#群論入門_作用と軌道編 59 Q. 1つの #軌道 は 1つの #同値類 である. どういう事か A. 集合Xの各要素の 軌道全体の成す集合は 集合 X の #類別 を与える. この類別に対応する #同値関係 ～: x～y (x,y∈X) ⇔ gx＝y となる g∈G が存在. ⇔ x,yが属する軌道が一致. (G x ＝ G y)

#群論入門_作用と軌道編 41 Q. 「#剰余類 G/H が #剰余群 になるのは #部分群 H として #正規部分群 を扱う場合だけ.」 ↑ 復習plz A. 正規部分群 N を使うと 剰余類 G/N では 剰余類による #類別 の #類 どうしの間で #同値関係 と #二項演算 が #両立 するので G/N は #群(剰余群)になる.

#群論入門_中心化群と類等式編 51 ↑ このハッシュタグの復習 ▶中心化群について: ・群の… #中心 #中心化群 #正規化群 ▶類等式について: ・ #共役類 が #類別 を与えること. ・共役変換の結果を分類する際に 中心化群による剰余類が現れること. ・ #類等式 全部思い出せますかな

#群論入門_中心化群と類等式編 49 #群 の #位数 を 自然数の和に分解する方法… ①各項の値がみな等しく 全項で共通の1つの #部分群 を使う場合は #ラグランジュの定理 であり #剰余類 への分解. ②各項の値が異なり 各項で異なる部分群を使う場合は #類等式 であり #共役類 による #類別.

#群論入門_中心化群と類等式編 45 ・先述の通り，#群 Gの #共役類 {K_i} への #類別 を考えれば |G|＝Σ_i |K_i| ・ #中心化群 の #指数 を使うと K_i の #代表元 a_iに対し |G : C(a_i) | ＝ |K_i| で， 共役類の類別の #完全代表系{a_i}により |G| ＝ Σ_i |G : C(a_i)| これがGの #類等式.

#群論入門_中心化群と類等式編 1 ↑ このタグでは #剰余類 を前提に 下記を解説しますぞ！ ▶中心化群について: ・群の… #中心 #中心化群 #正規化群 ▶類等式について: ・ #共役類 が #類別 を与えること. ・共役変換の結果を分類する際に 中心化群による剰余類が現れること. ・ #類等式

#群論入門_剰余類編 101 ↑ このハッシュタグの復習： ▶集合の… ・ #分割(#類別)，#類 ・ #同値分割，#同値類 ▶#群 での… ・ #左合同，#左剰余類，#左分解 ・ #右合同，#右剰余類，#右分解 ▶部分群の… ・ #指数 ・ #ラグランジュの定理 全部思い出せますかな

#群論入門_剰余類編 95 英語名称のおさらい 2つの集合が #互いに素 mutually disjoint 整数どうしが 互いに素 coprime，relatively prime #集合族(family of sets) が 互いに素 pairwise disjoint 素集合系 disjoint sets #類別(分類) classification 集合の #分割 partition of a set

#群論入門_剰余類編 86 Q. 部分群の #指数 を 剰余類や #類別 を持ち出さずに定義してみよ. A. #群 G の #部分群 H について， 「H の #位数 を何倍すれば G の位数になるか？」 という 倍数に関する情報が H の指数.

#群論入門_剰余類編 82 Q. #群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ A. #有限群 Gの #部分群 Hによる #左分解 が G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N ならば Hの #指数 は|G:H|＝N. また |H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|. #類別 の性質より 各 #剰余類 は共通元を持たず |G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 78 Q. #有限群 Gの #部分群 Hによる #左分解 と #右分解 の間になりたつ関係を 整理すると. A. 左分解が G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …　① ならば 右分解は G ＝ (a_1)^{-1} H ＋ (a_2)^{-1} H ＋ …　② で与えられ， ①と②の #類別 の項数(#類 の個数)は等しい.

