#代数系の初歩 21 Q. マグマに #結合法則 を課さないまま #逆元 や #単位元 の存在を課したら どうなるか A. #二項演算 が #閉じている 集合: #マグマ ↓ マグマに「除法」演算の存在を課す: #準群 ↓ 準群に単位元の存在を課す: #擬群 ↓ 擬群に結合法則を課す: #群

#代数系の初歩 20 Q. #半群 を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 正の整数が全て出る 特殊なサイコロを考える. #単位元 がないので サイコロの目に0は無い. (動かない=1回休み，が不可能で立ち止まれない) #逆元 がないので 進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 18 Q. #群 を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 0を含む正負すべての整数が出るような 特殊なサイコロを考える. #単位元 を持つので サイコロの目に0がある. (0進む=動かない=1回休み) #逆元 を持つので +2進んだら -2で戻るなど後退(バック)も可能.

#代数系の初歩 17 Q. マグマから アーベル群までの5段階で 1つずつ条件を増やせ A. 　　#マグマ: 閉 　　　#半群: 閉 結 　#モノイド: 閉 結 単 　　　　#群: 閉 結 単 逆 #アーベル群: 閉 結 単 逆 換　 閉 #二項演算 が #閉じている 結 #結合法則 単 #単位元 逆 #逆元 換 #交換法則

#代数系の初歩 16 Q. マグマ 半群 モノイド 群 を順に定義 A. 集合が #内算法 を持てば #マグマ マグマに #結合法則 を課すと #半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ) 半群に #単位元 の存在を課すと #モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ) モノイドに #逆元 の存在を課すと #群

#代数系の初歩 15 Q. 「半群」の定義が どうしても記憶できない A. 1.#二項演算 が #閉じている 2.#結合法則 3.#単位元 4.#逆元 #群 はこの4条件を満たすが #半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。 群の「半分」の条件しか満たさないので "半群" なのです… と記憶できるかも?

#代数系の初歩 14 #モノイド(monoid) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2… ・単系(たんけい)とも呼ぶ. ・1つの #二項演算 と #単位元 をもつ #代数的構造 であり， #結合法則 を満たす. ・モノイドは 「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」) なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 13 #半群(semigroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A… ・各元が #逆元 を持つとは限らない点と #単位元 も無いかもしれない点で #群 と異なる. ・台集合が有限集合である半群: 有限半群 (finite semigroup) ・台集合が無限集合である半群: 無限半群 (infinite semigroup)

#代数系の初歩 11 Q. #半群，#モノイド とは. A. #群 の #公理 のうち #結合法則 を満たすものが半群. #単位元 や #逆元 の存在は要請しない. 群の公理のうち 結合法則と， 単位元の存在を満たすものがモノイド. 逆元の存在は要請しない.

#代数系の初歩 9 Q. #代数学 において #マグマ とは. A. ある集合Mにおいて 「#閉じている 二項演算」(#内算法) が定義されていれば， Mをマグマと呼ぶ. (※ #ブルバキ が導入した呼び名) その #二項演算 は #結合法則 を満たす必要はなく， #単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#群論の初歩 90 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群) 全部思い出せますかな

#群論の初歩 85 英語名称のおさらい #群 group #公理 axiom #単位元 identity element #逆元 inverse element #結合法則 associative law #結合律 associative property, associativity #アーベル群 abelian group #可換群 commutative group

#群論の初歩 63 Q. #自明な部分群 とは A. #群 Gの部分集合のうち 下記の２つを Gの「自明な #部分群」(trivial subgroup)と呼ぶ. (1) 群Gそのもの (2) Gの #単位元 からなる #単位群 {e}

#群論の初歩 62 Q. #群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが 1)∀a,b∈H⇒ab∈H 2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H の時 Hが群である事を示せ. A. 1)よりHの二項演算は #閉じている. Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす. 2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在. ∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 61 Q. #群 Gと同じ #二項演算 を持つ Gの部分集合Hが 1) ∀a,b∈H ⇒ ab∈H 2) ∀a∈H ⇒ a^{-1}∈H ならば Hに #単位元 が存在する事を示せ A. Hの元は全てGの元なので aa^{-1} はGの単位元eであり (1)より aa^{-1}＝e はHの元. GとHで二項演算が同じなので eはHの単位元.

