↓ 両辺を時間で #積分 ↓ 何かの関数＝一定 これで「d/dt」という記号が消えたので 微分方程式を「解けた」ことになる.

#大学の力学_惑星の運動編 41 物理で，#運動方程式 などの #微分方程式 を解くコツは ズバリ「時間不変の #保存量 を見つけること」. 時間不変(時間変化がゼロ)とは (d/dt)(何かの関数)＝0 ↑ この「何かの関数」が保存量. 保存量を作れたら微分方程式は「解ける」. なぜそう言える？

#大学の力学_惑星の運動編 40 #極座標 を使わずに #楕円軌道 を導くには… まず太陽から見た 地球の #位置ベクトル を ↑r(t) とし， ↑r が満たす #運動方程式 を #ベクトル で表記する。 そして，その方程式を #ベクトル解析 の公式によって 「ベクトルのまま」解く。

#大学の力学_惑星の運動編 39 問題: #ベクトル解析 のみを使い #ケプラーの第１法則 を示せ。 つまり #極座標 r, θ を使わず， ベクトル形式の運動方程式で 「#太陽 の周りをまわる #地球(惑星)の 公転軌道は #楕円 になる」事を示せ。 具体的な計算手順を次ツイ以降で考えよう。

#大学の力学_惑星の運動編 38 ベクトル解析による導出の 参考文献の例… 共立出版「詳解　力学演習」の 2章「質点の力学」 §6「中心力」の要項の 6.3「狭義中心力による運動」 (2)「面積速度一定の定理」の説明。 ※この本では「ケプラーの第２法則」という名前を持ち出していない。

#大学の力学_惑星の運動編 37 結論: #重力 など #中心力 のもとでは， #角運動量 ベクトル ↑L(t) も #面積速度 ベクトル d↑S(t)/dt も 時間変化せず定ベクトルである。 #極座標 による座標の成分計算をせず， #ベクトル解析 のみで #ケプラーの第２法則(#面積速度一定)を 証明できた。

#大学の力学_惑星の運動編 36 #面積速度 と #角運動量 とは d↑S(t) / dt ＝ ↑L(t) / 2m なる比例関係で結ばれている。 ここで，#中心力 のもとでは ↑L(t) は時間変化せず定ベクトルである。 よって，中心力のもとでは 面積速度 d↑S(t) / dt も 時間変化せず定ベクトルである。

#大学の力学_惑星の運動編 35 #運動量保存則 law of momentum conservation ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… 外力が働かない限り #運動量 の総和は不変. #角運動量保存則 law of angular momentum conservation ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92… 外力による #トルク がない限り #角運動量 の総和は不変.

#大学の力学_惑星の運動編 34 #角運動量原理 の微分形 d↑L(t)/dt = ↑N(t) #中心力 では #モーメント が↑0なので ↑N(t) = ↑r(t) × ↑F(t) = ↑0 よって #重力 など中心力のもとでは d↑L(t) / dt = ↑0 より ↑L(t) = 一定値 であり， #角運動量 ベクトルは時間変化しない(保存する).

#大学の力学_惑星の運動編 33 質点に働く力 ↑F(t) が #中心力 の場合 #モーメント はどうなるか？ 中心力だから， #力 が #位置ベクトル と常に平行で ↑F(t) // ↑r(t) ゆえに この2つのベクトルの #外積 は↑0で， 質点に働く力のモーメントは常に ↑N(t) ＝ ↑r(t) × ↑F(t) ＝ ↑0

#大学の力学_惑星の運動編 32 #中心力(ちゅうしんりょく) central force ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD… ･「原点と物体を結ぶ線」に 沿っている方向に働く #力。 #位置ベクトル と #平行 な力。 ･#重力 や #クーロン力 など。 ･#球対称 なら #中心力場。 ･中心力は #保存力 場。

#大学の力学_惑星の運動編 31 #重力 のもとで #公転 運動する惑星に対し， #角運動量原理 の微分形 すなわち #オイラーの運動方程式 d↑L / dt ＝ ↑N　★ を立てるとどうなる？ 重力が #中心力 と呼ばれるタイプの 力であることに着目すると， 上記★式から #角運動量保存 を示せる。

#大学の力学_惑星の運動編 30 「#角運動量原理 の微分形」 d↑L / dt ＝ ↑N ↑ この式のことを #オイラーの運動方程式 と呼ぶ場合がある。 Euler's equations (rigid body dynamics) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… ･#剛体 の #回転運動 を表す式。 ･#トルク ↑Nと #角運動量 ↑L の関係

#大学の力学_惑星の運動編 29 #運動量原理 と #角運動量原理 について， 参考文献の例としては… 共立出版「詳解　力学演習」の 2章「質点の力学」の §3「運動法則・保存則・保存力」の要項の 3.3「保存則」の (2)「運動量原理」と (3)「角運動量原理」の説明を参照。

#大学の力学_惑星の運動編 28 整理: #運動量原理 の積分形 ↑p_1－↑p_0 = ∫{t_0→t_1} ↑F dt 両辺に左から↑r×すると ↑L_1－↑L_0 = ∫{t_0→t_1} ↑N dt #角運動量原理 の積分形. 運動量原理の微分形 d↑p/dt = ↑F 両辺に左から↑r×すると d↑L/dt = ↑N 角運動量原理の微分形.

