#群論入門_正規部分群編 59 Q. 「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達しない」 ↑ 列の末尾に #単位元 が無いってこと？ A. そうではない. 先頭の #群 Gは必ず単位元eを含み その #交換子群 も必ずeを含み 列内で順次，常にeを含む. e"以外"の元を「消す」事ができれば単位群に到達する.

#群論入門_正規部分群編 50 Q. #群 Gの #交換子群 D(G) という集合の大きさの意味 A. Gが #アーベル群 ならD(G)＝{e}. D(G)が #単位元 e以外の元も持つ時 Gの #部分群(部分集合)であるD(G)の大きさは 「群G内で #交換法則 の成り立たない度合い (非可換性の強さ)」を表す と解釈できる.

#群論入門_正規部分群編 34 Q. (1) #群 G内の #交換子 が #単位元 eのみ. (2) Gが #アーベル群. (1)⇔(2)を示せ A. (1)の時 Gの任意の2元a,bに対し [a,b]＝a^{-1}b^{-1}ab＝e →ab＝ba となりGはアーベル群. 逆に(2)の時 Gの任意の2元a,bに対し ab＝ba →a^{-1}b^{-1}ab＝e ∴[a,b]＝e

#群論入門_正規部分群編 32 Q. #群 G の #単位元 e について e が常に #交換子 であることを示せ. A. 交換子を計算する際の引数として 2つとも e をとれば， [ e, e ] ＝ e^{-1} e^{-1} e e ＝ e e e e ＝ e よって e ＝ [ e, e ] なので，単位元は 交換子としての表記が可能である.

#群論入門_正規部分群編 31 Q. #群 Gの2つの元a,bの #交換子 とは… 1) 定義 2) 何に役立つか A. 1) 演算結果 a^{-1} b^{-1} a b ∈ G のこと. [a, b] と書く. 2) [a, b] = e (#単位元) である事と a,bが #可換 である事は同値. a^{-1} b^{-1} a b＝e ⇔ ab＝ba 2元に #交換法則 が成立.

#群論入門_正規部分群編 18 Q. 「自明な #正規部分群」とは. A. #群 G の部分集合のうち 下記の２つは， (Gの「#自明な部分群」であると同時に) Gの「#自明な正規部分群」でもある. (1) 群 G そのもの. (2) Gの #単位元 からなる #単位群 {e}.

#巡回群とは 59 Q. #群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m} の #べき積 の全体は 群をなす事を示せ A. べき積同士の積はべき積で #二項演算 が #閉じている. どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK. #単位元 は(a_1)^0=e. 積の逆元の計算より べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積. ∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 47 前ツイの解説: #群 G内に #単位元 eではない元aがあれば， その元a(≠e)を使って 必ず #巡回部分群 ‹a› (≤ G) を作れる. これはGの部分群であり， e, a ∈ ‹a› より ‹a› の位数は2以上. つまり Gの #位数 が2以上なら， Gは「位数が2以上の巡回部分群」を必ず持つ.

#巡回群とは 46 Q. #群 Gが |G|≧2で #真部分群 を持たなければ Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ. A. #単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが 題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G. 前ツイより |G|が合成数nなら nの約数mにより位数n/mの部分群があるので |G|は素数.

#巡回群とは 39 Q. #群 G の元 a の #位数 が n で m は n の約数とする. このとき n/m ＝ d は整数である. a^d の位数は? A. 「その元を何乗すると #単位元 になるか」 という最小の値が位数である点に注意. a^n＝e のとき { a^(n/m) }^m ＝ a^n ＝ e なので ∴ | a^(n/m) | ＝ m.

#巡回群とは 38 Q. #群 Gの元aの #位数 がnで mはnの約数とする. a^mの位数は? A. a^i=e(#単位元)となる自然数iのうち 最小のものがnであり a^n=e. n=md (m,dは自然数)とおくと a^(md)=e. ここで md=knとなる最小の自然数kはk＝1より (a^m)^d=a^n=eとなる自然数dは d=n/m ∴|a^m|＝n/m

#巡回群とは 27 Q. Hを 元aによって #生成 される Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする. Hが #群 である事を示せ. A. H の任意の2元に対し (a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで #二項演算 が #閉じている. #単位元 は a^0＝e. 任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在. よって H は群である.

