#ムサシノ輪舞曲 『#環』って、「魔性系」か？ 😡😡😡😡😡😡😡😡😡😡

#ムサシノ輪舞曲 『お隣さん』って言われて、「シュンと」するんかいっ😡 自分が言わせたクセに……😡 #環

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) asakura.co.jp/books/isbn/978… 前書きより: 『#代数学 とは #加群(module)を調べる事だ と言ってしまった方が早い. これには注釈を要する. 普通，#環 の研究は， #環上の加群，すなわち 環が働く #加群 の研究に 帰着されている.』

#環論の知識 #標数 (characteristic) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99… #環 や #体 の特徴を表す0以上の整数. 環Rの乗法の #単位元 1を n回の加法演算で足し合わせた結果が 0(加法の単位元すなわち環の #零元)に等しい時 nの最小値をRの標数という. 何回足し合わせても0にならない場合 標数は0.

オシドラサタデー『ムサシノ輪舞曲』 【環のドレス】デザイン制作 担当しました！！ 第8話では実際に 環（#高梨臨 さん）が着用！！ #オシドラサタデー #ムサシノ輪舞曲 #環 #高梨臨 x.com/como_inc/statu…

#群論の知識 #群環(group ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・ #有限群 の #表現論 で 重要な役割を果たす #代数的構造. ・与えられた #群 と #環 の構造を 自然に用いて構成される. #位相群 の群環 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

#群論:　君羊 言侖 #環論:　王睘 言侖 #体論:　イ本 言侖 #圏論: ［巻］言侖 ～～～～ ※漢字「#睘」について… kanji.jitenon.jp/kanjiv/10589.h… ・「#睘睘(けいけい)」は，孤独なさま。一人ぼっちのさま。 ・よく見ると，「#環」の字の右側とは微妙に異なる。

#加群の知識 #加群 の #根基 (radical of a module) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… R を #環， M を左 R-加群とし M のすべての #極大部分加群 の共通部分を 加群 M の根基 と呼び rad(M) で表記する。

日本のバラ「環」 #TLを花でいっぱいにしょう 　 #バラ　#環　#tamaki pic.x.com/hTGOHd8lXb

壮五くんのURパネル見に行ってきました💜 壮五ぬいがサイン書いた風にしたかったのに全然ダメだった...🥲 ご一緒した友達と MEZZO”のラテとお互いのぬいちゃんずで写真撮りました📸 #アイナナ #壮五 #環 pic.x.com/x2DLw58Inh

#体論の初歩 2 Q. 代数方程式について考える時 どうして #体 の概念が必要なの？ #群 や #環 じゃだめなの？ A. 「移項して両辺を係数で割ってx＝の形を作る」 すなわち 「代数的な式変形で求解」 という操作において， 「0除算を禁止した割り算」 が必要なので，条件として体が必要.

#体論の初歩 1 Q. #群，#環，#体 の3つのうち 「#対称性」を考える上で 最も有用なのはどれか A. 環と体は2種類の #二項演算 をたばねた構造で 「#逆元 が存在しない場合」という例外あり. 一方，群はシンプルで 1種類の二項演算のみを扱い どの要素も確実に逆元の存在が保証されている.

もし地球が土星の環を持ったらどう見える？　#宇宙　#地球　#土星　#環　#都市伝説 youtube.com/shorts/tsIT1TX… via @YouTube

#GröbnerBasis 1 グレブナー基底大好きbotさんによる 読みやすく簡潔なまとめ 「群、環、体って何？」 togetter.com/li/879778 #群: 足し算ができる(#逆元 として負数も考慮) #環: かけ算もできる(商と余りも定義可) #体: 割り算もできる(四則演算)

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) p29より引用: 『いまの #代数学 では 色々な #環 の事を #代数(algebra)ともよぶ. ･#結合代数 ･#可換代数 ･#リー代数 という具合にである. つまり 　「#代数学とは環の研究である」 という #テーゼ が 立っているわけだ.』