#群論の初歩 58 Q. 整数全体 ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 自然数全体 ℕ＝{1, 2, 3, …} #二項演算 として和を考えると #部分群 の関係は有るか？ A. ℤ上で #単位元 は0. 任意の元に対し #逆元 が存在. ℤは #群. ℕには単位元も逆元も無く群でない. よってℕはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 55 Q. n次 #正則行列 全体GL(n)は #行列 の和について #群 か? A. 加法の #単位元 は #零行列 Oで #正則 ではない. GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので 群ではない. またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ #二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 52 Q. 3つの集合 GL( n, ℚ ) GL( n, ℝ ) GL( n, ℂ ) について，おのおの #群 を構成せよ A. 各々，#行列 の積について群である. 各々は積演算について閉じており 積演算が #結合法則 を満たす. #単位元 は #単位行列 であり #逆元 は #逆行列 である.

#群論の初歩 48 Q. n次 #正方行列 全体の集合Mから #零行列 O を除外した集合 M－{O} は， #行列 の和演算について #群 か? A. 演算の #単位元 が存在しないので 群ではない.

#群論の初歩 47 Q. n次 #正方行列 全体の集合Mは #行列 の積演算について #群 か? A. Mの任意の元Aに対し AE＝EA＝Aより n次 #単位行列 Eが 積演算の #単位元. しかし #零行列 Oは OA＝AO＝Oで, Oにいかなる元をかけても 単位元Eにならず Oには #逆元 が存在しないので Mは群でない.

#群論の初歩 46 Q. n 次 #正方行列 全体の集合 M から #群 を構成せよ. A. 演算として #行列 の和(加法)を考えれば #単位元 はO(n次の正方零行列). 行列Aの #逆元 は－A. 演算が閉じており #結合法則 を満たすので群. #交換法則 も成立するので #アーベル群. 加法の群なので #加法群.

#群論の知識 Q. #群論 で現れる #核(kernel)とは A. ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B8… 核は，準同型の #単射 からのずれの度合いを測る道具. G, Hを群とし G, Hの #単位元 を各々 e_G, e_H とする. #群準同型 f: G → H に対し Ker f ＝ { g ∈ G | f(g) ＝ e_H } を #写像 f の核という.

#群論の初歩 39 Q. #加法群 とは. A. 「#アーベル群 の演算を 加法(＋)の形で表記したもの」を 一般に加法群と呼ぶ. 加法群の #単位元 を #零元 と呼び， 通常は 0 と書く. 加法群の元 a の #逆元 を -a と書く. a＋(-b) を a-b と書く. ※ "#加群" とは別物なので区別すること.

#群論の初歩 37 Q. 0を除く有理数の集合 ℚ^* から #アーベル群 G を構成せよ A. 演算として乗法(掛け算)を用いる. #単位元 として 1 を用いる. 元 x の #逆元 は 1/x . 演算の #結合法則 単位元の存在 逆元の存在 を満たすのでGは #群. また #交換法則 を満たすので Gはアーベル群.

#群論の初歩 35 Q. #アーベル群 とは A. #群 Gは ・ #結合法則 ・ #単位元 の存在 ・ #逆元 の存在 という群の3公理を満たすが それに加え4つ目の条件として ・ #交換法則 を満たす場合， Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

#群論の初歩 28 Q. T＝{ x＋y√3 | x,y∈ℚ } S＝T－{0} Sが積演算について #群 をなすことを示せ. A. Sの2元の積は (a+b√3)(c+d√3)＝(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈S より #二項演算 が #閉じている. #結合法則 も満たす. #単位元 は1. a+b√3の #逆元 は 1/(a+b√3)＝(a－b√3)/(a^2－3b^2)∈S

#群論の初歩 27 Q. 1次元トーラスから #群 を構成せよ. A. 1次元トーラスとは 複素数全体ℂに対し T＝{z∈ℂ | |z|＝1} を指す. Tの元は 乗法について閉じており #結合法則 を満たす. #単位元 は z＝1. 元 z＝e^(iθ) の #逆元 は z'＝e^(-iθ). よってTは乗法に関し群になる.

