＜#代数学の参考書＞ 「ガロア理論」(シュプリンガー1997) 前書きより: 『#線形代数 (#任意 の #スカラー体 上の #ベクトル空間 の #次元 の考え方は 習得しているとよい) と， #抽象代数学 (#環，#群 と #準同型 に 言及している #初等課程) の #入門 課程を 既に学んでいる事が #前提.』

「NU:カーニバル（Nu: Carnival）」は、キャラクターたちの魅力を引き立てるコスプレ衣装が人気のゲームです。環たまき（Tamaki）は、特にファンに愛されるキャラクターの一人です！ 詳細abccos.jp/product/6434 #NU:カーニバル #新世界狂歡 #環 #Tamaki #ブラック #オーダーメイド可能 #コスプレ pic.x.com/sq33hu7uyt

#環論の知識 #クルルの定理 (Krull's theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… 「#零環 でない #環 は 少なくとも1つの #極大イデアル を持つ」. 1929年に #超限帰納法 で証明.

#群論の知識 #群環(group ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・ #有限群 の #表現論 で 重要な役割を果たす #代数的構造. ・与えられた #群 と #環 の構造を 自然に用いて構成される. #位相群 の群環 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

#環論の知識 #単項イデアル環 (Principal ideal ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… #環 R であって， すべての #右イデアル が ある x ∈ R に対し xR の形の #単項イデアル であるようなものを #単項右イデアル環 または #主右イデアル環 という. 左についても同様.

仕事前の環、新メニューがお得🉐 #環 #山梨の居酒屋 pic.x.com/crgzets3be

#群論:　君羊 言侖 #環論:　王睘 言侖 #体論:　イ本 言侖 #圏論: ［巻］言侖 ～～～～ ※漢字「#睘」について… kanji.jitenon.jp/kanjiv/10589.h… ・「#睘睘(けいけい)」は，孤独なさま。一人ぼっちのさま。 ・よく見ると，「#環」の字の右側とは微妙に異なる。

水辺シリーズ展示風景。「本物を超えて展」福井市美術館、2014年。楕円形の部屋で連続する形で展示。美術館の中に水辺が出現しました。 #福井市 #福井市美術館 #びわこ #水辺 #連続性 #環 #art #exhibition #lakebiwa #waterside #waterscape #connect #surroundings #encircle pic.x.com/qb9kffqrqk

「一晩中夜空に土星の輝きを眺めるのに最適なチャンスが到来！ \土星🪐が9⃣月8⃣日に「衝」となります/ 『土星の輪が消える』前に #天体望遠鏡🔭で #環 などを観察してみましょう～」 x.com/svbony/status/…

#環論の知識 #極大イデアル (maximal ideal) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5… #環 R において R以外の #左イデアル で 集合の包含関係に関し極大なものが Rの #極大左イデアル. 別の言い方では 左イデアル I を真に含む左イデアルが Rしかない時 I はRの極大左イデアル. 右に関しても同じ.

☀️➖🌏➖🪐 まもなく一晩中夜空に土星の輝きを眺めるのに最適なチャンスが到来！ \土星🪐が9⃣月8⃣日に「衝」となります/ 「土星の輪が消える」前に #天体望遠鏡🔭で #環 などを観察してみましょう〜 #土星 #土星が衝 #天体 #天体イベント ⏬★~詳細ブログ~★⏬ svbony.jp/blog/saturn-at…

#代数系の初歩 3 代数的構造 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3… ・ #代数的構造(algebraic structure) #ブルバキ が導入した概念. ・代数的構造の具体例は #群 #環 #体 など. ・代数的構造を持つ集合は #代数系(algebraic system). ・代数系を研究するのが #代数学.

#環論の知識 #主イデアル (principal ideal) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB… #環 R のある単一の元により #生成 された R の #イデアル のこと. 単元生成されたイデアル. #単項イデアル とも呼ばれるが， #単項式イデアル とは別物なので注意.