#巡回群とは 21 Q. 整数全体の集合ℤを #巡回群 とみなす場合 その #生成元 は. A. a＝+1 または a＝-1 を生成元とし， #二項演算 として加法 #単位元 1 元 x の #逆元 として －x を考え， 演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し その全体の集合は { na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

#巡回群とは 8 Q. #単位群(自明な群)は #巡回群 であり， その #生成元 の #位数 が 1である事を示せ. A. 単位群(自明群，trivial group)は ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}. 全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群. e^n＝eとなる最小の自然数は n＝1なので， eの位数は1.

#巡回群とは 7 Q. #巡回群 G の #生成元 が a であるとき， a の #位数 とは. A. G が #有限群 の場合， e を #単位元 とし a^m ＝ e を満たす 最小の自然数 m が存在し その m を 「元 a の位数」と呼ぶ.

#巡回群とは 2 Q. #群 のある1つの元 a の #べき とは A. a の n 個の積を a^n ＝ aaa…a ※n個 と書く. a^{-1} の n 個の積を a^{-n} ＝ (a^{-1}) (a^{-1}) (a^{-1}) … (a^{-1}) ※n個 と書く. a^0 ＝ e (#単位元)と定義. 任意の整数 n に対して定義される a^n を 元 a のべきと呼ぶ.

#代数系の初歩 26 Q. #擬群 とは. A. #準群 に #単位元 e の存在を課したもの. 除法と単位元の存在より， 任意の元が #逆元 を持つことになる. #擬群(loop) en.wikipedia.org/wiki/Quasigrou… ・別名「ループ」. ・ #結合法則 は課されない.

#代数系の初歩 24 Q. #準群 と #群 を比較せよ. A. 共通した性質: ・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ) 群の場合: ・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす. 準群の場合: ・単位元や結合法則は要請されない. ・逆元のかわりに「除法」が定義される.

#代数系の初歩 23 Q. #準群 Ｑの任意の2元a,bに対し ① ax=bなるxと ② ya=bなるyが存在. a=bの時 ①' ax＝a ②' ya＝a この式から 「#準群 には #単位元 も存在」と言えるか? A. ①' ②' で一般にx≠y. さらに元aごとに①' ②' をみたすx,yは異なる。 よってＱに単位元は一般に無い。

#代数系の初歩 21 Q. マグマに #結合法則 を課さないまま #逆元 や #単位元 の存在を課したら どうなるか A. #二項演算 が #閉じている 集合: #マグマ ↓ マグマに「除法」演算の存在を課す: #準群 ↓ 準群に単位元の存在を課す: #擬群 ↓ 擬群に結合法則を課す: #群

#代数系の初歩 20 Q. #半群 を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 正の整数が全て出る 特殊なサイコロを考える. #単位元 がないので サイコロの目に0は無い. (動かない=1回休み，が不可能で立ち止まれない) #逆元 がないので 進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 19 Q. #モノイド を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 0と正の全整数が出るような 特殊なサイコロを考える. #単位元 を持つので サイコロの目に0がある. (0進む=動かない=1回休み) #逆元(負の目)が無いので 進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 18 Q. #群 を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 0を含む正負すべての整数が出るような 特殊なサイコロを考える. #単位元 を持つので サイコロの目に0がある. (0進む=動かない=1回休み) #逆元 を持つので +2進んだら -2で戻るなど後退(バック)も可能.

#代数系の初歩 17 Q. マグマから アーベル群までの5段階で 1つずつ条件を増やせ A. 　　#マグマ: 閉 　　　#半群: 閉 結 　#モノイド: 閉 結 単 　　　　#群: 閉 結 単 逆 #アーベル群: 閉 結 単 逆 換　 閉 #二項演算 が #閉じている 結 #結合法則 単 #単位元 逆 #逆元 換 #交換法則

#代数系の初歩 16 Q. マグマ 半群 モノイド 群 を順に定義 A. 集合が #内算法 を持てば #マグマ マグマに #結合法則 を課すと #半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ) 半群に #単位元 の存在を課すと #モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ) モノイドに #逆元 の存在を課すと #群

#代数系の初歩 15 Q. 「半群」の定義が どうしても記憶できない A. 1.#二項演算 が #閉じている 2.#結合法則 3.#単位元 4.#逆元 #群 はこの4条件を満たすが #半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。 群の「半分」の条件しか満たさないので "半群" なのです… と記憶できるかも?

