#群論の初歩 24 Q. #単位群 とは. A. ただ1つの元として #単位元 e を持つような集合 { e } は， #位数 が 1 の #有限群 であり 単位群と呼ぶ. 例: ・ #二項演算 として実数の積 ・単位元として実数 1 を考えれば { 1 } という集合は単位群である.

#群論入門_剰余類編 66 Q. #群 Gを #左分解 または #右分解 する際の #部分群 Hとして Gの #自明な部分群，つまり ・G自身 or ・ #単位群{e} を使うとどうなる? A. たとえ: 多項式f(x)を因数分解する時， 共通因数として f(x)自身または 1という数をくくりだしても 意味ある分解にならない.

#群論入門_正規部分群編 59 Q. 「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達しない」 ↑ 列の末尾に #単位元 が無いってこと？ A. そうではない. 先頭の #群 Gは必ず単位元eを含み その #交換子群 も必ずeを含み 列内で順次，常にeを含む. e"以外"の元を「消す」事ができれば単位群に到達する.

#群論入門_正規部分群編 58 Q. 「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」 しない場合もあるの？ A. ある #群 Gの #交換子群 D(G)が G自身になってしまう事がある. 交換子群列のどこかでこれが生じると D( D_i(G) )＝D_i(G) で …⊳D_i(G)⊳D_i(G) となってしまい {e}に到達できない.

#群論入門_正規部分群編 56 Q. 「#交換子群＝非可換性の強さ」 と捉えると 「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」 の意味は? A. #可解群 の交換子群列の末尾は …⊳D_{n-1}(G)⊳{e} D_{n-1}(G)の交換子群が{e}なので D_{n-1}(G)は #アーベル群. つまり，列の末尾で非可換性が消える.

#群論入門_正規部分群編 55 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… 適当な n∈N に対し， n次 #導来部分群 が {e} となるような #群 は #可解群 と呼ばれる. #可解 群(solvable group, soluble group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF… ・導来列(#交換子群列)が #単位群 で終わるような群のこと

#群論入門_正規部分群編 54 Q. #可解群 とは. A. Gの #交換子群列 が G ⊳ D_1(G) ⊳ D_2(G) ⊳ … ⊳ D_n(G)＝{e} のように 有限回で末尾が #単位群 となる時， Gを #可解 な群と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 21 Q. 群Gの #正規列 とは A. #群 Gの #部分群 の列で G ＝ H_0 ⊃ H_1 ⊃ H_2 ⊃ … ⊃ H_n ＝{e} のように 有限の n において 末尾が #単位群 になるものを考える. ここで各1≦i≦nにおいて H_i が H_{i-1} の #正規部分群 ならば この列をGの正規列と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 20 #単純群 (simple group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・「自明でない #正規部分群」 (＝それ自身と #単位群 {e} 以外の正規部分群) を持たず， またそれ自身も単位群ではない #群 のこと. ・この頁は熟読しましょう.

#群論入門_正規部分群編 19 Q. #単純群 とは. A. #正規部分群 として 「#自明な正規部分群」のみを持つような #群 G のことを 単純群という. つまり， (1) 群 G そのもの (2) #単位群 {e} 以外の正規部分群(＝「非自明な正規部分群」) を持たないような群のこと.

#群論入門_正規部分群編 18 Q. 「自明な #正規部分群」とは. A. #群 G の部分集合のうち 下記の２つは， (Gの「#自明な部分群」であると同時に) Gの「#自明な正規部分群」でもある. (1) 群 G そのもの. (2) Gの #単位元 からなる #単位群 {e}.

#巡回群とは 69 英語名称のおさらい #巡回群 cyclic group 単項生成群 monogenous group #生成元 generator 原始元 primitive #巡回部分群 cyclic subgroup #単位群(自明群) trivial group #位数 order

#巡回群とは 48 以前 「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は #単位群{e}と自分以外に部分群を持たない. これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った. 前ツイによると 「真部分群を持たない群は 素数★ #位数 の #巡回群 のみ」. 素数つながりである.

#巡回群とは 8 Q. #単位群(自明な群)は #巡回群 であり， その #生成元 の #位数 が 1である事を示せ. A. 単位群(自明群，trivial group)は ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}. 全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群. e^n＝eとなる最小の自然数は n＝1なので， eの位数は1.

#群論の初歩 67 Q. 「#真部分群」とは どんなイメージ？ A. 分かりやすい例えでいうと， 自然数の 「1と自分自身を除く約数」に似ている. 素数pは 1と自分自身pでしか割り切れない. 真部分群をもつ群Gは 合成数のようなもので， #単位群{e}と自分自身G以外に (自明でない)部分群を持つ.

#群論の初歩 66 Q. 「自明でない #部分群 を持たない」とは どんなイメージ？ A. 分かりやすい例えでいうと 素数に似ている. 素数pは 1と 自分自身pでしか割り切れない。 (自明な約数しか持たない) 群Gも， #単位群{e}と 自分自身Gという 自明な部分群しか持たない場合がある.

#群論の初歩 63 Q. #自明な部分群 とは A. #群 Gの部分集合のうち 下記の２つを Gの「自明な #部分群」(trivial subgroup)と呼ぶ. (1) 群Gそのもの (2) Gの #単位元 からなる #単位群 {e}

#群論の初歩 24 Q. #単位群 とは. A. ただ1つの元として #単位元 e を持つような集合 { e } は， #位数 が 1 の #有限群 であり 単位群と呼ぶ. 例: ・ #二項演算 として実数の積 ・単位元として実数 1 を考えれば { 1 } という集合は単位群である.