#群論の初歩 33 Q. 2つのベクトルに対する #二項演算 として #内積 および #外積 を考える時， 各々 #交換法則 を満たすか? A. 内積の場合， ↑A・↑B = ↑B・↑A より交換法則が成り立つ. 外積の場合， #歪対称性(反交換則)より ↑A×↑B = －↑B×↑A となるので交換法則は成り立たない.

#解析力学_Hamilton形式編 59 ①#歪対称性 ②#分配則(#ライプニッツ則) ③#ヤコビの恒等式 上記3つの性質を #公理 に持つ #代数系 は #ポアソン括弧 以外にも作れる. 例えば #軌道角運動量 ベクトルが満たす 「#角運動量 の代数」が挙げられ， #リー代数 の最も簡単な例となっている.

#解析力学_Hamilton形式編 58 ①#歪対称性(反交換則) {B,A}=－{A,B} ②#分配則(#ライプニッツ則) {AB,C}={A,C}B＋A{B,C} ③#ヤコビの恒等式 {A,{B,C}} + {B,{C,A}} + {C,{A,B}} = 0 #ポアソン括弧 は上記3つの性質を満たす という事になる.

#解析力学_Hamilton形式編 54 Q. #ポアソン括弧 が満たす #ヤコビの恒等式(#ヤコビ恒等式)とは A. 下記の性質. { { A, B }, C } + { { C, A }, B } + { { B, C }, A } ＝ 0 #歪対称性 で変形すると { C, { A, B } } + { B, { C, A } } + { A, { B, C } } = 0

#解析力学_Hamilton形式編 50 #ポアソン括弧 の「#歪対称性」 {B,A}=－{A,B} この性質は呼び名が幾つかある. symmetric #対称 な ⇔ ★skew-symmetric #歪対称 の ★antisymmetric #反対称 の，#逆対称 の commutative #可換 な，#交換可能 な ⇔ ★anticommutative #反可換 な

#解析力学_Hamilton形式編 49 Q. #ポアソン括弧 の #歪対称性(わいたいしょうせい)を示せ. つまり{B,A}を{A,B}で表せ A. {B,A}＝－{A,B} ※skew-symmetric 証明 {B, A} ＝Σ_i ( ∂B/∂q_i・∂A/p_i－∂A/∂q_i・∂B/p_i) ＝－Σ_i ( ∂A/∂q_i・∂B/p_i－∂B/∂q_i・∂A/p_i) ＝－{A, B}