#群論入門_剰余類編 76 Q. 群Gの部分群Hによる左分解における #左剰余類 H x_i から #右剰余類 (x_i)^{-1} Hを作る時， {(x_i)^{-1}H}が Gの #右分解 を与える事を示せ. A. (x_i)^{-1}H同士は共通元を持たず ∅でなく Gの任意の元がいずれかの(x_i)^{-1} Hに属し Gを過不足なく #類別 する.

#群論入門_剰余類編 72 Q. #群 Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時 #類別 の性質より Gの任意の元は Hによるいずれかの #左剰余類 に属する. この時 Gの任意の元は Hによるある #右剰余類 にも属する事を示せ A. 前ツイより x∈Hy⇒x^{-1}∈y^{-1}H ∴Gの任意の元がある右剰余類に属する

#群論入門_剰余類編 59 Q. #群 G の #部分群 H による #右分解 とは. A. #左分解 の時と同じく G の H による #右剰余類 を b_1 H, b_2 H, … とする時， これらを使って Gを #類別(#同値分割)した式 G ＝ b_1 H ＋ b_2 H ＋ … を G の右分解という.

#群論入門_剰余類編 56 Q. #群 G の #部分群 H による #左分解 とは. A. G の H による #左剰余類 を H a_1, H a_2, … とする時， これらを使って Gを #類別(#同値分割)した式 G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ … を， G の左分解という.

#群論入門_剰余類編 53 Q. 「#左合同 は #同値関係 である」 ということはつまり… (1) 1個の #左剰余類 は… (2) 左剰余類をぜんぶ集めると… A. (1) 左剰余類は，#同値類 (＝#類別 における1つの #類) なのである. (2) 同値類をぜんぶ集めると 集合全体の #同値分割 になる.

#群論入門_剰余類編 52 Q. #群 に #左剰余類 という概念を定義し #左合同 が #同値関係 であることを示すと 一体なにが嬉しいのか? A. 既に証明した通り， 「集合内に #同値律 を満たす #二項関係 を定義できる場合， その関係を使って 集合の #類別(#分割)を与えることができる」 から.

#群論入門_剰余類編 40 Q. (1) 集合X内に 何らかの #同値関係 が存在する (2) 集合Xを #類 で #類別(#分割)できる (1)⇔(2) を示せ. A. 1⇒2: 同値関係があれば #同値類 で類別できる事を証明済. 2⇒1: 類別がある時 同じ類に属する事を #同値 とみなせば 同値関係となる事を証明済.

#群論入門_剰余類編 39 Q. 集合Xのある #分割(#類別)において 「aとbは同じ #類 に属する」という #同値関係「a～b」を定める際 「～」が #同値律 の3定義を満たす事を示せ A. 元a,bが類Cに属する時 a～a a～b⇒b～a a～b,b～c⇒cもCに属するのでa～c ∴「～」は同値律の3定義を満たす.

#群論入門_剰余類編 37 Q. 集合 X を #二項関係「～」による #同値類 で #類別 し #同値分割 をつくる時， #商集合 をどのような記号で表記するか A. "Xの「～」による商集合" を X / ～ と表記する. これは #同値類 の集合だから X / ～ ＝ { C_{x} | x∈X } と書ける.

#群論入門_剰余類編 35 Q. 「集合は #同値類 によって #類別 できる」 かみ砕いて言い換えると A. ある #二項関係 がある時 その二項関係が #同値律 の3定義を満たしていれば その二項関係を使って 集合を #同値類 にわけることができ それらの同値類で もとの集合を過不足なく分割できる.

#群論入門_剰余類編 34 Q. #同値分割 とは. A. #同値関係「～」に基づく 集合X内の異なる #同値類 C_{a_1}, C_{a_2}, … がある時， X ＝ C_{a_1} ＋ C_{a_2} ＋ … という #類別(#分割)を #二項関係「～」によるXの同値分割と呼ぶ. この類別における #類 は 各同値類 C_{a_i} である.