#GröbnerBasis 1 グレブナー基底大好きbotさんによる 読みやすく簡潔なまとめ 「群、環、体って何？」 togetter.com/li/879778 #群: 足し算ができる(#逆元 として負数も考慮) #環: かけ算もできる(商と余りも定義可) #体: 割り算もできる(四則演算)

#環論の初歩 26 Q. #整域 Rでは 乗法について #簡約法則 が成り立つ事を示せ A. Rの元a,b,cに対し ab=acかつa≠0 → ab+ac^{-1}=ac+ac^{-1} #環 の #分配法則 より a(b+c^{-1})=a(c+c^{-1}) 右辺=a・0=0 左辺でa≠0かつR内に #非自明な零因子 が無いので (b+c^{-1})=0 → b+0=c ∴b=c

#環論の初歩 25 #整域 (integral domain) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4… ・整域の概念は #整数 全体の成す #環 の一般化になっており， 整除可能性を調べるのに自然な設定を与える. ・単に #可換環 あるいは整域と言ったときには 乗法の #単位元 を持つと仮定することが多い.

#環論の初歩 24 Q. #整域 とは. A. #非自明な零因子 を持たない #可換環 で #零環(自明環){0}ではないものを 整域という. 整域は #環 であり， 加法だけでなく乗法も #可換 であり #零因子 は 0 だけである.

#環論の初歩 23 Q. #非自明な零因子 とは. A. #環 の #零因子 のうち 0でないものを 「非自明な零因子」(nontrivial zero divisor) または 「0でない零因子」(nonzero zero divisor) という. 非自明な零因子は0ではない元だが， 0でない他の元との積演算の結果が 0になるのである.

#環論の初歩 22 Q. #非零因子 とは. A. #環 の元のうち #零因子 ではないものを， 「非零因子」(non-zero-divisor)または 「#正則(regular)な元」という.

#環論の初歩 20 Q. #零因子(ぜろいんし)とは. A. #環 Rに和 ＋ と積 ・ が定義されており 加法の単位元かつ乗法の #零元 が 0 とする. Rの2元x,yに対して ① x≠0かつxy＝0ならば yはRの #右零因子. ② x≠0かつyx＝0ならば yはRの #左零因子. ①②をあわせて Rの零因子という.

#環論の初歩 19 Q. #全行列環 とは A. n×nの #正方行列 全体の集合がなす #環 を n次「全行列環」 (full ring of n by n matrices)と呼びM_nで表す. ※成分には実数などの制約を課す. #行列 の積は非可換ゆえ M_nは #可換環 でない. 行列環(matrix ring)の例 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C… .

#環論の初歩 18 Q. #代数学 において X を不定元とする時 ℤ[X] は何を表すか A. #多項式環(polynomial ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A… 「整数係数の多項式」 f(X) ＝ Σ{k=0→n} a_k・X^k (a_k ∈ℤ, 0≦k≦n) の全体の集合がなす #環. 和と積について #閉じている #可換環 である.

#ロックレディ #ティナ #環 今回もサイコーだった......... めっちゃいいとこで終わったから続きが気になる〜まぁ単行本見てるからどうなるかわかるんだけど(ゝω・)ﾃﾍﾍﾟﾛ

#環論の初歩 15 #零環 (the zero ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6… ・自明環 (trivial ring) とも呼ぶ. ・1つの元からなる唯一の #環. (ただし同型を除く) ・「加法の #単位元」(＝#零元) 0 と， 「乗法の単位元」1 が一致する唯一の環. ・零環は #可換環.

#環論の初歩 14 Q. #零環(ぜろかん)とは. A. {0} つまり ただ1つの要素 0 のみからなる #環. 加法＋について #アーベル群 をなし， 加法の単位元(＝環の #零元 0)は0. 乗法・について #モノイド をなし， 乗法の単位元(＝環の #単位元 1)は0. この状況を 1＝0 と書く.

