#群論の初歩 81 Q. SL(n,C) や U(n) が GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか A. n 次 #正方行列 のうち GL(n,C): #正則行列 全体 SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体 U(n): #ユニタリ行列 全体 いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で SLはGLの部分集合 UはGLの部分集合.

#群論の初歩 79 ユニタリ行列 (unitary matrix) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6… U^* U = U U^* = E を満たす複素 #正方行列 U は #ユニタリ行列. ※U^* は U の #随伴行列 (U^* = (U̅)^T) ・ #直交行列 を 複素数体へ拡張したものがユニタリ行列. 実ユニタリ行列は直交行列に等しい.

#群論の初歩 54 Q. (1) n 次 #正方行列 全体の集合Mは 加法について #群 をなす. (2) n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は 行列の積について群(#一般線形群)をなす. (1)(2)は各々,可換群か? A. (1)の加法は可換ゆえ #アーベル群 および #加法群. (2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 49 Q. n次 #正方行列 全体Mから #零行列 O を除外した集合 M－{O} は, #行列 の積演算について #群 か? A. 例えば2×2行列の場合 X＝ (1 0 0 0) Y＝ (0 0 1 0) の時 XY=YX=Oで M－{O}の内部で演算が閉じていないので 群ではない. (Oでない行列同士の積がOになり得る.)

#群論の初歩 48 Q. n次 #正方行列 全体の集合Mから #零行列 O を除外した集合 M－{O} は， #行列 の和演算について #群 か? A. 演算の #単位元 が存在しないので 群ではない.

#群論の初歩 47 Q. n次 #正方行列 全体の集合Mは #行列 の積演算について #群 か? A. Mの任意の元Aに対し AE＝EA＝Aより n次 #単位行列 Eが 積演算の #単位元. しかし #零行列 Oは OA＝AO＝Oで, Oにいかなる元をかけても 単位元Eにならず Oには #逆元 が存在しないので Mは群でない.

#群論の初歩 46 Q. n 次 #正方行列 全体の集合 M から #群 を構成せよ. A. 演算として #行列 の和(加法)を考えれば #単位元 はO(n次の正方零行列). 行列Aの #逆元 は－A. 演算が閉じており #結合法則 を満たすので群. #交換法則 も成立するので #アーベル群. 加法の群なので #加法群.

#環論の初歩 19 Q. #全行列環 とは A. n×nの #正方行列 全体の集合がなす #環 を n次「全行列環」 (full ring of n by n matrices)と呼びM_nで表す. ※成分には実数などの制約を課す. #行列 の積は非可換ゆえ M_nは #可換環 でない. 行列環(matrix ring)の例 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C… .