＜#代数学の参考書＞ 「復刊　有限群論」(1970伊藤) 書評より: 『2章では #Frobenius部分群 に関する #Burnsideの結果 (基本定理Ⅱ)からはじまって， Frobenius部分群の p-シロー群は #巡回群 か #四元数群 になること， これと関連して #シロー群 が すべて巡回群となる #群 の構造…』

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p68より引用: 『要約しておこう。 #群　　　　#グラフ #元　　　　#頂点 #生成元　　同色の #有向線分 #語　　　　#道 元の #乗法　　　　道の #継続 Ｉに対する語　　　閉じた道 rx＝sの #可解性　　グラフ網は #連結 』

#群論の知識 Q. 「シロー p-部分群」を表す記号 A. #群 G と素数 p に対し， 「G の全てのシロー p-部分群の集合」 を Syl_p ( G ) と書く.

#群論の初歩 49 Q. n次 #正方行列 全体Mから #零行列 O を除外した集合 M－{O} は, #行列 の積演算について #群 か? A. 例えば2×2行列の場合 X＝ (1 0 0 0) Y＝ (0 0 1 0) の時 XY=YX=Oで M－{O}の内部で演算が閉じていないので 群ではない. (Oでない行列同士の積がOになり得る.)

#群論の初歩 48 Q. n次 #正方行列 全体の集合Mから #零行列 O を除外した集合 M－{O} は， #行列 の和演算について #群 か? A. 演算の #単位元 が存在しないので 群ではない.

#群論の初歩 47 Q. n次 #正方行列 全体の集合Mは #行列 の積演算について #群 か? A. Mの任意の元Aに対し AE＝EA＝Aより n次 #単位行列 Eが 積演算の #単位元. しかし #零行列 Oは OA＝AO＝Oで, Oにいかなる元をかけても 単位元Eにならず Oには #逆元 が存在しないので Mは群でない.

#群論の初歩 46 Q. n 次 #正方行列 全体の集合 M から #群 を構成せよ. A. 演算として #行列 の和(加法)を考えれば #単位元 はO(n次の正方零行列). 行列Aの #逆元 は－A. 演算が閉じており #結合法則 を満たすので群. #交換法則 も成立するので #アーベル群. 加法の群なので #加法群.

＜#代数学の参考書＞ 「連続群論(上)」(岩波書店1957ポントリャーギン) 序論より: 『純粋に #論理学 的な 観点から見れば， #位相群 は， #群 と #位相空間 という 2つの数学的概念を 組合わせたものに他ならない. 従って，位相群の概念は 極めて #自然 に #公理的 に組立てる事ができる.』

#群論の知識 Q. 「シロー p-部分群」とは. A. #群 G の #部分群 が 下記の条件を満たせば 「シロー p-部分群」 (Sylow p-subgroup). ① p-群である. (任意の元の #位数 が素数 p のべき) ② G の他のどんな p-部分群 の #真部分群 でもない. つまり「G の極大 p-部分群」のこと.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p9より引用: 『#群 の理論が 初めてできたのは #18世紀 の終わりである. それはゆっくりと展開し #19世紀 の 最初の何十年かは あまり #注目 されなかった. しかし #1830年 を中心とする 2，3年の間に #群論 は一大 #飛躍 を遂げた.』

#群論の初歩 41 #加法群 (英 additive group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… ・ 群演算を，ある意味で 加法と考えることのできる #群. ・通常は #アーベル群. ・ #二項演算 を 記号 + を使って書くのが一般的. ※乗法群 (multiplicative group) というのも存在する

#群論の初歩 38 Q. #群 Gの任意の元 x に対し x^2 = e ならば， Gは #アーベル群 である事を示せ. A. x^2 = e 両辺に右から x^{-1} をかけて x (x x^{-1}) = x^{-1} x＝x^{-1} よって，Gの任意の2元に対し ab ＝(ab) ＝(ab)^(-1) ＝b^(-1) a^(-1) ＝ba #交換法則 が成り立ちアーベル群.

#群論の初歩 37 Q. 0を除く有理数の集合 ℚ^* から #アーベル群 G を構成せよ A. 演算として乗法(掛け算)を用いる. #単位元 として 1 を用いる. 元 x の #逆元 は 1/x . 演算の #結合法則 単位元の存在 逆元の存在 を満たすのでGは #群. また #交換法則 を満たすので Gはアーベル群.

