#群論の知識 自由アーベル群 (free abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA… ・ #基底 をもった #アーベル群 のこと. ・ #ベクトル空間 とよく似ている.

#群論入門_正規部分群編 10 Q. #群 Gが #アーベル群 なら G内の #共役変換 は どんな意味を持つか. A. Gの2要素x, aに対し x の共役変換は f(x) ＝ a^{-1} x a G内の任意の2元に #交換法則 が成り立つので ＝ a^{-1} a x ＝ x つまり，可換群では 任意の共役変換は #恒等変換.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p40より: 『#ノールウェー の #数学者 #アーベル(1802-1829)は #5次 の一般の #代数方程式 を #根号 により解くことが #不可能 である事を #証明 した. 彼の代数方程式の #論文 で， 現在 #アーベル群 と呼ばれる 概念が用いられた.』

＜#代数学の参考書＞ 「連続群論(上)」 (岩波書店1957ポントリャーギン) 序論より: 『#位相群 の研究のための 主要な手段は #線型表現 の理論であって 第5章ではこれについて述べる。 この理論を用いる事により #コンパクト群 及び #アーベル群 の #構造 が 詳しく研究されるのである。』

#巡回群とは 6 Q. #巡回群 は #アーベル群 である事を示せ. A. #群 Gが aを #生成元 とする巡回群 ‹ a › ならば Gの任意の2元x,yは x＝a^m y＝a^n という #べき の形である.(m,n∈ℤ) xy＝(a^m)(a^n)＝a^{m+n} yx＝(a^n)(a^m)＝a^{n+m}＝a^{m+n}＝xy なので，#交換法則 が成り立つ.

＜#量子論の参考書＞ SGCライブラリ 「ゲージ場の量子論入門」(2006近藤) 前書きより: 『通常 #QED(#量子電磁力学)を代表とする #アーベル群 に基づく #アーベル型 ゲージ場の理論を紹介し， それを #非アーベル群 へ拡張した #非アーベル型 ゲージ理論として #QCD(#量子色力学)を導入…』

#代数系の初歩 17 Q. マグマから アーベル群までの5段階で 1つずつ条件を増やせ A. 　　#マグマ: 閉 　　　#半群: 閉 結 　#モノイド: 閉 結 単 　　　　#群: 閉 結 単 逆 #アーベル群: 閉 結 単 逆 換　 閉 #二項演算 が #閉じている 結 #結合法則 単 #単位元 逆 #逆元 換 #交換法則

#群論の知識 #有限生成アーベル群 (finitely generated abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… ・ #有限生成 な #アーベル群. ・有限生成アーベル群 G の 任意の元 x は， #生成元 たちの 整数係数 線形結合として書くことができる.

#群論の知識 #有限アーベル群 (finite abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… #有限群 かつ #アーベル群. #有限生成アーベル群 の特別な場合. さまざまな応用がある: ・調和解析 ・合同算術 ・ #ガロア理論 ・情報理論

#群論の知識 自由アーベル群 (free abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA… ・ #基底 をもった #アーベル群 のこと. ・ #ベクトル空間 とよく似ている.

#群論の初歩 90 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群) 全部思い出せますかな

#群論の初歩 85 英語名称のおさらい #群 group #公理 axiom #単位元 identity element #逆元 inverse element #結合法則 associative law #結合律 associative property, associativity #アーベル群 abelian group #可換群 commutative group

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p40より: 『#ノールウェー の #数学者 #アーベル(1802-1829)は #5次 の一般の #代数方程式 を #根号 により解くことが #不可能 である事を #証明 した. 彼の代数方程式の #論文 で， 現在 #アーベル群 と呼ばれる 概念が用いられた.』

#群論の初歩 69 Q. X－{0} は Xから0という要素を除いた集合を表す. ① ℤ－{0} ② ℚ－{0} ③ ℝ－{0} ④ ℂ－{0} この4つの集合について #部分群 の関係を作れるか？ A. #二項演算 として #積 を考えると ②③④は #アーベル群. ①は #逆元 が無く #群 になれない. ∴ ②⊂③⊂④

#群論の初歩 68 Q. ℤ 整数全体の集合 ℚ 有理数全体の集合 ℝ 実数全体の集合 ℂ 複素数全体の集合 この4つの集合について #部分群 の関係を作れ. A. #二項演算 として和を考えると これら4つはいずれも #アーベル群 となる. 部分群の関係を G⊃H のように表記すると ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ

＜#代数学の参考書＞ 「連続群論(上)」 (岩波書店1957ポントリャーギン) 序論より: 『#位相群 の研究のための 主要な手段は #線型表現 の理論であって 第5章ではこれについて述べる。 この理論を用いる事により #コンパクト群 及び #アーベル群 の #構造 が 詳しく研究されるのである。』

#群論の初歩 54 Q. (1) n 次 #正方行列 全体の集合Mは 加法について #群 をなす. (2) n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は 行列の積について群(#一般線形群)をなす. (1)(2)は各々,可換群か? A. (1)の加法は可換ゆえ #アーベル群 および #加法群. (2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 46 Q. n 次 #正方行列 全体の集合 M から #群 を構成せよ. A. 演算として #行列 の和(加法)を考えれば #単位元 はO(n次の正方零行列). 行列Aの #逆元 は－A. 演算が閉じており #結合法則 を満たすので群. #交換法則 も成立するので #アーベル群. 加法の群なので #加法群.