本日もありがとうございました！ 夜の闇をも味方につける5組の歌い手が集ったイベントでした！ 2024.9.5 (木) Gold Sounds pre.『待宵-matsuyoi-』 #雲成 #熊谷翔太郎 #たくま #握月 #酒井祐也 #環 #待宵 #AsakusaGoldSounds pic.x.com/9dsgytcefx

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) p29より引用: 『いまの #代数学 では 色々な #環 の事を #代数(algebra)ともよぶ. ･#結合代数 ･#可換代数 ･#リー代数 という具合にである. つまり 　「#代数学とは環の研究である」 という #テーゼ が 立っているわけだ.』

#環論の知識 #標数 (characteristic) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99… #環 や #体 の特徴を表す0以上の整数. 環Rの乗法の #単位元 1を n回の加法演算で足し合わせた結果が 0(加法の単位元すなわち環の #零元)に等しい時 nの最小値をRの標数という. 何回足し合わせても0にならない場合 標数は0.

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) asakura.co.jp/books/isbn/978… 前書きより: 『#代数学 とは #加群(module)を調べる事だ と言ってしまった方が早い. これには注釈を要する. 普通，#環 の研究は， #環上の加群，すなわち 環が働く #加群 の研究に 帰着されている.』

#群論:　君羊 言侖 #環論:　王睘 言侖 #体論:　イ本 言侖 #圏論: ［巻］言侖 ～～～～ ※漢字「#睘」について… kanji.jitenon.jp/kanjiv/10589.h… ・「#睘睘(けいけい)」は，孤独なさま。一人ぼっちのさま。 ・よく見ると，「#環」の字の右側とは微妙に異なる。

#加群の知識 #加群 の #根基 (radical of a module) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… R を #環， M を左 R-加群とし M のすべての #極大部分加群 の共通部分を 加群 M の根基 と呼び rad(M) で表記する。

#体論の初歩 2 Q. 代数方程式について考える時 どうして #体 の概念が必要なの？ #群 や #環 じゃだめなの？ A. 「移項して両辺を係数で割ってx＝の形を作る」★ すなわち 「代数的な式変形で求解」 という操作において 割り算を避けられないので体が必要. なお★の操作で0除算は現れない.

#体論の初歩 1 Q. #群，#環，#体 の3つのうち 「#対称性」を考える上で 最も有用なのはどれか A. 環と体は2種類の #二項演算 をたばねた構造で 「#逆元 が存在しない場合」という例外あり. 一方，群はシンプルで 1種類の二項演算のみを扱い どの要素も確実に逆元の存在が保証されている.

トワイライトフィッシュ(たまき) #doaxcc #DOAXVV #トワイライトフィッシュ #环 #環 #たまき #Tamaki #타마키 pic.x.com/mdda1nmneb

#GröbnerBasis 1 グレブナー基底大好きbotさんによる 読みやすく簡潔なまとめ 「群、環、体って何？」 togetter.com/li/879778 #群: 足し算ができる(#逆元 として負数も考慮) #環: かけ算もできる(商と余りも定義可) #体: 割り算もできる(四則演算)

#環論の初歩 26 Q. #整域 Rでは 乗法について #簡約法則 が成り立つ事を示せ A. Rの元a,b,cに対し ab=acかつa≠0 → ab+ac^{-1}=ac+ac^{-1} #環 の #分配法則 より a(b+c^{-1})=a(c+c^{-1}) 右辺=a・0=0 左辺でa≠0かつR内に #非自明な零因子 が無いので (b+c^{-1})=0 → b+0=c ∴b=c

#環論の初歩 25 #整域 (integral domain) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4… ・整域の概念は #整数 全体の成す #環 の一般化になっており， 整除可能性を調べるのに自然な設定を与える. ・単に #可換環 あるいは整域と言ったときには 乗法の #単位元 を持つと仮定することが多い.

#環論の初歩 24 Q. #整域 とは. A. #非自明な零因子 を持たない #可換環 で #零環(自明環){0}ではないものを 整域という. 整域は #環 であり， 加法だけでなく乗法も #可換 であり #零因子 は 0 だけである.