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#環論の初歩 13 Q. #非可換環 とは. A. 非可換環 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E… #環 の乗法が 可換でないことを明示する場合に， 非可換環(non-commutative ring)と呼ぶ.

#環論の初歩 12 #可換環 (commutative ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF… ・乗法が可換であるような #環 ・可換環の研究は #可換環論，#可換代数学 と呼ばれる ・環Rは加法に関しアーベル群，乗法に関しモノイド. 乗法は加法に対し分配的. さらに乗法が可換律(#交換法則)を満たせばRは可換

#環論の初歩 11 Q. #可換環 とは A. #環 の3 #公理 に加え 下記の性質を満たすものをいう. ④ 積の #交換法則 a・b ＝ b・a なお，環は 加法については #アーベル群 なので 加法は常に交換法則を満たす.

#環論の初歩 10 Q. #ガウス整数環 とは. A. #ガウス整数 は 実部と虚部が共に整数である複素数のこと. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ガウス整数全体の集合がなす #環 が ガウス整数環(ring of Gaussian integer). ℤ[ i ] = { a＋bi | a,b∈ℤ } と表記. 加法と乗法について #閉じている.

#環論の初歩 9 Q. #有理整数環 とは. A. 整数全体の集合ℤが 和と積についてなす #環 のこと. #整数環 (ring of integers) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4… 代数的整数論では ℤの元を #有理整数 と呼ぶ. そのため，ℤがなす環も 単に「整数環」ではなく 「有理」整数環と呼んでいる.

#環論の初歩 8 #環論 (ring theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0… ・ #環 を研究する学問分野が環論. ・環は加法と乗法が定義され「整数の持つ性質とよく似た性質」を満足する #代数的構造. ・環は #アーベル群 に第2の #二項演算 として，#結合法則 と #分配法則 を満たす * を導入したもの

#環論の初歩 7 #環 (ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0… ・台集合に加法(和)と乗法(積)を備えた #代数的構造 のこと. ・最もよく知られた環の例は，整数全体の成す集合に加法と乗法を考えたもの ・環論では #可換環 と #非可換環 を分けて考える. (前者は代数的数論や代数幾何学の範疇)

#環論の初歩 5 Q. 「#環 の #単位元」とは. A. 環に定義された乗法(積演算)に 単位元が存在する場合， 「環の単位元」と呼び 1 という記号で表す. 環の3 #公理 の中で 乗法について #モノイド である事を要請すれば 環は常に「環の単位元」をもつ.

#環論の初歩 4 Q. #環 の3 #公理に 積演算の #単位元 の存在を含めない場合が 実際にあるのか？ A. 下記の書籍では，環の3公理として 積について (モノイドではなく)#半群 である事を要請し 「乗法の単位元をもつ環」を別扱いしている. 代数演習(サイエンス社) amazon.co.jp/dp/4781910408 .

#環論の初歩 3 Q. 「#環 の3 #公理」に 「積演算の #単位元 の存在」を含めるか？ A. 積演算が #結合法則 だけでなく 単位元の存在も満たすなら 「単位元をもつ半群」すなわち 積に関し #モノイド(単位的半群). 一方，積演算に 結合法則のみを要請すれば 積に関しモノイドではなく #半群.

#環論の初歩 2 Q. #環 の #零元 とは. A. 環に定義された「加法の #単位元」0 を指す. 環の #公理 では 加法について #群 なので， 加法の単位元の存在は必須. ※乗法については， 環の公理の中で 乗法について #モノイド である事を要請すれば 乗法の単位元も存在する.

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) asakura.co.jp/books/isbn/978… 前書きより: 『#代数学 とは #加群(module)を調べる事だ と言ってしまった方が早い. これには注釈を要する. 普通，#環 の研究は， #環上の加群，すなわち 環が働く #加群 の研究に 帰着されている.』