#群論の知識 (#群論 の) #コーシーの定理 Cauchy's theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3… 「#有限群 G の #位数 |G| が 素数 p の倍数であれば， G は #位数 p の元を含む.」 1845年に #コーシー が証明.

#群論の初歩 24 Q. #単位群 とは. A. ただ1つの元として #単位元 e を持つような集合 { e } は， #位数 が 1 の #有限群 であり 単位群と呼ぶ. 例: ・ #二項演算 として実数の積 ・単位元として実数 1 を考えれば { 1 } という集合は単位群である.

#群論の初歩 23 Q. #群論 において 有限群，無限群，位数とは. A. 有限個の元からなる #群 G を #有限群 と呼ぶ. 有限群 G の元の個数を 有限群 G の #位数 と呼び |G| と表記する. 無限個の元からなる群 G を #無限群 と呼ぶ.

#群論の知識 p-群 (p-group) ja.wikipedia.org/wiki/P-%E7%BE%… ・p-準素群(p-primary group)とも. ・任意の元の #位数 が 素数 p のべきになっている. ・ #群 の構造を理解するための 基本的な道具の1つ. ・「ほとんどすべての #有限群 が 2-群である」 という都市伝説的な予想がある.

＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(1996吉川) 前書きより: 『5章までで議論する #有限群 とは， ある #図形 を ･#有限角度 の #回転 ･#鏡映 などの #操作 により それ自身に #重ねる 手続き間の #関係 を理解するものであり #視覚的 に理解しやすい。 後の #連続群 の理解の基礎にも…』

#群論入門_作用と軌道編 69 Q. 集合Xに #作用 する #有限群 G について， #バーンサイドの補題 | X/G | ＝ (1 / |G|) Σ{g∈G} | X^g | の式の意味を 定性的に解釈すると. A. 「#軌道 の総数は， #群 Gの各元gごとに生み出す 集合X内の #固定 点の個数を G内で平均をとったものと等しい.」

#群論入門_作用と軌道編 66 Q. 集合 X に #作用 する #有限群 G がある時， Gの #位数 |G| と Gの各元が生む #不動点 の個数 |X^g| が分かれば Xの #軌道 の総数は | X/G | ＝ (1 / |G|) Σ{g∈G} | X^g | この式を何と呼ぶか. A. #バーンサイドの補題 (コーシー・フロベニウスの定理)

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(2015江口・菅原) p187より: 『ℤ_2 #オービフォルド 化を 行なうと #定数項 がなくなり これが #最も基本的 な c=24のextremal CFTと考えられ， #モンスター群 と呼ばれる #巨大 な #位数 を持つ #有限群 の研究と 深い関係にある事が知られている.』

＜#代数学の参考書＞ 「群とその表現」(共立出版1967服部) 前書きより引用: 「#19世紀 末に #Frobenius によって #有限群 の #表現論 が 創始されて以来， #Lie群 や 一般の #位相群 の 表現論などもあいついで開拓され… 数学の諸分野と密接に結びついて 大きな位置を占めている。」

#群論の知識 #バーンサイドの定理 (Burnside theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… ・「p, q は素数， a, b は 0 以上の整数として， #位数 が (p^a)･(q^b) である #有限群 G は #可解群 である」 ・1904年に #バーンサイド が 有限群の #表現論 を使って証明.

＜#代数学の参考書＞ SGCライブラリ 「物理のためのリー群とリー代数」(2008窪田) 前書きより: 『大阪大学 理学部 物理学科での #群論 の #物理学 への #応用 を 主題とした講義のノートを #有限群 に関係する部分を圧縮しつつ #連続群 に関係する部分を膨張させて でき上がったのが本書.』

#群論の知識 バーンサイド問題 (Burnside problem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… 1902年：どの元も有限 #位数 を持つような #有限生成 群は，必ず #有限群 か? ↓ 1964年：反例 ↓ その後，条件を変えて研究が続く. 下記PDFの13ページ参照 jstage.jst.go.jp/article/sugaku… 「有限群論の成果と課題」

#群論入門_置換群編 116 ケーリーの定理 (Cayley's theorem) en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27… every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G 任意の #有限群 Gは 「Gに対して #作用 する #対称群 の #部分群」に #同型. つまり，ある #置換群 に同型.

