#群論入門_正規部分群編 42 #交換子(commutator) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… ・数学における交換子は 「#二項演算 がどの程度 #可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」 を測る指標の役割を果たす. ・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない. かわりに，#生成 される部分群を考える.

#群論入門_正規部分群編 37 交換子全体の集合が 積(#二項演算)について閉じていない件 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… 引用： 「#交換子 2つ以上の積は 必ずしも交換子とは限らない. 2つの交換子の積が交換子とならない 最小 #位数 の #有限群 は， 位数 96 であることが知られている.」

#群論入門_正規部分群編 36 Q. ある #群 Gの #交換子 全体がなす集合は Gの #部分群 か？ A. 一般に 交換子と交換子の積は 交換子になるとは限らない. つまり 「交換子全体がなす集合」は 群の #二項演算 について閉じていない. よって 「交換子全体がなす集合」は 一般に群ではない.

#群論入門_正規部分群編 17 Q. #アーベル群 Gの #部分群 Nは， Gの #正規部分群 でもある事を示せ A. Nの元nの Gの元gによる #共役変換 は f(n) =g^{-1} n g GとNは #二項演算 が共通で nはGの元でもあり G内とN内で #交換法則 が成立するので =g^{-1} g n =n ∈N ∴NはGの正規部分群.

#巡回群とは 59 Q. #群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m} の #べき積 の全体は 群をなす事を示せ A. べき積同士の積はべき積で #二項演算 が #閉じている. どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK. #単位元 は(a_1)^0=e. 積の逆元の計算より べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積. ∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 33 x∈#群 Gの時 Gの情報が芋づる式にわかる！ ▶群の #公理 より ①xの #逆元 x^{-1}もGに属する ②#二項演算 が #閉じている ので xの正の #べき x^2, x^3, …と xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する ▶#巡回部分群 の性質より ③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 28 Q. H を 元 a によって #生成 される Gの #巡回部分群 とする. H が G の #部分群 である事を示せ. A. 前ツイよりHは #群. また前提より a∈G で 群Gの #二項演算 は #閉じている ので aの任意の #べき はGに属する. ∴Hの全ての元がGに属し HはGの部分集合で HはGの部分群.

#巡回群とは 27 Q. Hを 元aによって #生成 される Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする. Hが #群 である事を示せ. A. H の任意の2元に対し (a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで #二項演算 が #閉じている. #単位元 は a^0＝e. 任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在. よって H は群である.

#巡回群とは 21 Q. 整数全体の集合ℤを #巡回群 とみなす場合 その #生成元 は. A. a＝+1 または a＝-1 を生成元とし， #二項演算 として加法 #単位元 1 元 x の #逆元 として －x を考え， 演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し その全体の集合は { na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

#巡回群とは 20 Q. N乗して1になる複素数を z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N) とおく. 集合 S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 } から #巡回群 を作れ. A. S上の #二項演算 として 乗法を導入した #代数系 をGとおくと， G は z(N, 1) を #生成元 とする #位数 Nの有限巡回群.

#群論の知識 #群 の #直積 (direct product of groups) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 群 A, B に対し 集合としての直積 A×B を考え， その2元 x＝(a_1, b_1) y＝(a_2, b_2) x, y ∈ A×B に対し 積を xy＝(a_1 a_2, b_1 b_2) のように成分ごとの #二項演算 として定義すると A×B は群となる.

#代数系の初歩 29 このハッシュタグの復習: ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群) 全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28 英語名称の復習 #代数的構造 algebraic structure #代数系 algebraic system #二項演算 binary operation #簡約法則(簡約律) cancellation property #マグマ magma #亜群 groupoid #半群 semigroup #モノイド monoid #準群 quasigroup, quasi-group #擬群，ループ loop

#代数系の初歩 24 Q. #準群 と #群 を比較せよ. A. 共通した性質: ・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ) 群の場合: ・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす. 準群の場合: ・単位元や結合法則は要請されない. ・逆元のかわりに「除法」が定義される.