#大学の力学_惑星の運動編 27 #運動量原理 の微分形 d↑p(t)/dt = ↑F(t) 両辺に左から ↑r(t) × すると… #角運動量 の定義より 左辺 = ↑r(t) × d↑p(t)/dt = (d/dt)( ↑r(t) × ↑p(t) ) = (d/dt) ↑L(t) この式変形はOK。 また #モーメント の定義より 右辺 = ↑r(t) × ↑F(t) = ↑N(t)

#大学の力学_惑星の運動編 26 d↑r(t)/dt // ↑p(t) より d↑r(t)/dt × ↑p(t) ＝ ↑0 なので ↑r(t) × d↑p(t)/dt ＝ ( ↑0 ) ＋ ↑r(t) × d↑p(t)/dt ＝ ( d↑r(t)/dt × ↑p(t) ) ＋ ↑r(t) × d↑p(t)/dt ＝ (d/dt)( ↑r(t)×↑p(t) ) が言える。 ※#積の微分 である。

#大学の力学_惑星の運動編 25 前ツイの計算が正しい理由: #運動量 の定義より， ↑p(t) ＝ m↑v(t) ＝ m (d/dt)↑r は (d/dt)↑r と平行なベクトルである。 平行なベクトル同士の #外積 は ↑0 だから (d↑r/dt) × ↑p(t) ＝ ↑v × ↑p ＝ ↑0 が言える。 この性質を使えば式変形できる！

#大学の力学_惑星の運動編 24 #運動量原理 の微分形 d↑p(t)/dt＝↑F(t) 両辺に左から ↑r(t) × すると… #角運動量 の定義より 左辺 =↑r(t) × d↑p(t)/dt★ =(d/dt)( ↑r(t)×↑p(t) )★ =(d/dt) ↑L(t) ※★の式変形は説明が必要 #モーメント の定義より 右辺 =↑r(t) × ↑F(t) =↑N(t)

#大学の力学_惑星の運動編 23 #運動量原理 の積分形 ↑p_1 － ↑p_0 = ∫{t_0→t_1} ↑F(t) dt ↑ 両辺に左から ↑r× すると… #角運動量 の定義より 左辺 = ↑r×↑p_1 － ↑r×↑p_0 = ↑L_1 － ↑L_0 #モーメント の定義より 右辺 = ∫{t_0→t_1} ↑r×↑F(t) dt = ∫{t_0→t_1} ↑N(t) dt

#大学の力学_惑星の運動編 22 質点の原点周りの #角運動量 ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) = m ↑r(t) × ↑v(t) = m ↑r × (d/dt)↑r 原点周りで質点にかかる #力 の #モーメント ↑N(t) = ↑r(t) × ↑F(t) …という量を定義し #運動量原理 の式の両辺に「↑r×」すると #角運動量原理 を導ける.

#大学の力学_惑星の運動編 21 #運動量原理 「#運動量 の変化は そのあいだに #力 が加えた #力積 に等しい。」 ↑ これを，回転運動にあてはめると どうなるだろうか？ #角運動量 の変化に関する #角運動量原理 を導けば， 惑星の #公転 運動も記述可能になる。

#大学の力学_惑星の運動編 20 #運動量原理： 「#運動量 の変化は， そのあいだに #力 が加えた #力積 に等しい。」 これを式で書くと… 積分形 ⊿↑p ＝ ↑p_1 － ↑p_0 ＝ ∫{t_0 → t_1} ↑F(t) dt 微分形 d↑p / dt ＝ ↑F となる。

#大学の力学_惑星の運動編 19 質点の #運動量 ↑p(t) ＝ m ↑v(t) ＝ m (d/dt)↑r 質点に加わる #力 ↑F(t) とする。 #力学 の原理として #運動量原理： 「運動量の変化は， そのあいだに力が加えた #力積 に等しい。」 を認めると， この原理の積分形と微分形の式はどう書けるか？

#大学の力学_惑星の運動編 18 #角運動量 の #保存則 を使って #面積速度 が時間不変である事を示す流れ: ①#運動量原理 と #運動量保存 ↓ ↓ 「↑r×」をかけて変形すると… ↓ ②#角運動量原理 と #角運動量保存 ↓ ↓ 定数倍すると… ↓ ③#面積速度一定(#ケプラーの第２法則)

#大学の力学_惑星の運動編 17 ケプラーの法則の意味するもの ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1… #ケプラーの第２法則 における #面積速度 とは， 惑星の #位置ベクトル と 速度ベクトルの #外積 に他ならない。 したがって #面積速度一定 は ニュートン力学における #角運動量保存 の法則に相当。

#大学の力学_惑星の運動編 16 #角運動量: ↑L＝↑r×↑p＝m ↑r×↑v #外積 の定義より ↑rから↑p(または↑v)の向きに 右ねじを回してネジが進む向き. 例: xy平面上で 原点中心の #単位円 上を動く点Pが 第1象限で反時計回りに動いている時 ↑Lは原点から紙面の手前向きに伸びる #ベクトル.

#大学の力学_惑星の運動編 15 #角運動量 (angular momentum) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92… #運動量 の #モーメント を表す #力学 の概念。 ↑L ＝ ↑r×↑p ＝ m ↑r×↑v ×は #外積。 #角運動量保存則 は， #ケプラーの第２法則 の #面積速度一定 と密接な関わりがある。

#大学の力学_惑星の運動編 14 #角運動量 と #面積速度 の関係は？ 角運動量ベクトル ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) = m ↑r(t) × ↑v(t) 面積速度ベクトル d↑S / dt = (1/2) ↑r(t) × ↑v(t) この両者の間には d↑S / dt ＝ ↑L / 2m なる定数倍の比例関係が成り立つ。 すなわち平行である。