#群論の初歩 1 ↑ このタグでは #群論 に独学で入門するため 下記を学びますぞ！ ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

#群論入門_作用と軌道編 42 Q. ①#ラグランジュの定理 |G|=|G:H| |H| ②#軌道・固定群定理 |G|=|G:G_x| |G_x| (=|G x| |G_x|) #指数 を「/」で |G/H|, |G/G_x| と書いてもOK? A. OKだが #剰余群 でなく #剰余類 を表す点に注意. ①②とも #部分群 として #正規部分群 でない場合も成立.

#群論入門_作用と軌道編 41 Q. 「#剰余類 G/H が #剰余群 になるのは #部分群 H として #正規部分群 を扱う場合だけ.」 ↑ 復習plz A. 正規部分群 N を使うと 剰余類 G/N では 剰余類による #類別 の #類 どうしの間で #同値関係 と #二項演算 が #両立 するので G/N は #群(剰余群)になる.

#群論入門_作用と軌道編 38 Q. #ラグランジュの定理 で #部分群 として #固定部分群 を選び #軌道 の要素数を使って言い換えたもの |G| ＝ |G x|･|G_x| ↑ この式の名前は A. #軌道・固定群定理 (orbit-stabilizer theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ＞対象を数える際に特に有用

#群論入門_作用と軌道編 36 Q. #ラグランジュの定理 において #部分群 として #固定部分群 G_x を代入した式 |G| ＝ |G x|･|G_x| ↑ どういう意味？ A. #群 が #作用 する集合Xから 任意の元xを取ってくれば， その元xの #軌道 と固定部分群により もとの群の #位数 を表せてしまう.

#群論入門_作用と軌道編 35 Q. #ラグランジュの定理 は #群 GとGの #部分群 H およびHの #指数|G:H|について |G| ＝ |G:H|･|H| Gの部分群として Gにおけるxの #固定部分群 G_x をとると？ A. |G| ＝ |G:G_x|･|G_x| |G:G_x|＝|G x| (xの #軌道 内の要素数)より |G| ＝ |G x|･|G_x|

#群論入門_作用と軌道編 32 Q. 「#群 Gによるxの #軌道 の要素数 |G x| ＝ #固定部分群 G_xによる 『Gの右剰余類の個数』★」 ↑ ★を言い換えると A. Gの #部分群 Hによる 「#左分解 に現れる #左剰余類 の個数」 ＝ 「#右分解 に現れる #右剰余類 の個数」 ＝GにおけるHの #指数 ＝|G:H|

#群論入門_作用と軌道編 27 Q. #群 Gの2元g_1,g_2が xに #作用 した結果が等しければ， xの #固定部分群 G_x に対し 「(g_2)^{-1}･(g_1) ∈G_x」★ となる. この式の意味は? A. ★は 「群Gの #部分群 G_x を法として Gの2元g_1, g_2が #右合同」 という意味. ※#剰余類 の所で学んだ.

#群論入門_作用と軌道編 14 Q. #固定部分群 とは. A. #群 Gと集合Xについて 「Xのある元xを #固定 するGの元全体」 G_x ＝ { g∈G | gx＝x } はGの #部分群 で xの ・安定化部分群or固定部分群(stabilizer subgroup) ・等方部分群(isotropy group) ・小群(little group) などと呼ばれる.

#群論入門_作用と軌道編 13 Q. #群 Gが集合Xに #作用 し あるx∈Xに対し { g∈G | gx＝x } ＝ G_xと書く時 G_xがGの #部分群 である事を示せ A. g_1, g_2∈G_xなら g_1 g_2 x＝g_1 x＝xで g_1 g_2∈G_x. 作用の #公理 よりe∈G_x. #結合法則 も成立. gx＝xならg^{-1}をかけ x＝g^{-1}x.

#群論入門_置換群編 116 ケーリーの定理 (Cayley's theorem) en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27… every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G 任意の #有限群 Gは 「Gに対して #作用 する #対称群 の #部分群」に #同型. つまり，ある #置換群 に同型.

＜#代数学の参考書＞ 「有限単純群」(1987鈴木) p19より引用: 『#古典群 は一般に #単純 ではないが， #行列式 の値が1の #元 のつくる #部分群 を その #中心 で割った #商群 は 一般に #単純群 になる. (#直交群 の場合は さらに #交換子群 を取る.) こうして #古典単純群 が得られる.』

#群論入門_置換群編 107 #交代群 (alternating group) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… ・有限集合の #偶置換 全体がなす #群 A_n. ・n 次の交代群は 「n 文字の交代群」 (the alternating group on n letters) とも呼ばれる. ・ #対称群 S_n の部分集合で群なので A_n は S_n の #部分群.