#群論の知識 #モジュラー表現論 (modular representation theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2… ・ #表現論 の一部として，有限群の 正 #標数 の #体 上での線型表現を研究. 下記PDFの論説を読むとよい. 「#有限群 のモジュラー表現論における予想について」 2013・宇野 jstage.jst.go.jp/article/sugaku… .

#群論の知識 #マシュケの定理 (Maschke's theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E… ・ #有限群 の #表現 の 既約表現への分解に関する定理. ・有限群Gの ある標数0の #体 上の 有限次元表現 (V,ρ) に対し， 任意のG-不変部分空間Uは G-不変な直和補因子Wを持つ. つまり表現 (V,ρ) は #完全可約.

#群論の知識 有限群の表現 / #マシュケの定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8… #有限群 G の #表現 は 半単純(#完全可約)な性質を持ち， 任意の G-表現 W の部分表現 V が G-不変な補完表現(compliment)を持つ.

＜#代数学の参考書＞ 紀伊國屋数学叢書28 「有限単純群」 (紀伊國屋書店1987鈴木) p1より引用: 『任意の #有限群 が与えられれば その #組成列 に現れる #単純群 の集合が定まるので， それらの単純群の性質を用いて 任意の有限群のもつ性質を 解明することができる と期待される。』

#群論の知識 「#表現論 は， Gが #無限群 のときは #リー群 や代数群の連続表現を除いて， ほとんど手がついていないほど難しい。 また #有限群 の場合でも， #体 Kの #標数 が0でないときは なかなかの困難を見せており…」 (朝倉書店「加群十話」1988年)

＜#代数学の参考書＞ 「有限単純群」(1987鈴木) 前書きより引用: 『#分類定理 の #証明 は 非常に長く #非常に難しい ので， 証明の #簡易化 をはかること， および分類定理を #利用 して 一般の #有限群 の性質を #解明 することが， 今後の #有限群論 の 2つの #中心課題 と思われる。』

#群論の知識 #群環(group ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・ #有限群 の #表現論 で 重要な役割を果たす #代数的構造. ・与えられた #群 と #環 の構造を 自然に用いて構成される. #位相群 の群環 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

#群論入門_剰余類編 87 Q. #有限群 において #部分群 の #指数 が 大きい・小さいとは どういうことか A. |G:H| ＝ |G| / |H| 部分群よりもとの #群 は何倍大きいか. 指数1なら，部分群はもとの群と同サイズ. 指数2なら，部分群はもとの群の半分のサイズ. 指数が大きければ部分群は小さい.

#群論入門_剰余類編 85 Q. #有限群 G が #部分群 H をもつ時， H の #位数 および #指数 がみたすべき条件とは. A. #ラグランジュの定理 より (Gの位数)＝(Hの指数)×(Hの位数) なので， 「Hの位数も Hの指数も， Gの位数の約数でなければならない」 という制約条件がある.

#群論入門_剰余類編 82 Q. #群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ A. #有限群 Gの #部分群 Hによる #左分解 が G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N ならば Hの #指数 は|G:H|＝N. また |H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|. #類別 の性質より 各 #剰余類 は共通元を持たず |G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 81 Q. #群論 における #ラグランジュの定理 とは. A. #有限群 G が #部分群 H を持ち 群 G における部分群 H の #指数 を |G:H| とする時， 群 G の #位数 が 部分群 H の指数および位数を使って |G| ＝ |G:H| |H| と表せることをいう.

#群論入門_剰余類編 80 Q. #有限群 G の元 g と G の #部分群 H に対し | H g | ＝ | H | を示せ. A. Hの相異なる2元 h_1, h_2 から Hg の元 s＝h_1 g t＝h_2 g を作る. 仮にs＝tとすると #群 の #簡約法則 より h_1 g ＝ h_2 g ⇒ h_1＝h_2となり矛盾. ∴Hg内に|H|個の異なる元をとれる.

#群論入門_剰余類編 79 Q. 部分群の #指数 とは. A. #有限群 G の #部分群 H による… ・ #左分解 に現れる #左剰余類 の個数 ・ #右分解 に現れる #右剰余類 の個数 は互いに等しく， その数を 群Gにおける部分群Hの指数と呼ぶ. |G:H| と表記する.

