#群論の知識 #位相群 (topological group) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ・ #連続群 との表記も. ・ #位相 の定められた #群. #位相空間 に群演算(#二項演算)を定めたもの ・位相群では「全ての群演算が与えられた位相に関し #連続」という意味で「代数構造と位相構造が両立」する.

#群論の知識 (#群論 で) #自由積 (free product) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA… 2つの #群 G, H から 新しい群 G∗H を構成する操作. 自由積 G∗H は G と H をともに #部分群 として含む. 自由積において 元は G, H の縮約された #語. #二項演算 は，語を連結して縮約すること.

#体論の初歩 1 Q. #群，#環，#体 の3つのうち 「#対称性」を考える上で 最も有用なのはどれか A. 環と体は2種類の #二項演算 をたばねた構造で 「#逆元 が存在しない場合」という例外あり. 一方，群はシンプルで 1種類の二項演算のみを扱い どの要素も確実に逆元の存在が保証されている.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p22より: 『「#元 の特殊な #具体性 に関わりなく #群 が #定義 される事」を #ケイリー が示したのは #1854年 以後の事. 群の本質的 #構造 は ケイリーが示したように，もっぱら 元の対に対する #二項演算 を 規定する手段に依存.』

#群論の知識 #群 の #直積 (direct product of groups) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 群 A, B に対し 集合としての直積 A×B を考え， その2元 x＝(a_1, b_1) y＝(a_2, b_2) x, y ∈ A×B に対し 積を xy＝(a_1 a_2, b_1 b_2) のように成分ごとの #二項演算 として定義すると A×B は群となる.

#環論の初歩 8 #環論 (ring theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0… ・ #環 を研究する学問分野が環論. ・環は加法と乗法が定義され「整数の持つ性質とよく似た性質」を満足する #代数的構造. ・環は #アーベル群 に第2の #二項演算 として，#結合法則 と #分配法則 を満たす * を導入したもの