#群論入門_置換群編 49 Q. #置換群 とは. A. #対称群 の #部分群 のこと. つまり 元が全て #置換 であるような #群 のことを置換群という. 置換群の中でもとくに n次の置換すべてがなす群を #対称群 という.

#群論入門_中心化群と類等式編 49 #群 の #位数 を 自然数の和に分解する方法… ①各項の値がみな等しく 全項で共通の1つの #部分群 を使う場合は #ラグランジュの定理 であり #剰余類 への分解. ②各項の値が異なり 各項で異なる部分群を使う場合は #類等式 であり #共役類 による #類別.

#群論入門_中心化群と類等式編 44 ・「同じ #左剰余類 に属すれば #共役変換 の結果も等しい」 という性質より 「a_i の異なる #共役元 (共役変換の結果の値)の総数」が出せる. それが「共役類 K_i の要素数」. ・左剰余類の個数は #部分群 の #指数 ゆえ #中心化群 の指数が |K_i| となる.

#群論入門_中心化群と類等式編 39 #剰余類 の所で， #群 Gの #位数 |G|を分解すると… ①#部分群 の位数と #指数 の積で表せる. (#ラグランジュの定理) という事を学んだ. 実はさらに|G|は… ②#共役類 の要素数の和で表せる. ③#中心化群 の指数の和で表せる. という 別の分解方法がある.

#群論入門_中心化群と類等式編 38 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD… #群 Gの部分集合Sの… ①#中心化群(centralizer) C(S): Sの各元と可換な Gの元全体. ②#正規化群(normalizer) N(S): (集合として)「全体で」Sと可換な Gの元全体. N(S)はGの #部分群. C(S)はN(S)の #正規部分群. G≥N(S)⊳C(S)

#群論入門_中心化群と類等式編 37 Q. #正規化群 とは A. #群 Gのある部分集合Sに対し 「集合としてSg＝gSが成立するような Gの元g」全体の集合は 群かつGの #部分群 で 「群Gにおける部分集合Sの正規化群」と呼び N(S)={g∈G | Sg=gS}と表記. 個々のs∈Sに対し sg=gsとは限らない点に注意.

#群論入門_中心化群と類等式編 36 Q. ある集合の #中心化群 とは A. 「元aの中心化群」のaを集合Sに置き換えたもの. #群 Gの部分集合Sに対し 「Sのどの元とも #可換 なGの元」全体の集合は 群かつGの #部分群 で 「群Gにおける部分集合Sの中心化群」と呼び C(S)={g∈G|sg=gs,∀s∈S}と表記.

#群論入門_中心化群と類等式編 31 Q. ある元の #中心化群 とは A. #群 Gのある元aについて 「aと #可換 なGの元全体」からなる集合は 群かつ Gの #部分群 をなし， 「群Gにおける元aの中心化群」と呼んで C(a) ＝ { g∈G | ag＝ga } と表記する. ※群 G の #中心 Z(G) と混同しないこと.

#群論入門_中心化群と類等式編 16 Q. #群 G の #中心 Z(G) は #アーベル群 である事を示せ. A. 前ツイまでで確認したように Z(G) は G の #部分群 として 群の3 #公理 を満たす. また Z(G) 上では #交換法則 が成り立つ. よって Z(G) はアーベル群(#可換群)の4公理を満たす.

#群論入門_中心化群と類等式編 14 Q. #群 G の #中心 H＝Z(G) が Gの #部分群 であるだけでなく Gの #正規部分群 でもあることを示せ. A. 中心の定義より Hの任意の元は Gの任意の元と #可換. よって Hの任意の元hを Gの任意の元gで #共役変換 すると g^{-1}hg ＝g^{-1}gh ＝h ∈ H ∴G⊳H

#群論入門_中心化群と類等式編 13 Q. #群 G の #中心 Z(G) は Gの #部分群 である事を示せ A. 前ツイまでの議論より Z(G)の #二項演算 は #閉じている. Z(G)の二項演算は #結合法則 を満たし #単位元 と #逆元 が存在. よってZ(G)は群の #公理 を満たし Gの部分集合だから Z(G)はGの部分群.

#群論入門_剰余類編 92 Q. #ラグランジュの定理 で考えると， 集合の「部分集合」と #群 の「#部分群」には どんな決定的な差異があるか. A. 部分集合の要素の数は， 何個でもよい. しかし 部分群の要素の個数は もとの群と比べた場合の約数しか許可されない. (整数論的な縛りが生じる)

#群論入門_剰余類編 90 Q. #群 Gの任意の元 a に対し a の #位数 が G の位数の約数である事を示せ. A. 元 a∈G が #生成 する #巡回部分群 H ＝ ‹a› は G の #部分群. a の位数は #巡回群 H の位数 |H| ＝ |a|. #ラグランジュの定理 より |H| は |G|の約数. ∴ |a| は |G|の約数.

