＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) amazon.com/dp/0394015703 p73より: 『#二面体群 の #ケイリー図型 の #3次元 的 #解釈 は， 「裏返し線分」 (#生成元「#裏返し」に 対応する #線分) で結ばれた， #相対応 する #頂点 をもつ 2個の 平面 #多角形 を与える。』

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p68より引用: 『要約しておこう。 #群　　　　#グラフ #元　　　　#頂点 #生成元　　同色の #有向線分 #語　　　　#道 元の #乗法　　　　道の #継続 Ｉに対する語　　　閉じた道 rx＝sの #可解性　　グラフ網は #連結 』

#群論の知識 #群 の #表示 (presentation of group) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 群を ①#生成元 と ②生成元の間に成り立つ関係 によって特定すること. 一般に群は必ず表示を持つが 一意的ではない. ①の生成元のみがあり ②の関係が定義されない場合は， #自由群 という.

#巡回群とは 72 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#巡回群 ･#べき ･#生成元 の位数 ･巡回群の #位数 ･例: #原始n乗根 ･巡回群の #部分群 ▶#群 の1つの元… ･…が #生成 する #巡回部分群 ･…の位数 ▶部分集合が #生成系 となる部分群 ･#べき積 全部思い出せますかな

#巡回群とは 69 英語名称のおさらい #巡回群 cyclic group 単項生成群 monogenous group #生成元 generator 原始元 primitive #巡回部分群 cyclic subgroup #単位群(自明群) trivial group #位数 order

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p62-63より: 『全ての #元 が #生成元 a の #べき として表される #無限巡回群 の #ケイリー図型. 等間隔に区切られた直線を それ自身に移す #合同移動 を考えよう. … | ●　a^{-2} | ●　a^{-1} | ●　Ｉ | ●　a | ●　a^2 | … 』

#巡回群とは 65 Q. ①#群論 で #群 を生成するための #生成元 や #生成系. ②#線形代数 で #ベクトル空間 の #基底. ↑ 似てる? A. ①群の任意の元は 生成元の #べき または 生成系の #べき積 で 表せる. ②ベクトル空間の 任意の元(#ベクトル)は 基底ベクトルの #線形結合 で表せる.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p61より: 『#頂点 が #元 に #対応 し， #線分 が群 #生成元 や その #逆元 を乗ずることに 対応するような， #有向線分 の網組織(#グラフ) による #群 の表示は #19世紀 の #数学者 #ケイリー により考案され #ケイリー図型 という.』

#巡回群とは 44 前ツイの解説: 「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは aのある #べき で生成される巡回群」 を既に示してある. ここで 「Hの #位数 mを固定すると Hの #生成元 a^i＝a^sも そこから一意に特定できる」 という事を言えれば， 特定の位数mの部分群Hが 一意だと示せる.

#巡回群とは 43 Q. #位数 n の #巡回群 ‹a›と nの約数mに対し 位数mの #部分群 が ただ1つ存在する事を示せ A. 位数mの任意の部分群をHとし a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおけば 前ツイまでよりH=‹a^s›. 巡回群の位数の性質より (a^s)^m＝e＝a^n ∴s＝n/m Hの #生成元 は唯一a^(n/m).

#巡回群とは 42 前ツイの解説: 「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは必ず巡回群.」 を示すには… 「Hの全ての元が ある元a^sの #べき として書ける」 つまりHに #生成元 がある事を示せばよい. 割り算の商と余りの議論で 余り=0を示し どの元も生成元a^sのべき乗である事を導く.

#巡回群とは 35 ①#巡回群‹a›の #生成元 aに対し a^i=eとなる最小の自然数iを 生成元aの #位数 と呼ぶ. ②任意の #群 Gの 任意の元xは， xを生成元とする #巡回部分群‹x›を生み出せて， ①より‹x›は位数をもつ. ↓ 任意の群Gの 任意の元xは それぞれ位数の情報を持てるのではないか?

#巡回群とは 30 #群 G の元が g_1，g_2，g_3，… だとする時 この1個1個ぜんぶから その元を #生成元 にした #巡回部分群 を作れて H_1 ＝ ‹ g_1 › H_2 ＝ ‹ g_2 › H_3 ＝ ‹ g_3 › … のように Gの #部分群 がざくざく手に入る！ ※ただしこれらの巡回部分群は 互いに等しい場合も.

