#群論の初歩 84 SL, SO, SU などは #行列群 の中でも特に #古典群 と呼ばれる. ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C… ・行列群(matrix group): #正則行列 からなる. ・線型群(linear group): 体K上の #行列 群に同型な抽象群. 古典群(The classical groups)の一覧表 en.wikipedia.org/wiki/Classical… .

#群論の初歩 82 #行列 の積に関する #群 一覧： (1) おもに実数成分の場合 ▶GL(n) #一般線形群 #正則行列 ▶SL(n) #特殊線形群 #行列式=1 ▶O(n) #直交群 実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列) (行列式=±1) ▶SO(n) #特殊直交群(#回転群) 直交行列かつ行列式=1

#群論の初歩 81 Q. SL(n,C) や U(n) が GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか A. n 次 #正方行列 のうち GL(n,C): #正則行列 全体 SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体 U(n): #ユニタリ行列 全体 いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で SLはGLの部分集合 UはGLの部分集合.

#群論の初歩 55 Q. n次 #正則行列 全体GL(n)は #行列 の和について #群 か? A. 加法の #単位元 は #零行列 Oで #正則 ではない. GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので 群ではない. またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ #二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 54 Q. (1) n 次 #正方行列 全体の集合Mは 加法について #群 をなす. (2) n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は 行列の積について群(#一般線形群)をなす. (1)(2)は各々,可換群か? A. (1)の加法は可換ゆえ #アーベル群 および #加法群. (2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 53 一般線形群 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80… ・n 次正方行列全体のうち 「#正則行列 全体が 行列の積に関してなす群」を #一般線形群 という. GL_n ( F ) または GL( n, F ) と表す. ・ #行列式 がゼロでない #行列 全体 と言い換えてもよい.

#群論の初歩 51 Q. GL(n,V) 上で 行列の積という #二項演算 が #閉じている ことを示せ A. #正則行列 A, Bの積 AB＝M が #正則 である事を示す. Mに左から M'＝B^{-1} A^{-1} をかけると M'M＝E Mに右から M' をかけると MM'＝E ∴E＝M'M＝MM' で M の逆行列は M' だから M は正則

#群論の初歩 50 Q. #一般線形群 とは A. n次の #正則行列 全体の集合で ・有理数を成分とするもの: GL( n, ℚ ) ・実数を成分とするもの: GL( n, ℝ ) ・複素数を成分とするもの: GL( n, ℂ ) がそれぞれなす集合 この3つをあわせて n次の一般線形群(General Linear group) と呼ぶ.