#代数系の初歩 14 #モノイド(monoid) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2… ・単系(たんけい)とも呼ぶ. ・1つの #二項演算 と #単位元 をもつ #代数的構造 であり， #結合法則 を満たす. ・モノイドは 「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」) なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 13 #半群(semigroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A… ・各元が #逆元 を持つとは限らない点と #単位元 も無いかもしれない点で #群 と異なる. ・台集合が有限集合である半群: 有限半群 (finite semigroup) ・台集合が無限集合である半群: 無限半群 (infinite semigroup)

#代数系の初歩 11 Q. #半群，#モノイド とは. A. #群 の #公理 のうち #結合法則 を満たすものが半群. #単位元 や #逆元 の存在は要請しない. 群の公理のうち 結合法則と， 単位元の存在を満たすものがモノイド. 逆元の存在は要請しない.

#代数系の初歩 9 Q. #代数学 において #マグマ とは. A. ある集合Mにおいて 「#閉じている 二項演算」(#内算法) が定義されていれば， Mをマグマと呼ぶ. (※ #ブルバキ が導入した呼び名) その #二項演算 は #結合法則 を満たす必要はなく， #単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#群論の初歩 90 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群) 全部思い出せますかな

#群論の初歩 85 英語名称のおさらい #群 group #公理 axiom #単位元 identity element #逆元 inverse element #結合法則 associative law #結合律 associative property, associativity #アーベル群 abelian group #可換群 commutative group

#群論の初歩 63 Q. #自明な部分群 とは A. #群 Gの部分集合のうち 下記の２つを Gの「自明な #部分群」(trivial subgroup)と呼ぶ. (1) 群Gそのもの (2) Gの #単位元 からなる #単位群 {e}

#群論の初歩 62 Q. #群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが 1)∀a,b∈H⇒ab∈H 2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H の時 Hが群である事を示せ. A. 1)よりHの二項演算は #閉じている. Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす. 2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在. ∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 61 Q. #群 Gと同じ #二項演算 を持つ Gの部分集合Hが 1) ∀a,b∈H ⇒ ab∈H 2) ∀a∈H ⇒ a^{-1}∈H ならば Hに #単位元 が存在する事を示せ A. Hの元は全てGの元なので aa^{-1} はGの単位元eであり (1)より aa^{-1}＝e はHの元. GとHで二項演算が同じなので eはHの単位元.

#群論の初歩 58 Q. 整数全体 ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 自然数全体 ℕ＝{1, 2, 3, …} #二項演算 として和を考えると #部分群 の関係は有るか？ A. ℤ上で #単位元 は0. 任意の元に対し #逆元 が存在. ℤは #群. ℕには単位元も逆元も無く群でない. よってℕはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 55 Q. n次 #正則行列 全体GL(n)は #行列 の和について #群 か? A. 加法の #単位元 は #零行列 Oで #正則 ではない. GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので 群ではない. またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ #二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 52 Q. 3つの集合 GL( n, ℚ ) GL( n, ℝ ) GL( n, ℂ ) について，おのおの #群 を構成せよ A. 各々，#行列 の積について群である. 各々は積演算について閉じており 積演算が #結合法則 を満たす. #単位元 は #単位行列 であり #逆元 は #逆行列 である.

#群論の初歩 48 Q. n次 #正方行列 全体の集合Mから #零行列 O を除外した集合 M－{O} は， #行列 の和演算について #群 か? A. 演算の #単位元 が存在しないので 群ではない.

#群論の初歩 47 Q. n次 #正方行列 全体の集合Mは #行列 の積演算について #群 か? A. Mの任意の元Aに対し AE＝EA＝Aより n次 #単位行列 Eが 積演算の #単位元. しかし #零行列 Oは OA＝AO＝Oで, Oにいかなる元をかけても 単位元Eにならず Oには #逆元 が存在しないので Mは群でない.