#巡回群とは 29 Q. よく考えてみると， #巡回部分群 ってスゴく便利なのでは？ A. 一般の #群 Gがある時， Gのどの元からも1コずつ その元が #生成元 となる #巡回群 をつくれて， その巡回群は必ずGの #部分群 になるわけだから. Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 25 「#巡回群」という概念が現れる機会は， 沢山あるのだろうか？ 答えは「めちゃくちゃ沢山ある」。 #群 G の要素が n 個あったら その n 個の要素すべてを それぞれ #生成元 として 巡回群を作ることができ， 何と全て G の #部分群 になるのである. 次ツイから見てみよう.

#巡回群とは 24 Q. 「#原始n乗根」の反例を考える. -1 は「1の4乗根」だが 「1の原始4乗根」ではない事を示せ. A. 1の4乗根は 1, i, -1, -i の4つ. ‹ -1 › ＝ { 1, -1 } で， -1 は 「1の4乗根がつくる(4つの元を含む)#巡回群」の #生成元 になれないので -1 は1の原始4乗根ではない.

#巡回群とは 23 Q. 「#原始n乗根」の例を考える. 虚数単位 i が「1の4乗根」であり なおかつ「1の原始4乗根」でもある事を示せ. A. 1の4乗根は 1, i, -1, -i の4つ. ‹ i › ＝ { i, -1, -i, 1 } で i は 「1の4乗根すべて(4つ)を含む #巡回群 の #生成元」 なので， i は1の原始4乗根.

#巡回群とは 22 Q. 1の「#原始n乗根」とは. A. 「1のn乗根がつくる #巡回群」の #生成元 となれる数のこと. 1の原始冪根 ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%A… 1のn乗根のうち「n乗して初めて1になるもの」のこと.

#巡回群とは 21 Q. 整数全体の集合ℤを #巡回群 とみなす場合 その #生成元 は. A. a＝+1 または a＝-1 を生成元とし， #二項演算 として加法 #単位元 1 元 x の #逆元 として －x を考え， 演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し その全体の集合は { na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

#巡回群とは 20 Q. N乗して1になる複素数を z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N) とおく. 集合 S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 } から #巡回群 を作れ. A. S上の #二項演算 として 乗法を導入した #代数系 をGとおくと， G は z(N, 1) を #生成元 とする #位数 Nの有限巡回群.

#巡回群とは 19 Q. 虚数単位 i を #生成元 として #巡回群 G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 } を作る. (1) Gにおける -1 の #位数 は？ (2) Gにおける 1 の位数は？ A. (1) (-1)^n＝e＝1となる最小の自然数nは2なので ord(-1)＝2. (2) 1^n＝e＝1となる最小の自然数nは1なので ord(1)＝1.

#巡回群とは 18 Q. 虚数単位 i を #生成元 として #巡回群 G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 } を作る. (1)#群 G の #位数 は？ (2) i の位数は？ A. (1) #有限群 で要素数が4なので |G|＝4 (2) iはGの生成元だから ord(i)＝|G|＝4. またi^n＝e＝1となる最小の自然数nは4なので やはりord(i)＝4.

#巡回群とは 17 Q. 次の数を #生成元 として 乗法に基づいた #巡回群 を作り その #位数 を求めよ (1) 虚数単位 i (2) -1 A. (1) ‹ i › ＝ { i, i^2＝-1, i^3＝-i, i^4＝1 } ＝{ i, -1, -i, 1 } 位数は4. (2) ‹ -1 › ＝ { -1, (-1)^2＝1 } ＝{ -1, 1 } 位数は2.

#巡回群とは 14 Q. (1) #群 G の位数 (2) #巡回群 G の #生成元 a の位数 ↑ どちらも #位数 と呼ぶので 紛らわしくないか？ A. 確かに同じ用語であるが， 群 G が巡回群である場合 (1)の「群の位数」と (2)の「元の位数」で 値が一致するため，紛らわしくはない.

#巡回群とは 9 ①「#群 G の 位数 |G| 」 ②「#巡回群 ‹a› の #生成元 a の位数」 という 2種類の「#位数」の定義を学んだ. ①と②の間に 関連はあるのだろうか？ 実は，巡回群が #有限群 の場合 ②の値が n ならば ①の値も n である. 次ツイからその事を証明してゆこう.