#代数系の初歩 21 Q. マグマに #結合法則 を課さないまま #逆元 や #単位元 の存在を課したら どうなるか A. #二項演算 が #閉じている 集合: #マグマ ↓ マグマに「除法」演算の存在を課す: #準群 ↓ 準群に単位元の存在を課す: #擬群 ↓ 擬群に結合法則を課す: #群

#代数系の初歩 17 Q. マグマから アーベル群までの5段階で 1つずつ条件を増やせ A. 　　#マグマ: 閉 　　　#半群: 閉 結 　#モノイド: 閉 結 単 　　　　#群: 閉 結 単 逆 #アーベル群: 閉 結 単 逆 換　 閉 #二項演算 が #閉じている 結 #結合法則 単 #単位元 逆 #逆元 換 #交換法則

#代数系の初歩 15 Q. 「半群」の定義が どうしても記憶できない A. 1.#二項演算 が #閉じている 2.#結合法則 3.#単位元 4.#逆元 #群 はこの4条件を満たすが #半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。 群の「半分」の条件しか満たさないので "半群" なのです… と記憶できるかも?

#代数系の初歩 14 #モノイド(monoid) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2… ・単系(たんけい)とも呼ぶ. ・1つの #二項演算 と #単位元 をもつ #代数的構造 であり， #結合法則 を満たす. ・モノイドは 「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」) なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 12 #結合法則(associative law) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90… 結合性(associative property, associativity): 結合律，結合則. 一部の #二項演算 が持つ性質. 被演算子の並びが変わらない限り 全体の演算結果に影響を与えない. #群，#モノイド，#半群 の公理の一つ.

#代数系の初歩 10 #マグマ (数学) 英:magma ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E… ・ #亜群(あぐん, groupoid)とも呼ばれる. ただしこれとは別に， #圏論 に「亜群」という用語があるので 混同してはならない. ・ #二項演算 が #閉じている ことを要求し それ以外の何らの #公理 も課さない.

#代数系の初歩 9 Q. #代数学 において #マグマ とは. A. ある集合Mにおいて 「#閉じている 二項演算」(#内算法) が定義されていれば， Mをマグマと呼ぶ. (※ #ブルバキ が導入した呼び名) その #二項演算 は #結合法則 を満たす必要はなく， #単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#代数系の初歩 8 #二項演算 (binary operation) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C… ・数の四則演算(加減乗除)などの 「2つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念. ・二項算法，結合などとも呼ぶ. ・単に「積」とか「乗法」と呼ぶこともある.

#代数系の初歩 7 Q. #二項演算 の場合， #内算法 を何と呼ぶか. A. ある二項演算がGの内算法であれば その二項演算を Gの「内部二項演算」 「二項内算法」のように呼ぶ. 要は，集合内で #閉じている 二項演算を指す. 演算結果が集合の外側にはみ出てしまったら 内算法とは呼べない.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p22より: 『「#元 の特殊な #具体性 に関わりなく #群 が #定義 される事」を #ケイリー が示したのは #1854年 以後の事. 群の本質的 #構造 は ケイリーが示したように，もっぱら 元の対に対する #二項演算 を 規定する手段に依存.』

#代数系の初歩 5 Q. ある #代数的構造 G が ある #二項演算 について #閉じている とはどういう意味か A. G内の任意の2つの元 x, y を引数にとって 二項演算を実行した際 演算の結果である xy も必ずGに属している ということ. 要は，演算の結果が 集合からはみ出ないということ.

#代数系の初歩 4 Q. #代数学 において #二項演算 とは何か. A. ある集合 G の 2つの元 x, y を引数にとって， 新たな1つの元 z を生み出す操作のこと. #群 の2元に関する演算 xy #加法群 の2元に関する演算 x＋y などは二項演算である.