#群論の初歩 24 Q. #単位群 とは. A. ただ1つの元として #単位元 e を持つような集合 { e } は， #位数 が 1 の #有限群 であり 単位群と呼ぶ. 例: ・ #二項演算 として実数の積 ・単位元として実数 1 を考えれば { 1 } という集合は単位群である.

#群論の初歩 20 Q. #群 の3公理を 同値なまま簡潔化せよ A. #単位元 の存在は #右単位元 の存在に置き換えられる: 任意の元 a に対し ae＝a なる右単位元 e が存在. #逆元 の存在は #右逆元 の存在に置き換えられる: 各元 a に対し a a^(-1)＝e なる右逆元 a^(-1) が存在.

#群論の初歩 18 Q. 群 G のある2つの元 x, y について， xy が #単位元 に等しければ x ＝ y^{-1} かつ y ＝ x^{-1} として 相互に #逆元 の関係が成り立つ事を示せ. A. xy ＝ e 両辺に左から x^{-1} をかけ (x^{-1} x) y ＝ x^{-1} e ey ＝ x^{-1} y ＝ x^{-1} y^{-1} も同様.

#群論の初歩 17 Q. 群 G の ある1つの元 a について， aa ＝ a ならば a は #単位元 である事を示せ. A. aa ＝ a 両辺に右から a^{-1} をかけ aa(a^{-1}) ＝ a(a^{-1}) a(aa^{-1}) ＝ (aa^{-1}) ae ＝ e a ＝ e

#群論の初歩 16 Q. #群 G に対して (1) #単位元 の存在 (2) #逆元 の存在 それぞれ論理記号で表記してみよう. A. (1) ∃e∈G s.t. (∀g∈G，ge＝eg＝g) (2) ∀g∈G，∃h∈G s.t. hg＝gh＝e ↑ ∀(すべての)と ∃(そんざい)の記号を置く場所が (1)と(2)で異なる点に注意.

#群論の初歩 15 Q. #群 の公理で (1) #単位元 の存在: 群Gの任意の元xに対し xe＝ex＝x なる e が存在 (2) #逆元 の存在: 群Gの各元xに対し xx'＝x'x＝e なる x' が存在 ↑ 微妙に言葉遣いが違うのはなぜ? A. 単位元eは任意の要素に対しG内に1つだが 逆元は各要素に対し1つずつ存在

#群論の初歩 13 Q. 群において， #逆元 の一意性を示せ. A. a の逆元が2つあり x と x' だとする. 逆元の定義より e ＝ ax'　かつ e ＝ xa ここで x ＝xe ＝x(ax') ＝(xa)x' ＝ex' ＝x' よって逆元は各々ただ一つ. ※逆元の定義に #単位元 が出てくるところがポイント.

#群論の初歩 11 ①日本語で「アイデンティティ」: 【自分自身】 自我の本質的なありかた ②群論で 「アイデンティティ」 (#単位元，identity element)を使うと ae＝a つまり【自分自身】に返ってくる. ①②は 「自分を指すポインタ」みたいな意味で 両方ともアイデンティティなんですなあ.

#群論の初歩 10 #単位元(identity element) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・抽象代数学における単位元は #二項演算 を備えた集合の特別な元. ・ほかのどの元も， その二項演算による 単位元との結合の影響を受けない. ・中立元(neutral element)とも呼ぶ.

#群論の初歩 9 Q. 群において， #単位元 の一意性を示せ. A. 単位元が2つあり e と e' だとする. 単位元の定義より， 任意の元 x について ex ＝ x　…① xe' ＝ x　…② ①より e' ＝ ee'　…③ ②より ee' ＝ e　…④ ③と④より e ＝ ee' ＝ e' よって単位元はただ一つ.

#群論の初歩 8 Q. #群 の公理の 「 #単位元 の存在」を説明せよ. A. 群Gの 任意の元 x について e x＝ x e ＝ x を満たす元 e が存在し e を G の単位元と呼ぶ. これはつまり 「何もしない演算」 (変化を生まない操作，#恒等変換) を考慮に入れる，ということ.

#群論の初歩 3 Q. #群 の定義の3条件(群の #公理)を述べよ A. 演算の定義された集合において 1. #結合法則 2. #単位元 の存在 3. #逆元 の存在 が満たされていること. ※「構造内部で #二項演算 が #閉じている こと」は 群の3公理に含めない. それは群以前に #マグマ の性質なので.