#巡回群とは 8 Q. #単位群(自明な群)は #巡回群 であり， その #生成元 の #位数 が 1である事を示せ. A. 単位群(自明群，trivial group)は ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}. 全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群. e^n＝eとなる最小の自然数は n＝1なので， eの位数は1.

#巡回群とは 7 Q. #巡回群 G の #生成元 が a であるとき， a の #位数 とは. A. G が #有限群 の場合， e を #単位元 とし a^m ＝ e を満たす 最小の自然数 m が存在し その m を 「元 a の位数」と呼ぶ.

#巡回群とは 6 Q. #巡回群 は #アーベル群 である事を示せ. A. #群 Gが aを #生成元 とする巡回群 ‹ a › ならば Gの任意の2元x,yは x＝a^m y＝a^n という #べき の形である.(m,n∈ℤ) xy＝(a^m)(a^n)＝a^{m+n} yx＝(a^n)(a^m)＝a^{n+m}＝a^{m+n}＝xy なので，#交換法則 が成り立つ.

#巡回群とは 5 Q. #巡回群 G の #生成元 a を考えるメリットは？ A. G ＝ ‹ a › のように表記すれば， #群 Gの全ての要素をいちいち列挙しなくて済み 面倒が省ける. 群がもつ全要素の情報を aというただ1つの元だけで表せる. 群の本質的な情報を 簡潔に手短に言い表せる，ということ.

#巡回群とは 4 #巡回群(cyclic group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1… ・ただ1つの元で生成される #群. #生成 とは，群のどの元も #生成元 の整数 #べき で書けるという事. ・単項生成群(monogenous group)とも. ・生成元(generator) のことを 原始元(primitive) とも呼ぶ.

#巡回群とは 3 Q. #巡回群 とは. A. #群 G の ある1つの元を a として， G のすべての元が a の #べき である( a^n に等しい)とき， G ＝ ‹ a › と書き G は「a を #生成元 とする巡回群」であるという.

#巡回群とは 1 ↑ このタグでは #群論の初歩 の内容を前提に 下記を学びますぞ！ ▶#巡回群 ･#べき ･#生成元 の位数 ･巡回群の #位数 ･例: #原始n乗根 ･巡回群の #部分群 ▶#群 の1つの元… ･…が #生成 する #巡回部分群 ･…の位数 ▶部分集合が #生成系 となる部分群 ･#べき積

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) amazon.com/dp/0394015703 p73より: 『#二面体群 の #ケイリー図型 の #3次元 的 #解釈 は， 「裏返し線分」 (#生成元「#裏返し」に 対応する #線分) で結ばれた， #相対応 する #頂点 をもつ 2個の 平面 #多角形 を与える。』

＜#代数学の参考書＞ 「有限置換群」(裳華房1981大山) shop.tsutaya.co.jp/book/product/9… 『次に，#置換群 の応用として #Mathieu群 を取り上げる。 #多重可移群 としての Mathieu群の #構成 および #生成元 を述べるとともに， #結合構造 の #自己同型 として その間の #関係，#一意性 を述べた。』

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p68より引用: 『要約しておこう。 #群　　　　#グラフ #元　　　　#頂点 #生成元　　同色の #有向線分 #語　　　　#道 元の #乗法　　　　道の #継続 Ｉに対する語　　　閉じた道 rx＝sの #可解性　　グラフ網は #連結 』

#群論の知識 #有限生成アーベル群 (finitely generated abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… ・ #有限生成 な #アーベル群. ・有限生成アーベル群 G の 任意の元 x は， #生成元 たちの 整数係数 線形結合として書くことができる.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p62-63より: 『全ての #元 が #生成元 a の #べき として表される #無限巡回群 の #ケイリー図型. 等間隔に区切られた直線を それ自身に移す #合同移動 を考えよう. … | ●　a^{-2} | ●　a^{-1} | ●　Ｉ | ●　a | ●　a^2 | … 』

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p61より: 『#頂点 が #元 に #対応 し， #線分 が群 #生成元 や その #逆元 を乗ずることに 対応するような， #有向線分 の網組織(#グラフ) による #群 の表示は #19世紀 の #数学者 #ケイリー により考案され #ケイリー図型 という.』

#群論の知識 #群 の #表示 (presentation of group) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 群を ①#生成元 と ②生成元の間に成り立つ関係 によって特定すること. 一般に群は必ず表示を持つが 一意的ではない. ①の生成元のみがあり ②の関係が定義されない場合は， #自由群 という.