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#大学の力学_惑星の運動編 105 惑星の #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ (d/dt)↑e(t) ＝ 0 ↓ ↓ 両辺を積分する ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM － ↑r/r ↓ ↓ 両辺と ↑r の #内積 をとる ↓ #楕円軌道 (#ケプラーの第１法則)
#大学の力学_惑星の運動編 102 #LRLベクトル↑eの定義式の 両辺で↑rと #内積 をとって得られる r,θの式: e r cos θ = h^2 / GM － r ↓ r( e cos θ＋1) = h^2 / GM = 定数k ∴ r(t) = k / ( e cos θ(t) + 1 ) e, k はある定数. θ が決まると，r も決まる. つまり ある #軌道 を表わす.
#大学の力学_惑星の運動編 101 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル の定義式: ↑e(t) ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r 両辺で ↑r(t) との #内積 をとった結果… 左辺・↑r(t) = e r cos θ 右辺・↑r(t) = h^2 / GM － r ∴ e r cos θ = h^2 / GM － r r, θ の式になった！
#大学の力学_惑星の運動編 97 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r 右辺と ↑r との #内積 をとると… ↑e・↑r = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}・↑r / GM － ↑r・↑r / r = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}・↑r / GM － r
#大学の力学_惑星の運動編 96 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル の定義式: ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r この式の左辺と ↑r(t) との #内積 をとると e r(t) cos θ(t) になる。 では，この式の右辺と ↑r(t) との内積をとると どうなるか？
#大学の力学_惑星の運動編 95 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル と 惑星の #位置ベクトル との #内積 をとる ↓ cosθが決まる ↓ θが決まる ↓ おかげで #極座標 を作れる なぜこういう流れになるか？ 「#角度」を定義するのは，じつは難しい. 「内積」のほうがはるかに定義しやすい.
#大学の力学_惑星の運動編 94 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル である 定ベクトル ↑e と， 惑星の #位置ベクトル ↑r(t) との #内積 をとると… ↑e・↑r(t) ＝ e r cosθ ＝ e r(t) cos θ(t) ※eはある定数 となり， この r(t), θ(t) で #極座標 を設定可能になる。
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