#大学の力学_惑星の運動編 106 ここまでで， ベクトル形式の #運動方程式 を立て #微分方程式 を「#ベクトル のまま」解き #保存量 ↑e を導出し 惑星の #楕円軌道(#ケプラーの第１法則) を証明できた. 途中で使った #角運動量保存 は #ケプラーの第２法則(#面積速度一定)と 等価である.

#大学の力学_惑星の運動編 105 惑星の #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ (d/dt)↑e(t) ＝ 0 ↓ ↓ 両辺を積分する ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM － ↑r/r ↓ ↓ 両辺と ↑r の #内積 をとる ↓ #楕円軌道 (#ケプラーの第１法則)

#大学の力学_惑星の運動編 89 #ケプラーの第１法則 の 証明の流れを復習: #運動方程式 を立てる ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t)={(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM－↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる←★今ここ！ ↓ ↓ 両辺積分 ↓ #楕円軌道 を導出

#大学の力学_惑星の運動編 52 #LRLベクトル という #保存量 を知り， 証明の方針が立ったので， ここからは実際に #ケプラーの第１法則 を示してゆこう。 惑星の位置を ↑r(t) 惑星の質量を m 惑星に働く力を ↑F(t) とすると， ベクトル形式の #運動方程式 は… m ↑r̈(t) ＝ ↑F(t)

#大学の力学_惑星の運動編 51 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) の後で #ケプラーの第１法則(#楕円軌道) を証明するのはなぜ？ 番号からいえば，順序が逆では？ ↓ 第1法則よりも 第2法則のほうが #保存量 がシンプルで導出しやすいため。 また， 第1法則の証明に 第2法則を使う。

#大学の力学_惑星の運動編 50 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) も #ケプラーの第１法則(#楕円軌道)も 下記の手順で導出できる. ① 物理法則を #微分方程式 で書く. ↓ ② ①を変形し d/dt～＝0の形を作る。 それが #保存量. ↓ ③ ②をtで積分すると 微分方程式が解けた事になる.

#大学の力学_惑星の運動編 49 #ケプラーの第１法則 と保存量の関係: #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r)'×( ↑r×(↑r)' ) }/GM－↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる. ↓ ↓ 両辺を積分 ↓ #楕円軌道 が導出される！

#大学の力学_惑星の運動編 43 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) において，系の #保存量 は ･#角運動量 ↑L または ･#面積速度 d↑S/dt だった。 いっぽう #ケプラーの第１法則(#楕円軌道) において，系の保存量は ↑L と別に #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e がある。

#大学の力学_惑星の運動編 39 問題: #ベクトル解析 のみを使い #ケプラーの第１法則 を示せ。 つまり #極座標 r, θ を使わず， ベクトル形式の運動方程式で 「#太陽 の周りをまわる #地球(惑星)の 公転軌道は #楕円 になる」事を示せ。 具体的な計算手順を次ツイ以降で考えよう。