#群論の初歩 51 Q. GL(n,V) 上で 行列の積という #二項演算 が #閉じている ことを示せ A. #正則行列 A, Bの積 AB＝M が #正則 である事を示す. Mに左から M'＝B^{-1} A^{-1} をかけると M'M＝E Mに右から M' をかけると MM'＝E ∴E＝M'M＝MM' で M の逆行列は M' だから M は正則

#群論の初歩 28 Q. T＝{ x＋y√3 | x,y∈ℚ } S＝T－{0} Sが積演算について #群 をなすことを示せ. A. Sの2元の積は (a+b√3)(c+d√3)＝(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈S より #二項演算 が #閉じている. #結合法則 も満たす. #単位元 は1. a+b√3の #逆元 は 1/(a+b√3)＝(a－b√3)/(a^2－3b^2)∈S

#群論の初歩 3 Q. #群 の定義の3条件(群の #公理)を述べよ A. 演算の定義された集合において 1. #結合法則 2. #単位元 の存在 3. #逆元 の存在 が満たされていること. ※「構造内部で #二項演算 が #閉じている こと」は 群の3公理に含めない. それは群以前に #マグマ の性質なので.

#環論の初歩 18 Q. #代数学 において X を不定元とする時 ℤ[X] は何を表すか A. #多項式環(polynomial ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A… 「整数係数の多項式」 f(X) ＝ Σ{k=0→n} a_k・X^k (a_k ∈ℤ, 0≦k≦n) の全体の集合がなす #環. 和と積について #閉じている #可換環 である.

#環論の初歩 10 Q. #ガウス整数環 とは. A. #ガウス整数 は 実部と虚部が共に整数である複素数のこと. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ガウス整数全体の集合がなす #環 が ガウス整数環(ring of Gaussian integer). ℤ[ i ] = { a＋bi | a,b∈ℤ } と表記. 加法と乗法について #閉じている.

#群論入門_作用と軌道編 6 ▶群G内で #閉じている 二項演算: 群 G の2元 g_1, g_2 の積. g_1 ･ g_2 ＝ g_3∈G #二項演算 f : G×G → G 引数が2つとも #群 の元. ▶群Gの集合Xに対する作用: 集合 X の元 x_1 と 群 G の元 g_1 との積. g_1 ･ x_1 ＝ x_2∈X #作用 f : G×X → X

#群論入門_作用と軌道編 5 Q. #二項演算 と #作用 の違いは. A. #群 の #公理 では 群G内部で #閉じている 二項演算として Gの2元の積を考え， 積の計算結果も群Gの元となる. 一方，「作用」は 群Gが外部の集合Xの1元に働きかけ その結果，集合X内でどんな変化が起きたか という考え方.

#群論入門_置換群編 46 Q. #置換 の集合が #群 をなす事を示せ A. 置換どうしを #合成 すると サイズの同じ置換が生み出され 置換どうしの積という #二項演算 は #閉じている. 置換は #写像 なので #結合法則 を満たす. #恒等置換 は #単位元. #逆置換 は #逆元. ∴群の #公理 を満たす.

#群論入門_中心化群と類等式編 13 Q. #群 G の #中心 Z(G) は Gの #部分群 である事を示せ A. 前ツイまでの議論より Z(G)の #二項演算 は #閉じている. Z(G)の二項演算は #結合法則 を満たし #単位元 と #逆元 が存在. よってZ(G)は群の #公理 を満たし Gの部分集合だから Z(G)はGの部分群.