#環論の初歩 23 Q. #非自明な零因子 とは. A. #環 の #零因子 のうち 0でないものを 「非自明な零因子」(nontrivial zero divisor) または 「0でない零因子」(nonzero zero divisor) という. 非自明な零因子は0ではない元だが， 0でない他の元との積演算の結果が 0になるのである.

#環論の初歩 22 Q. #非零因子 とは. A. #環 の元のうち #零因子 ではないものを， 「非零因子」(non-zero-divisor)または 「#正則(regular)な元」という.

#環論の初歩 20 Q. #零因子(ぜろいんし)とは. A. #環 Rに和 ＋ と積 ・ が定義されており 加法の単位元かつ乗法の #零元 が 0 とする. Rの2元x,yに対して ① x≠0かつxy＝0ならば yはRの #右零因子. ② x≠0かつyx＝0ならば yはRの #左零因子. ①②をあわせて Rの零因子という.

【輪(わ)】wa #名詞 #奈良 リング状あるいは円形のものを「わ」という。派生語として、入江のように丸みを帯びた地形をいう「わだ(曲)」、蛇がトグロを巻いて丸くなることをいう「わだかまる(蟠る)」等がある。漢語【環】の古音[wan]との関係は不明(同音の丸、円、湾、運なども同系か)。 #わ #環

#環論の初歩 19 Q. #全行列環 とは A. n×nの #正方行列 全体の集合がなす #環 を n次「全行列環」 (full ring of n by n matrices)と呼びM_nで表す. ※成分には実数などの制約を課す. #行列 の積は非可換ゆえ M_nは #可換環 でない. 行列環(matrix ring)の例 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C… .

#環論の初歩 18 Q. #代数学 において X を不定元とする時 ℤ[X] は何を表すか A. #多項式環(polynomial ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A… 「整数係数の多項式」 f(X) ＝ Σ{k=0→n} a_k・X^k (a_k ∈ℤ, 0≦k≦n) の全体の集合がなす #環. 和と積について #閉じている #可換環 である.

#環論の初歩 17 Q. アティマクの名著「可換代数入門」 とは何のことか A. #可換環 論と #代数幾何学 の最高の入門書 「Atiyah-MacDonald #可換代数 入門」 (共立出版) irohabook.com/book-ring-atiy… ・本格的に勉強したい人向け ・ #環 と #加群 の入門書 今は環の初歩をコツコツ学びましょう

#環論の初歩 15 #零環 (the zero ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6… ・自明環 (trivial ring) とも呼ぶ. ・1つの元からなる唯一の #環. (ただし同型を除く) ・「加法の #単位元」(＝#零元) 0 と， 「乗法の単位元」1 が一致する唯一の環. ・零環は #可換環.

#環論の初歩 14 Q. #零環(ぜろかん)とは. A. {0} つまり ただ1つの要素 0 のみからなる #環. 加法＋について #アーベル群 をなし， 加法の単位元(＝環の #零元 0)は0. 乗法・について #モノイド をなし， 乗法の単位元(＝環の #単位元 1)は0. この状況を 1＝0 と書く.

#環論の初歩 13 Q. #非可換環 とは. A. 非可換環 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E… #環 の乗法が 可換でないことを明示する場合に， 非可換環(non-commutative ring)と呼ぶ.

#環論の初歩 12 #可換環 (commutative ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF… ・乗法が可換であるような #環 ・可換環の研究は #可換環論，#可換代数学 と呼ばれる ・環Rは加法に関しアーベル群，乗法に関しモノイド. 乗法は加法に対し分配的. さらに乗法が可換律(#交換法則)を満たせばRは可換

#環論の初歩 11 Q. #可換環 とは A. #環 の3 #公理 に加え 下記の性質を満たすものをいう. ④ 積の #交換法則 a・b ＝ b・a なお，環は 加法については #アーベル群 なので 加法は常に交換法則を満たす.

#環論の初歩 10 Q. #ガウス整数環 とは. A. #ガウス整数 は 実部と虚部が共に整数である複素数のこと. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ガウス整数全体の集合がなす #環 が ガウス整数環(ring of Gaussian integer). ℤ[ i ] = { a＋bi | a,b∈ℤ } と表記. 加法と乗法について #閉じている.