#大学の力学_惑星の運動編 43 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) において，系の #保存量 は ･#角運動量 ↑L または ･#面積速度 d↑S/dt だった。 いっぽう #ケプラーの第１法則(#楕円軌道) において，系の保存量は ↑L と別に #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e がある。

#大学の力学_惑星の運動編 37 結論: #重力 など #中心力 のもとでは， #角運動量 ベクトル ↑L(t) も #面積速度 ベクトル d↑S(t)/dt も 時間変化せず定ベクトルである。 #極座標 による座標の成分計算をせず， #ベクトル解析 のみで #ケプラーの第２法則(#面積速度一定)を 証明できた。

#大学の力学_惑星の運動編 36 #面積速度 と #角運動量 とは d↑S(t) / dt ＝ ↑L(t) / 2m なる比例関係で結ばれている。 ここで，#中心力 のもとでは ↑L(t) は時間変化せず定ベクトルである。 よって，中心力のもとでは 面積速度 d↑S(t) / dt も 時間変化せず定ベクトルである。

#大学の力学_惑星の運動編 18 #角運動量 の #保存則 を使って #面積速度 が時間不変である事を示す流れ: ①#運動量原理 と #運動量保存 ↓ ↓ 「↑r×」をかけて変形すると… ↓ ②#角運動量原理 と #角運動量保存 ↓ ↓ 定数倍すると… ↓ ③#面積速度一定(#ケプラーの第２法則)

#大学の力学_惑星の運動編 17 ケプラーの法則の意味するもの ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1… #ケプラーの第２法則 における #面積速度 とは， 惑星の #位置ベクトル と 速度ベクトルの #外積 に他ならない。 したがって #面積速度一定 は ニュートン力学における #角運動量保存 の法則に相当。

#大学の力学_惑星の運動編 14 #角運動量 と #面積速度 の関係は？ 角運動量ベクトル ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) = m ↑r(t) × ↑v(t) 面積速度ベクトル d↑S / dt = (1/2) ↑r(t) × ↑v(t) この両者の間には d↑S / dt ＝ ↑L / 2m なる定数倍の比例関係が成り立つ。 すなわち平行である。

#大学の力学_惑星の運動編 13 #面積速度 ベクトル d↑S/dt = (1/2) ↑r(t)×↑v(t) ★ を定義できた. #面積速度一定 を示すには ★が時間変化しない事を示せばよい. そのために，★と定数倍だけ異なる #角運動量 ベクトル ↑L = m ↑r(t)×↑v(t) を導入し ↑L が時間変化しない事を示そう.

#大学の力学_惑星の運動編 12 #面積速度 d↑S / dt ＝ (1/2) ↑r(t) × ↑v(t) をベクトル解析で導出する 参考文献の例は… 共立出版「詳解　力学演習」の 1章「運動の記述」の §2「速度・加速度・角速度」の要項の 2.6「面積速度」の説明を参照。

#大学の力学_惑星の運動編 11 d↑S(t) / dt の向きは ↑r(t)×↑v(t) と同じ向き d↑S(t) / dt の大きさは dS/dt に等しい …とすると， d↑S(t)/dt =(1/2) ↑r(t) × ↑v(t) =(1/2) ↑r(t) × (d/dt)↑r(t) となり， このベクトル d↑S(t)/dt を 原点Oに関する質点の #面積速度 という.

#大学の力学_惑星の運動編 3 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) を示すには，まず… #面積速度 dS/dt を 定義・導出する必要がある。 #直交座標 では dS/dt=(1/2)(xẏ－ẋy) #極座標 では dS/dt=(1/2) r^2・θ' だが， #ベクトル解析 では d↑S/dt=(1/2) ↑r(t)×↑v(t) どう導出するか？

#大学の力学_惑星の運動編 2 #ケプラーの法則 Kepler's laws of planetary motion ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1… #ケプラー は #太陽 に対する #火星 の運動から 以下のように定式化した。… 第2法則 (#面積速度一定): #惑星 と太陽とを結ぶ線分が 単位時間に描く面積(＝#面積速度)は一定。

#大学の力学_惑星の運動編 1 問題: #ベクトル解析 のみを使って， #ケプラーの第２法則 を示せ。 すなわち #極座標 r, θ を持ち出すことなく 「太陽の周りをまわる地球(惑星)の， 太陽の周りの #面積速度 が常に一定である」 事を示せ。 具体的な計算手順を次ツイ以降で考えよう。