#群論の初歩 35 Q. #アーベル群 とは A. #群 Gは ・ #結合法則 ・ #単位元 の存在 ・ #逆元 の存在 という群の3公理を満たすが それに加え4つ目の条件として ・ #交換法則 を満たす場合， Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

＜#代数学の参考書＞ 「連続群論(上)」(1957ポントリャーギン) 序論より: 『多くの場合，その #群 を #変換群 と考える必要はなく， 単に群に #極限 の概念が 定義されているものとして 議論すればよいことが判って来た. こうして，新しい数学の対象として #位相群 という概念が生まれた.』

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p61より: 『#頂点 が #元 に #対応 し， #線分 が群 #生成元 や その #逆元 を乗ずることに 対応するような， #有向線分 の網組織(#グラフ) による #群 の表示は #19世紀 の #数学者 #ケイリー により考案され #ケイリー図型 という.』

#代数学の知識 #ガロア群 (Galois Group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式または #体 の #拡大 から 定義される #群 のこと. ・ガロア群を使って数学的対象を研究することを #ガロア理論 という.

#群論の初歩 28 Q. T＝{ x＋y√3 | x,y∈ℚ } S＝T－{0} Sが積演算について #群 をなすことを示せ. A. Sの2元の積は (a+b√3)(c+d√3)＝(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈S より #二項演算 が #閉じている. #結合法則 も満たす. #単位元 は1. a+b√3の #逆元 は 1/(a+b√3)＝(a－b√3)/(a^2－3b^2)∈S

#群論の初歩 27 Q. 1次元トーラスから #群 を構成せよ. A. 1次元トーラスとは 複素数全体ℂに対し T＝{z∈ℂ | |z|＝1} を指す. Tの元は 乗法について閉じており #結合法則 を満たす. #単位元 は z＝1. 元 z＝e^(iθ) の #逆元 は z'＝e^(-iθ). よってTは乗法に関し群になる.

＜#代数学の参考書＞ 「群論への30講」(朝倉書店1989志賀) yodobashi.com/product/100000… 前書きより: 『私は，むしろ #群 が他のものへ 働く時に示す #ほとばしり出る ような #動的 な #躍動感 の中に， #一般の人 が 群に #興味 をもつ #最初 の #動機 が隠されている のではないかと思った.』

#群論の初歩 26 Q. #群 で常に #簡約法則 が成り立つ事を示せ A. 群Gの3元a,b,cに対し aの #逆元 a^{-1} が常に存在. ab＝acの時，左からa^{-1}をかけ b＝c ∴左簡約可能 ba＝caの時，右からa^{-1}をかけ b＝c ∴右簡約可能 左簡約と右簡約が常に可能ゆえ 群では常に簡約法則が成立.

#群論の初歩 25 Q. #簡約法則(簡約律)とは. A. 簡約律(cancellation property) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B0%A1… ・消去律，消約律とも. ・左可逆元は左簡約可能: ab＝acならばb＝c ・右可逆元は右簡約可能: ba＝caならばb＝c ・すべての #群 で簡約律が成り立つ.

#群論の初歩 23 Q. #群論 において 有限群，無限群，位数とは. A. 有限個の元からなる #群 G を #有限群 と呼ぶ. 有限群 G の元の個数を 有限群 G の #位数 と呼び |G| と表記する. 無限個の元からなる群 G を #無限群 と呼ぶ.

#群論の初歩 20 Q. #群 の3公理を 同値なまま簡潔化せよ A. #単位元 の存在は #右単位元 の存在に置き換えられる: 任意の元 a に対し ae＝a なる右単位元 e が存在. #逆元 の存在は #右逆元 の存在に置き換えられる: 各元 a に対し a a^(-1)＝e なる右逆元 a^(-1) が存在.