#群論入門_中心化群と類等式編 10 Q. #群 Gの #中心 Z(G)={z∈G|zg=gz(∀g∈G)}の #二項演算 が #閉じている 事を示せ A. Z(G)の任意の2元x,y Gの任意の元g xy=Mとおく. G内の #結合法則 より Mz=(xy)g=x(yg) Z(G)の元はGの元と可換で =x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)=gMでg,Mは可換 ∴M=xy∈Z(G)

#群論入門_剰余群編 68 Q. #群 G について GG ＝{ g_1 g_2 | g_1∈G, g_2∈G } ＝G を示せ. A. 群の #二項演算 は #閉じている ので G の任意の2元 g_1 g_2 について g_1 g_2 ∈ G より GG ⊂ G. また G の任意の元 g_3 について g_3 ＝ g_3 e ∈ GG より G ⊂ GG. ゆえに GG＝G

#群論入門_剰余類編 50 Q. 左合同という #二項関係 が #同値律 の3定義のうち #推移律 を満たす事を示せ A. #群 Gの3元a,b,cに対し x=ab^{-1}∈H y=bc^{-1}∈H の時 #二項演算 が群H内で #閉じている ので xy=(ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}∈H ∴ a≡b(mod H), b≡c(mod H)なら a≡c(mod H)

#群論入門_剰余類編 41 Q. Gを #群 gはGのある元 HをGのある #部分群 hはHのある元とする. hg および gh という形の演算結果が Gに属することを示せ A. HはGの部分集合なので Hの元hはGの元でもある. Gは群だから G内の #二項演算(元どうしの積)は #閉じている. よって hg∈Gかつ gh∈G

#群論入門_正規部分群編 49 短歌にしてみよう. 　交換子　共役変換　した後も 　そのままずっと　交換子だよ #交換子 は もとの #群 Gの元で #共役変換 しても 交換子のまま. ゆえに，#交換子群 H は もとの群Gの元による共役変換に対し #閉じている ので Gの #正規部分群 となる.

#群論入門_正規部分群編 46 Q. #群 Gの #正規部分群 A, Bに対し， #交換子群 [A, B] も Gの正規部分群であることを示せ. A. t∈G, a∈A, b∈Bに対し 前ツイより t^{-1} [a, b] t =[(t^{-1}at)∈A, (t^{-1}bt)∈B] よって [A, B] の元は Gの任意の元tによる #共役変換 で #閉じている.

#巡回群とは 59 Q. #群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m} の #べき積 の全体は 群をなす事を示せ A. べき積同士の積はべき積で #二項演算 が #閉じている. どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK. #単位元 は(a_1)^0=e. 積の逆元の計算より べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積. ∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 33 x∈#群 Gの時 Gの情報が芋づる式にわかる！ ▶群の #公理 より ①xの #逆元 x^{-1}もGに属する ②#二項演算 が #閉じている ので xの正の #べき x^2, x^3, …と xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する ▶#巡回部分群 の性質より ③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 28 Q. H を 元 a によって #生成 される Gの #巡回部分群 とする. H が G の #部分群 である事を示せ. A. 前ツイよりHは #群. また前提より a∈G で 群Gの #二項演算 は #閉じている ので aの任意の #べき はGに属する. ∴Hの全ての元がGに属し HはGの部分集合で HはGの部分群.

#巡回群とは 27 Q. Hを 元aによって #生成 される Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする. Hが #群 である事を示せ. A. H の任意の2元に対し (a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで #二項演算 が #閉じている. #単位元 は a^0＝e. 任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在. よって H は群である.

#代数系の初歩 29 このハッシュタグの復習: ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群) 全部思い出せますかな

#代数系の初歩 21 Q. マグマに #結合法則 を課さないまま #逆元 や #単位元 の存在を課したら どうなるか A. #二項演算 が #閉じている 集合: #マグマ ↓ マグマに「除法」演算の存在を課す: #準群 ↓ 準群に単位元の存在を課す: #擬群 ↓ 擬群に結合法則を課す: #群

#代数系の初歩 17 Q. マグマから アーベル群までの5段階で 1つずつ条件を増やせ A. 　　#マグマ: 閉 　　　#半群: 閉 結 　#モノイド: 閉 結 単 　　　　#群: 閉 結 単 逆 #アーベル群: 閉 結 単 逆 換　 閉 #二項演算 が #閉じている 結 #結合法則 単 #単位元 逆 #逆元 換 #交換法則

#代数系の初歩 15 Q. 「半群」の定義が どうしても記憶できない A. 1.#二項演算 が #閉じている 2.#結合法則 3.#単位元 4.#逆元 #群 はこの4条件を満たすが #半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。 群の「半分」の条件しか満たさないので "半群" なのです… と記憶できるかも?