#群論入門_剰余類編 89 Q. #群 G とその任意の元 a に対し a^|G| を求めよ. A. 元 a の #位数 は a が #生成 する #巡回部分群 H＝‹a› の 元の個数であり H は G の #部分群. また元 a の位数は a^m＝e をみたす最小の自然数mでもあるので， a^|H|＝e. 両辺を |G:H| 乗すると a^|G|＝e.

#群論入門_剰余類編 88 Q. #群 G_1 の #部分群 G_2 G_2の部分群G_3に対し | G_1 : G_2 |･| G_2 : G_3 | ＝ | G_1 : G_3 | を示せ. A. #ラグランジュの定理 で 部分群の #指数 を分数で書き換えると | G_1 : G_2 | ＝ |G_1| / |G_2| | G_2 : G_3 | ＝ |G_2| / |G_3| より題意の式が従う.

#群論入門_剰余類編 87 Q. #有限群 において #部分群 の #指数 が 大きい・小さいとは どういうことか A. |G:H| ＝ |G| / |H| 部分群よりもとの #群 は何倍大きいか. 指数1なら，部分群はもとの群と同サイズ. 指数2なら，部分群はもとの群の半分のサイズ. 指数が大きければ部分群は小さい.

#群論入門_剰余類編 86 Q. 部分群の #指数 を 剰余類や #類別 を持ち出さずに定義してみよ. A. #群 G の #部分群 H について， 「H の #位数 を何倍すれば G の位数になるか？」 という 倍数に関する情報が H の指数.

#群論入門_剰余類編 85 Q. #有限群 G が #部分群 H をもつ時， H の #位数 および #指数 がみたすべき条件とは. A. #ラグランジュの定理 より (Gの位数)＝(Hの指数)×(Hの位数) なので， 「Hの位数も Hの指数も， Gの位数の約数でなければならない」 という制約条件がある.

#群論入門_剰余類編 84 #部分群 の #指数(index of a subgroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8… HのGにおける指数: |G : H| (＝|G|/|H|) [G : H] (G:H) などと表記される. ・『Gを埋め尽くすHの「コピー」(#剰余類) の個数』 ・NがGの #正規部分群 なら |G : N|＝#商群(#剰余群)G/Nの #位数

#群論入門_剰余類編 82 Q. #群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ A. #有限群 Gの #部分群 Hによる #左分解 が G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N ならば Hの #指数 は|G:H|＝N. また |H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|. #類別 の性質より 各 #剰余類 は共通元を持たず |G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 81 Q. #群論 における #ラグランジュの定理 とは. A. #有限群 G が #部分群 H を持ち 群 G における部分群 H の #指数 を |G:H| とする時， 群 G の #位数 が 部分群 H の指数および位数を使って |G| ＝ |G:H| |H| と表せることをいう.

#群論入門_剰余類編 80 Q. #有限群 G の元 g と G の #部分群 H に対し | H g | ＝ | H | を示せ. A. Hの相異なる2元 h_1, h_2 から Hg の元 s＝h_1 g t＝h_2 g を作る. 仮にs＝tとすると #群 の #簡約法則 より h_1 g ＝ h_2 g ⇒ h_1＝h_2となり矛盾. ∴Hg内に|H|個の異なる元をとれる.

#群論入門_剰余類編 79 Q. 部分群の #指数 とは. A. #有限群 G の #部分群 H による… ・ #左分解 に現れる #左剰余類 の個数 ・ #右分解 に現れる #右剰余類 の個数 は互いに等しく， その数を 群Gにおける部分群Hの指数と呼ぶ. |G:H| と表記する.

#群論入門_剰余類編 78 Q. #有限群 Gの #部分群 Hによる #左分解 と #右分解 の間になりたつ関係を 整理すると. A. 左分解が G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …　① ならば 右分解は G ＝ (a_1)^{-1} H ＋ (a_2)^{-1} H ＋ …　② で与えられ， ①と②の #類別 の項数(#類 の個数)は等しい.

#群論入門_剰余類編 77 Q. #有限群 Gの #部分群 Hがある時 GのHによる #左分解 の #左剰余類 の項数 ＝ GのHによる #右分解 の #右剰余類 の項数 を示せ. A. ある左剰余類Hxがある時 Hxに対応する右剰余類x^{-1}Hを ただ1つ作ることができ 逆も真. よって左剰余類と右剰余類は #1対1で対応.

#群論入門_剰余類編 73 #群 Gの元x,yと Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時 xが属する #左剰余類 をHyとすれば x^{-1}が属する #右剰余類 はy^{-1}Hである. このように 左剰余類Hyをもとに 右剰余類y^{-1} Hを次々につくる時， つくられた右剰余類の集合は Gの #右分解 になるだろうか?