#群論入門_剰余類編 78 Q. #有限群 Gの #部分群 Hによる #左分解 と #右分解 の間になりたつ関係を 整理すると. A. 左分解が G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …　① ならば 右分解は G ＝ (a_1)^{-1} H ＋ (a_2)^{-1} H ＋ …　② で与えられ， ①と②の #類別 の項数(#類 の個数)は等しい.

#群論入門_剰余類編 77 Q. #有限群 Gの #部分群 Hがある時 GのHによる #左分解 の #左剰余類 の項数 ＝ GのHによる #右分解 の #右剰余類 の項数 を示せ. A. ある左剰余類Hxがある時 Hxに対応する右剰余類x^{-1}Hを ただ1つ作ることができ 逆も真. よって左剰余類と右剰余類は #1対1で対応.

＜#代数学の参考書＞ 紀伊國屋数学叢書28 「有限単純群」 (紀伊國屋書店1987鈴木) bookmeter.com/books/2248311 前書きより引用: 『#有限群 はすべて #単純群 を積み重ねて得られる。 そこで， 単純群はどのような #群 であろうか という質問は #有限群論 の根本にある 重要な問題であった。』

#群論の知識 #有限アーベル群 (finite abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… #有限群 かつ #アーベル群. #有限生成アーベル群 の特別な場合. さまざまな応用がある: ・調和解析 ・合同算術 ・ #ガロア理論 ・情報理論

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p155より引用: 『#ガロア は， 各 #代数方程式 には ある #有限群 が対応し その #方程式 の #根 の性質は 対応する #群 の #正規部分群 の性質に 依存する事を示した. 正規部分群は 代数方程式の #解 の性質を 決定する基礎を提供.』

#群論入門_正規部分群編 39 2つの #交換子 の積が 交換子とならない 最小位数の #有限群 は #位数 96. その証明論文: Commutators and Commutator Subgroups ROBERT M. GURALNICK (1982) core.ac.uk/download/pdf/8… "Here it is shown that the smallest groups G ... are of order 96. "

#群論入門_正規部分群編 37 交換子全体の集合が 積(#二項演算)について閉じていない件 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… 引用： 「#交換子 2つ以上の積は 必ずしも交換子とは限らない. 2つの交換子の積が交換子とならない 最小 #位数 の #有限群 は， 位数 96 であることが知られている.」

#群論入門_正規部分群編 29 #有限群 のページに 「有限群は必ず組成列を持つ」との記載： ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… "「有限 #単純群 の完全な分類」 という目標は達成された。 つまり 任意の有限群の「組み立て部品」は 現在では完全に知られている。 (任意の有限群は #組成列 を持つ)"

#群論の知識 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7… #シローの定理 その2: 「素数 p を固定した時， #有限群 G の全てのシロー p-部分群は 互いに #共役 である (G内の #共役変換 を通して #同型 である).」 H と K が #群 G のシロー p-部分群であれば， g^{-1}Hg＝K なる G の元 g が存在.

#巡回群とは 68 有限生成群 (finitely generated group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… ・有限部分集合 S を #生成系 とする #群 G のこと. ・任意の #有限群 G は #有限生成 である. ・しかし，有限生成群の #部分群 は 必ずしも有限生成とは限らない.

#群論の知識 #シローの定理 (Sylow theorems) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7… その1: 「#有限群 G の #位数 が 素因数 p を重複度 n で約数として持てば， 位数 p^n の G のシロー p-部分群が存在する.」 これは #コーシーの定理 よりも強い.

#巡回群とは 37 Q. ここまで出てきた「#位数」の定義を整理 ①#有限群 Gの位数 ②#巡回群 ‹a› の元 x の位数 ③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数 A. ① 群Gに属する異なる元の個数. ② x^n=eとなる最小の自然数n. ③ aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36 Q. 「#巡回群 の元の #位数」は定義済. では 巡回群とは限らない一般の #群 Gの 元aの位数とは. A. aが #生成 する #巡回部分群 ‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …} が位数nの #有限群 なら 元aの位数はnとする. →巡回群でない一般の群も 元の位数を定義可能