#群論の知識 p-群 (p-group) ja.wikipedia.org/wiki/P-%E7%BE%… ・p-準素群(p-primary group)とも. ・任意の元の #位数 が 素数 p のべきになっている. ・ #群 の構造を理解するための 基本的な道具の1つ. ・「ほとんどすべての #有限群 が 2-群である」 という都市伝説的な予想がある.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) 前書きより: 『#群論 は #数学 の 「非･#数量的」分科の1つ. #群 の概念は 数学の発達において 比較的 #新しい が きわめて #実り豊か で ･#代数方程式 ･幾何学的 #変換 ･#位相幾何 ･#数論 の諸問題の探究において 有力な道具.』

＜#代数学の参考書＞ 「復刊　有限群論」(1970伊藤) 書評より: 『2章では #Frobenius部分群 に関する #Burnsideの結果 (基本定理Ⅱ)からはじまって， Frobenius部分群の p-シロー群は #巡回群 か #四元数群 になること， これと関連して #シロー群 が すべて巡回群となる #群 の構造…』

#群論の初歩 16 Q. #群 G に対して (1) #単位元 の存在 (2) #逆元 の存在 それぞれ論理記号で表記してみよう. A. (1) ∃e∈G s.t. (∀g∈G，ge＝eg＝g) (2) ∀g∈G，∃h∈G s.t. hg＝gh＝e ↑ ∀(すべての)と ∃(そんざい)の記号を置く場所が (1)と(2)で異なる点に注意.

#群論の初歩 15 Q. #群 の公理で (1) #単位元 の存在: 群Gの任意の元xに対し xe＝ex＝x なる e が存在 (2) #逆元 の存在: 群Gの各元xに対し xx'＝x'x＝e なる x' が存在 ↑ 微妙に言葉遣いが違うのはなぜ? A. 単位元eは任意の要素に対しG内に1つだが 逆元は各要素に対し1つずつ存在

#群論の知識 #群 の #直積 (direct product of groups) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 群 A, B に対し 集合としての直積 A×B を考え， その2元 x＝(a_1, b_1) y＝(a_2, b_2) x, y ∈ A×B に対し 積を xy＝(a_1 a_2, b_1 b_2) のように成分ごとの #二項演算 として定義すると A×B は群となる.

#群論の初歩 12 Q. #群 の公理の 「#逆元 の存在」を説明せよ A. 群Gの各元xに対し x x^(-1) = x^(-1) x = e を満たす元 x^(-1) が存在し x^(-1) を x の逆元と呼ぶ. これは 「ある操作には必ず その操作を元に戻す"逆操作"がある」 ということ. 群の世界では「覆水盆に返る」.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p36より: 『1つの #群 を 数学的実在として決定するには どれだけの事実を知ればよいか? 1つの解答は #ケイリー が #1854年 に 「群の #乗積表」を 導入した時に与えられた。 これは #九九 の表と 同じような #配列 である。』

#群論の初歩 8 Q. #群 の公理の 「 #単位元 の存在」を説明せよ. A. 群Gの 任意の元 x について e x＝ x e ＝ x を満たす元 e が存在し e を G の単位元と呼ぶ. これはつまり 「何もしない演算」 (変化を生まない操作，#恒等変換) を考慮に入れる，ということ.

#群論の初歩 4 Q. #群 の公理の #結合法則 を説明せよ. A. 群Gの 任意の3元 a, b, c について (ab)c ＝ a(bc) bを中心に考えると 「左右どちらの元とも合成が可能」ということ. そして，b を 「左右どちらと合成しても 最終的な3元の演算結果は同じものを指す」 ということ.

#群論の初歩 3 Q. #群 の定義の3条件(群の #公理)を述べよ A. 演算の定義された集合において 1. #結合法則 2. #単位元 の存在 3. #逆元 の存在 が満たされていること. ※「構造内部で #二項演算 が #閉じている こと」は 群の3公理に含めない. それは群以前に #マグマ の性質なので.

#群論の初歩 2 #群 (英 group) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・最も基本的と見なされる #代数的構造 の1つ ・数学や物理学全般で 様々な枠組みを与えるため応用 ・数学的対象 X から X への 「#自己同型 の集まり」の満たす性質を 代数的に抽象化. この集まりは X の #対称性 を表現する

＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(岩波書店1996吉川) 前書きより: 『8章以下では 一般の #連続群 について それぞれの #群 の #リー代数 の #表現 を求める という手続きをとる。 #リー群 または リー代数の表現は #数理物理学 はもちろん #原子核･#素粒子物理学 にも 広く #応用…』

#群論の初歩 1 ↑ このタグでは #群論 に独学で入門するため 下記を学びますぞ！ ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

#代数学の知識 #ガロア理論 (Galois theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式や #体 の構造を， #ガロア群 と呼ばれる #群 を使って記述する理論。 ・当時(19世紀前半)，まだ確立されていなかった 群や体の考えを方程式の研究に用いていた。