#代数系の初歩 10 #マグマ (数学) 英:magma ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E… ・ #亜群(あぐん, groupoid)とも呼ばれる. ただしこれとは別に， #圏論 に「亜群」という用語があるので 混同してはならない. ・ #二項演算 が #閉じている ことを要求し それ以外の何らの #公理 も課さない.

#代数系の初歩 9 Q. #代数学 において #マグマ とは. A. ある集合Mにおいて 「#閉じている 二項演算」(#内算法) が定義されていれば， Mをマグマと呼ぶ. (※ #ブルバキ が導入した呼び名) その #二項演算 は #結合法則 を満たす必要はなく， #単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#代数系の初歩 7 Q. #二項演算 の場合， #内算法 を何と呼ぶか. A. ある二項演算がGの内算法であれば その二項演算を Gの「内部二項演算」 「二項内算法」のように呼ぶ. 要は，集合内で #閉じている 二項演算を指す. 演算結果が集合の外側にはみ出てしまったら 内算法とは呼べない.

#代数系の初歩 6 Q. #内算法(ないさんぽう) #外算法(がいさんぽう)とは A. ある集合Gの元に対して 演算操作が定義されている時に， その演算がGに対して #閉じている なら その演算をGの #内算法 と呼ぶ. 逆に， その演算がGに対して閉じていないなら その演算をGの #外算法 と呼ぶ.

#代数系の初歩 5 Q. ある #代数的構造 G が ある #二項演算 について #閉じている とはどういう意味か A. G内の任意の2つの元 x, y を引数にとって 二項演算を実行した際 演算の結果である xy も必ずGに属している ということ. 要は，演算の結果が 集合からはみ出ないということ.

#代数系の初歩 1 ↑ このハッシュタグでは #群論 の土台となる抽象 #代数学 の 初歩を俯瞰するため 下記の事項を学びますぞ！ ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群)

#群論の初歩 73 Q. O(n)上で 行列の積という #二項演算 が #閉じている ことを示せ A. #直交行列 の積が 直交行列であることを示す. 直交行列A,Bについて #転置 の性質より (AB)^t ＝ B^t A^t (AB)(AB)^t =A(B B^t) A^t =A E A^t =A A^t =E 同様に (AB)^t (AB)＝E ∴ABは直交行列

#群論の初歩 62 Q. #群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが 1)∀a,b∈H⇒ab∈H 2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H の時 Hが群である事を示せ. A. 1)よりHの二項演算は #閉じている. Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす. 2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在. ∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 60 Q. #群 G の部分集合 H が Gの #部分群 となるために H が満たすべき2条件 A. (1) H の任意の2元 a, b に対し ab は H の元. (Gと同じ #二項演算 が 部分群の内部で #閉じている) (2) H の任意の元 a に対し その逆元a^{-1}は H の元. (部分群の内部で #逆元 の存在を保証)

#群論の初歩 51 Q. GL(n,V) 上で 行列の積という #二項演算 が #閉じている ことを示せ A. #正則行列 A, Bの積 AB＝M が #正則 である事を示す. Mに左から M'＝B^{-1} A^{-1} をかけると M'M＝E Mに右から M' をかけると MM'＝E ∴E＝M'M＝MM' で M の逆行列は M' だから M は正則

#群論の初歩 28 Q. T＝{ x＋y√3 | x,y∈ℚ } S＝T－{0} Sが積演算について #群 をなすことを示せ. A. Sの2元の積は (a+b√3)(c+d√3)＝(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈S より #二項演算 が #閉じている. #結合法則 も満たす. #単位元 は1. a+b√3の #逆元 は 1/(a+b√3)＝(a－b√3)/(a^2－3b^2)∈S