#群論入門_剰余類編 33 Q. 集合 X の 異なる #同値類 全ての集合を C_{a_1}, C_{a_2}, … とする. X ＝ C_{a_1} ∪ C_{a_2} ∪ …　① が， 集合Xの #類別(#分割)である事を示せ. A. 各iについてC_{a_i}≠∅. 各i≠jについてC_{a_i}∩C_{a_j}＝∅. Xのどの元も各C_iのいずれかに属する.

#群論入門_剰余類編 15 ・(#類別 の #類 の)#代表元: representative ・(類別の)#完全代表系: complete system of representatives Transversal (combinatorics) en.wikipedia.org/wiki/Transvers… 完全代表系を system of distinct representatives; SDR とも表記 ※意味合いは異なる場合がある

#群論入門_剰余類編 14 Q. 集合Aの #類別(#分割) A＝A_1＋A_2＋… の #完全代表系 とは A. 各 #類 A_i の #代表元 を 1つずつ任意に選び a_i とし， 代表元の集合 { a_1, a_2, … } を この類別の完全代表系と呼ぶ. 代表元の選び方は任意性があるので 完全代表系の作り方も任意性がある.

#群論入門_剰余類編 12 Q. #類別(#分割)において #類 の #代表元 の選び方に 任意性を仮定してよいのはなぜ? A. 類別において類同士に共通部分は無く， どんな代表元の選び方をしても 1つの代表元は必ず1つの類のみに属し， ある代表元がどの類を指す(代表する)か 重複や混同の恐れはない.

#群論入門_剰余類編 11 Q. 集合 A の #類別(#分割) A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ … において， 類 A_i の #代表元 とは A. ある1つの #類 A_i 内で 自由に選んだ1つの元 a_i を考える時， 元 a_i を 類 A_i の代表元という. 1つの類の中で 代表元の選び方は任意性がある. (どれを選んでもよい)

#群論入門_剰余類編 8 Q. ある集合Aの #直和分割(#直和分解)とは. A. 集合Aの #類別(#分割) A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …　① において， ①の式を A ＝ ∪_i (A_i)　② と表記し， この類別における全ての #類 A_i の集合を 「Aの直和分割」， ②の式を A_i の #直和 と呼ぶ.

#群論入門_剰余類編 7 類別 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C… 集合Sの 空集合を含まない部分集合族Mで， Mのどの2つの相異なる集合も交わりを持たず Mの和集合がS全体に一致する時， #集合族 Mを 集合Sの ・ #類別，分類 (classification) あるいは ・ #分割(partition) という.

#群論入門_剰余類編 4 Q. 1) 2つの集合 A, B が #互いに素 とは. 2) 3つ以上の集合どうしが 互いに素とは. A. 1) A, B が共通の元を持たないこと. A ∩ B ＝ ∅ 2) どの2つの集合を選んでも 常に共通の元を持たないこと. 集合の #類別(#分割)において #類 どうしは互いに素.

#群論入門_剰余類編 3 Q. 集合Aの #類別(#分割)が A ＝ A_1 ∪ A_2 ∪ … である時， 1) この類別を＋記号で書きなおせ 2) 各 A_i を何と呼ぶか A. 1) A の類別を，＋の記号を使い A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ … と書く場合がある. 2) 類別の式に現れる各 A_i を この類別の #類 という.

#群論入門_剰余類編 2 Q. 集合Aの #類別(#分割)とは A. Aの部分集合 A_1, A_2, … が 下記3つを満たせば ①をAの類別という. 1) Aはそれらの和集合 A ＝ A_1 ∪ A_2 ∪ …　① 2) A_i 同士に共通部分が無い i≠j → A_i ∩ A_j ＝ ∅ 3) どの A_i も空集合でない ∀i, A_i ≠ ∅

#群論入門_剰余類編 1 ↑ このタグでは #部分群 や #巡回部分群 を既知として 下記を解説しますぞ！ ▶集合の… ・ #分割(#類別)，#類 ・ #同値分割，#同値類 ▶#群 での… ・ #左合同，#左剰余類，#左分解 ・ #右合同，#右剰余類，#右分解 ▶部分群の… ・ #指数 ・ #ラグランジュの定理