#代数系の初歩 1 ↑ このハッシュタグでは #群論 の土台となる抽象 #代数学 の 初歩を俯瞰するため 下記の事項を学びますぞ！ ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群)

#群論の初歩 73 Q. O(n)上で 行列の積という #二項演算 が #閉じている ことを示せ A. #直交行列 の積が 直交行列であることを示す. 直交行列A,Bについて #転置 の性質より (AB)^t ＝ B^t A^t (AB)(AB)^t =A(B B^t) A^t =A E A^t =A A^t =E 同様に (AB)^t (AB)＝E ∴ABは直交行列

#群論の初歩 69 Q. X－{0} は Xから0という要素を除いた集合を表す. ① ℤ－{0} ② ℚ－{0} ③ ℝ－{0} ④ ℂ－{0} この4つの集合について #部分群 の関係を作れるか？ A. #二項演算 として #積 を考えると ②③④は #アーベル群. ①は #逆元 が無く #群 になれない. ∴ ②⊂③⊂④

#群論の初歩 68 Q. ℤ 整数全体の集合 ℚ 有理数全体の集合 ℝ 実数全体の集合 ℂ 複素数全体の集合 この4つの集合について #部分群 の関係を作れ. A. #二項演算 として和を考えると これら4つはいずれも #アーベル群 となる. 部分群の関係を G⊃H のように表記すると ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ

#群論の初歩 62 Q. #群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが 1)∀a,b∈H⇒ab∈H 2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H の時 Hが群である事を示せ. A. 1)よりHの二項演算は #閉じている. Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす. 2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在. ∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 61 Q. #群 Gと同じ #二項演算 を持つ Gの部分集合Hが 1) ∀a,b∈H ⇒ ab∈H 2) ∀a∈H ⇒ a^{-1}∈H ならば Hに #単位元 が存在する事を示せ A. Hの元は全てGの元なので aa^{-1} はGの単位元eであり (1)より aa^{-1}＝e はHの元. GとHで二項演算が同じなので eはHの単位元.

#群論の初歩 60 Q. #群 G の部分集合 H が Gの #部分群 となるために H が満たすべき2条件 A. (1) H の任意の2元 a, b に対し ab は H の元. (Gと同じ #二項演算 が 部分群の内部で #閉じている) (2) H の任意の元 a に対し その逆元a^{-1}は H の元. (部分群の内部で #逆元 の存在を保証)

#群論の初歩 59 Q. 整数全体 ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 素数全体 ℙ＝{2, 3, 5, 7, 11, …} #二項演算 として和を考えると #部分群 の関係は有るか？ A. ℙの2元 a, b に対し a＋b ∈ℙは常に成立せず 二項演算が閉じていないので ℙは #群 ではない. よってℙはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 58 Q. 整数全体 ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 自然数全体 ℕ＝{1, 2, 3, …} #二項演算 として和を考えると #部分群 の関係は有るか？ A. ℤ上で #単位元 は0. 任意の元に対し #逆元 が存在. ℤは #群. ℕには単位元も逆元も無く群でない. よってℕはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 57 Q. 整数全体の集合 ℤ ＝ { …, -2, -1, 0, 1, 2, … } 偶数全体の集合 2ℤ ＝ { …, -4, -2, 0, 2, 4, … } と表記するとき #部分群 の関係を作れ. A. #二項演算 として和を考えると ℤも 2ℤ も各々 #群 である. 2ℤ はℤの部分集合だから， 2ℤ はℤの部分群である.

#群論の初歩 56 Q. #部分群 とは何か説明 A. #群 G の部分集合Hをとり， Gの #二項演算 によって Hが群になるとき， HをGの部分群(subgroup)と呼ぶ. もとの集合の 「部分集合で，演算の同じ群が作れれば部分群」 というわけ. この時，GとHで 単位元や逆元は共通となる.

#群論の初歩 55 Q. n次 #正則行列 全体GL(n)は #行列 の和について #群 か? A. 加法の #単位元 は #零行列 Oで #正則 ではない. GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので 群ではない. またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ #二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 51 Q. GL(n,V) 上で 行列の積という #二項演算 が #閉じている ことを示せ A. #正則行列 A, Bの積 AB＝M が #正則 である事を示す. Mに左から M'＝B^{-1} A^{-1} をかけると M'M＝E Mに右から M' をかけると MM'＝E ∴E＝M'M＝MM' で M の逆行列は M' だから M は正則

#群論の初歩 41 #加法群 (英 additive group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… ・ 群演算を，ある意味で 加法と考えることのできる #群. ・通常は #アーベル群. ・ #二項演算 を 記号 + を使って書くのが一般的. ※乗法群 (multiplicative group) というのも存在する