#3次元・極座標のラプラシアン導出 39 #3次元 極座標系の中に #2次元 極座標系が ごく自然に内包されるように. またθやφは 位置ベクトルと座標軸の #内積 をとるだけで簡単に求まるように. この上記の方針だけで x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ が 自動的に決まるのである.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 38 3次元 #極座標 の θ(#天頂角)の取り方の根拠: ▶「↑Pとz軸のなす角」をθとおき z ＝ r cosθ とすれば ↑Pとz軸との #内積 をとるだけで 簡単にθが求まる。 ▶「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z ＝ r sin θ ' だと， θ ' を求める計算が面倒！

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論入門」(2006山田) 書評より: 『一般に #物理 の文献は #作用素 の #エルミート 性や #内積 の #ユニタリ 性を #重要視 するが 本書はそこを敢えて避けている. #微分作用素 を エルミートにするための 虚数単位は掛けず， 規格化の平方根ノルムも省く.』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 39 #3次元 極座標系の中に #2次元 極座標系が ごく自然に内包されるように. またθやφは 位置ベクトルと座標軸の #内積 をとるだけで簡単に求まるように. この上記の方針だけで x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ が 自動的に決まるのである.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 38 3次元 #極座標 の θ(#天頂角)の取り方の根拠: ▶「↑Pとz軸のなす角」をθとおき z ＝ r cosθ とすれば ↑Pとz軸との #内積 をとるだけで 簡単にθが求まる。 ▶「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z ＝ r sin θ ' だと， θ ' を求める計算が面倒！

（音声解説版）東京薬科大学・過去問　２０１３年　４番　｛数学Ⅰ　空間図形｝薬学部 #空間図形　#三角比　#三平方の定理　#内積　#東京薬科大学... youtu.be/L0i8a4Hy0Ro?si… via @YouTube

#群論の初歩 33 Q. 2つのベクトルに対する #二項演算 として #内積 および #外積 を考える時， 各々 #交換法則 を満たすか? A. 内積の場合， ↑A・↑B = ↑B・↑A より交換法則が成り立つ. 外積の場合， #歪対称性(反交換則)より ↑A×↑B = －↑B×↑A となるので交換法則は成り立たない.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 39 #3次元 極座標系の中に #2次元 極座標系が ごく自然に内包されるように. またθやφは 位置ベクトルと座標軸の #内積 をとるだけで簡単に求まるように. この上記の方針だけで x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ が 自動的に決まるのである.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 38 3次元 #極座標 の θ(#天頂角)の取り方の根拠: ▶「↑Pとz軸のなす角」をθとおき z ＝ r cosθ とすれば ↑Pとz軸との #内積 をとるだけで 簡単にθが求まる。 ▶「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z ＝ r sin θ ' だと， θ ' を求める計算が面倒！

#大学の力学_惑星の運動編 105 惑星の #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ (d/dt)↑e(t) ＝ 0 ↓ ↓ 両辺を積分する ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM － ↑r/r ↓ ↓ 両辺と ↑r の #内積 をとる ↓ #楕円軌道 (#ケプラーの第１法則)

#大学の力学_惑星の運動編 102 #LRLベクトル↑eの定義式の 両辺で↑rと #内積 をとって得られる r,θの式: e r cos θ = h^2 / GM － r ↓ r( e cos θ＋1) = h^2 / GM = 定数k ∴ r(t) = k / ( e cos θ(t) + 1 ) e, k はある定数. θ が決まると，r も決まる. つまり ある #軌道 を表わす.

#大学の力学_惑星の運動編 101 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル の定義式: ↑e(t) ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r 両辺で ↑r(t) との #内積 をとった結果… 左辺・↑r(t) = e r cos θ 右辺・↑r(t) = h^2 / GM － r ∴ e r cos θ = h^2 / GM － r r, θ の式になった！

#大学の力学_惑星の運動編 97 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r 右辺と ↑r との #内積 をとると… ↑e・↑r = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}・↑r / GM － ↑r・↑r / r = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}・↑r / GM － r

#大学の力学_惑星の運動編 96 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル の定義式: ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r この式の左辺と ↑r(t) との #内積 をとると e r(t) cos θ(t) になる。 では，この式の右辺と ↑r(t) との内積をとると どうなるか？

#大学の力学_惑星の運動編 95 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル と 惑星の #位置ベクトル との #内積 をとる ↓ cosθが決まる ↓ θが決まる ↓ おかげで #極座標 を作れる なぜこういう流れになるか？ 「#角度」を定義するのは，じつは難しい. 「内積」のほうがはるかに定義しやすい.

#大学の力学_惑星の運動編 94 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル である 定ベクトル ↑e と， 惑星の #位置ベクトル ↑r(t) との #内積 をとると… ↑e・↑r(t) ＝ e r cosθ ＝ e r(t) cos θ(t) ※eはある定数 となり， この r(t), θ(t) で #極座標 を設定可能になる。

#大学の力学_惑星の運動編 93 #LRLベクトル である ↑e を 「#座標系 の基準軸」として使える. とはどういう事か？ それは… ① ↑e から見て反時計回りに #角度 θ を計る事にし， #極座標 を設定できる. ② 惑星の #位置ベクトル ↑r と ↑e との #内積 をとれば， cosθ がわかる.

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論入門」(2006山田) 書評より: 『一般に #物理 の文献は #作用素 の #エルミート 性や #内積 の #ユニタリ 性を #重要視 するが 本書はそこを敢えて避けている. #微分作用素 を エルミートにするための 虚数単位は掛けず， 規格化の平方根ノルムも省く.』

（音声解説版）東京電機大学・過去問　２０１３年　２番　｛数学Ⅲ　ベクトル｝工・未来科学・理工・情報環境学部　#ベクトル　#空間ベクトル　#内積　... youtu.be/o4C88LrjJic?si… via @YouTube

#3次元・極座標のラプラシアン導出 39 #3次元 極座標系の中に #2次元 極座標系が ごく自然に内包されるように. またθやφは 位置ベクトルと座標軸の #内積 をとるだけで簡単に求まるように. この上記の方針だけで x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ が 自動的に決まるのである.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 38 3次元 #極座標 の θ(#天頂角)の取り方の根拠: ▶「↑Pとz軸のなす角」をθとおき z ＝ r cosθ とすれば ↑Pとz軸との #内積 をとるだけで 簡単にθが求まる。 ▶「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z ＝ r sin θ ' だと， θ ' を求める計算が面倒！