#群論の初歩 41 #加法群 (英 additive group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… ・ 群演算を，ある意味で 加法と考えることのできる #群. ・通常は #アーベル群. ・ #二項演算 を 記号 + を使って書くのが一般的. ※乗法群 (multiplicative group) というのも存在する

#群論の初歩 39 Q. #加法群 とは. A. 「#アーベル群 の演算を 加法(＋)の形で表記したもの」を 一般に加法群と呼ぶ. 加法群の #単位元 を #零元 と呼び， 通常は 0 と書く. 加法群の元 a の #逆元 を -a と書く. a＋(-b) を a-b と書く. ※ "#加群" とは別物なので区別すること.

#群論の初歩 38 Q. #群 Gの任意の元 x に対し x^2 = e ならば， Gは #アーベル群 である事を示せ. A. x^2 = e 両辺に右から x^{-1} をかけて x (x x^{-1}) = x^{-1} x＝x^{-1} よって，Gの任意の2元に対し ab ＝(ab) ＝(ab)^(-1) ＝b^(-1) a^(-1) ＝ba #交換法則 が成り立ちアーベル群.

#群論の初歩 37 Q. 0を除く有理数の集合 ℚ^* から #アーベル群 G を構成せよ A. 演算として乗法(掛け算)を用いる. #単位元 として 1 を用いる. 元 x の #逆元 は 1/x . 演算の #結合法則 単位元の存在 逆元の存在 を満たすのでGは #群. また #交換法則 を満たすので Gはアーベル群.

#群論の初歩 36 #アーベル群(abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2… ・ #可換群(commutative group). ・抽象代数学の各種概念で基礎となる 加法に関する群(#加法群)として しばしば生じる. ・任意のアーベル群を表記する際 しばしば加法的な記法(+)を使う.

#群論の初歩 35 Q. #アーベル群 とは A. #群 Gは ・ #結合法則 ・ #単位元 の存在 ・ #逆元 の存在 という群の3公理を満たすが それに加え4つ目の条件として ・ #交換法則 を満たす場合， Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

#群論の初歩 1 ↑ このタグでは #群論 に独学で入門するため 下記を学びますぞ！ ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

＜#量子論の参考書＞ SGCライブラリ 「ゲージ場の量子論入門」(2006近藤) 前書きより: 『通常 #QED(#量子電磁力学)を代表とする #アーベル群 に基づく #アーベル型 ゲージ場の理論を紹介し， それを #非アーベル群 へ拡張した #非アーベル型 ゲージ理論として #QCD(#量子色力学)を導入…』

#代数学の知識 #ブラウアー群(Brauer group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96… #体 K のブラウアー群 Br(K) は 体 K 上の #中心的単純環 の #森田同値類(#多元環類，ブラウアー類) を元とする #アーベル群 で その演算は #多元環 の #テンソル積 から誘導される.

#代数学の知識 #ブラウアー群(Brauer group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96… #体 K のブラウアー群 Br(K) は 体 K 上の #中心的単純環 の #森田同値類(#多元環類，ブラウアー類) を元とする #アーベル群 で その演算は #多元環 の #テンソル積 から誘導される.

#加群の知識 #群 上の #加群 (G-module) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 「#アーベル群 M であって Mの群構造と #両立 するGの #作用 を持つもの」 の事を， 群G上の加群 (module over G) または G-加群 (G-module) という.

#加群の知識 #群 上の #加群 (G-module) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 「#アーベル群 M であって Mの群構造と #両立 するGの #作用 を持つもの」 の事を， 群G上の加群 (module over G) または G-加群 (G-module) という.

#環論の初歩 14 Q. #零環(ぜろかん)とは. A. {0} つまり ただ1つの要素 0 のみからなる #環. 加法＋について #アーベル群 をなし， 加法の単位元(＝環の #零元 0)は0. 乗法・について #モノイド をなし， 乗法の単位元(＝環の #単位元 1)は0. この状況を 1＝0 と書く.

#環論の初歩 11 Q. #可換環 とは A. #環 の3 #公理 に加え 下記の性質を満たすものをいう. ④ 積の #交換法則 a・b ＝ b・a なお，環は 加法については #アーベル群 なので 加法は常に交換法則を満たす.

#環論の初歩 8 #環論 (ring theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0… ・ #環 を研究する学問分野が環論. ・環は加法と乗法が定義され「整数の持つ性質とよく似た性質」を満足する #代数的構造. ・環は #アーベル群 に第2の #二項演算 として，#結合法則 と #分配法則 を満たす * を導入したもの

＜#代数学の参考書＞ 「ガロア理論」(シュプリンガー1997) 付録4より: 『#1829年 に #アーベル は ある #条件 を満たす #多項式 f(x) は #ベキ根 によって #解ける 事を証明した. #現代的 な用語では， #ガロア群 が #アーベル群 になる という条件である. これが「アーベル群」の #語源.』