#巡回群とは 34 Q. #加法群 G の ある1つの元 a について a が #生成 する #巡回部分群 は. A. 加法群の場合，演算の #べき は a^1＝a a^2＝a＋a ＝ 2a a^m＝a＋a＋…＋a ＝ ma a^{-m}＝ －ma と表せて H ＝ ‹ a › ＝ { ma | m∈ℤ } Hは (一般に)#無限群 かつ #巡回群 かつ Gの #部分群.

＜#代数学の参考書＞ 「環上の加群」(東大出版2007桂) 前書きより: 『#ベクトル空間 とは #加法群 に #体 の #作用 が与えられた物. 体のかわりに #環 を考え 環の作用が与えられた加法群を #環上の加群 という. ベクトル空間の #一般化 である この環上の #加群 を取り上げ，理論を解説.』

#代数系の初歩 4 Q. #代数学 において #二項演算 とは何か. A. ある集合 G の 2つの元 x, y を引数にとって， 新たな1つの元 z を生み出す操作のこと. #群 の2元に関する演算 xy #加法群 の2元に関する演算 x＋y などは二項演算である.

#群論の初歩 90 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群) 全部思い出せますかな

#群論の初歩 86 英語名称のおさらい・続 #加法群 additive group #乗法群 multiplicative group #加群 module #部分群 subgroup #自明な部分群 trivial subgroup #真部分群 proper subgroup #古典群 classical groups #行列群 matrix group

#群論の初歩 54 Q. (1) n 次 #正方行列 全体の集合Mは 加法について #群 をなす. (2) n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は 行列の積について群(#一般線形群)をなす. (1)(2)は各々,可換群か? A. (1)の加法は可換ゆえ #アーベル群 および #加法群. (2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 46 Q. n 次 #正方行列 全体の集合 M から #群 を構成せよ. A. 演算として #行列 の和(加法)を考えれば #単位元 はO(n次の正方零行列). 行列Aの #逆元 は－A. 演算が閉じており #結合法則 を満たすので群. #交換法則 も成立するので #アーベル群. 加法の群なので #加法群.

#群論の初歩 45 Q. 各々，通常の加法について #加法群 であるか? (1) すべての整数 ℤ (2) すべての有理数 ℚ (3) あるベクトル空間における全ベクトルの集合 (4) 負でない整数の全体 A. (1)～(3)は 加法群の4公理を満たし加法群をなす. (4)は #逆元 が存在しないので加法群でない.

#群論の初歩 44 Q. 朝倉書店, 1988 堀田 「加群十話 ― 代数学入門(すうがくぶっくす)」 amazon.co.jp/dp/425411463X ↑ タイトルに「加群」とあるが #加法群(additive group)の事なのか？ A. その本は， 「#代数学 の中心は #環論 で， とくに "環上の #加群(module)" が重要」 という内容.

#群論の初歩 43 Q. 「#加群」という語は何に使われるか A. 加群(module) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… ・環上の加群(R-module) 　・アーベル群(abelian group) ・リー環上の加群(g-module) ・群上の加群(G-module) ・D加群 ・微分加群 #加法群(additive group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… .

#群論の初歩 42 Q. 「#加法群」を 「#加群」と呼んでいるケースはあるのか？ A. 下記の古い書籍では 加法群を「加群」と表記している。 1967年・朝倉書店「群論の基礎」 amazon.co.jp/dp/B000JA9AGG/ あまりよくない例であって， 加群とは呼ばず 加法群としたほうがよい。

#群論の初歩 41 #加法群 (英 additive group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… ・ 群演算を，ある意味で 加法と考えることのできる #群. ・通常は #アーベル群. ・ #二項演算 を 記号 + を使って書くのが一般的. ※乗法群 (multiplicative group) というのも存在する

#群論の初歩 40 Q. #加法群 の満たす4公理 A. 加法の定義された集合Gで 1 #結合法則 任意の3元につき (a+b)+c＝a+(b+c) 2 #零元 の存在 任意の元xにつき x+0＝0+x＝x なる0が存在 3 #逆元 の存在 各元aにつき a+(-a)＝(-a)+a＝0 なる-aが存在 4 #交換法則 任意の2元につき a+b＝b+a

#群論の初歩 39 Q. #加法群 とは. A. 「#アーベル群 の演算を 加法(＋)の形で表記したもの」を 一般に加法群と呼ぶ. 加法群の #単位元 を #零元 と呼び， 通常は 0 と書く. 加法群の元 a の #逆元 を -a と書く. a＋(-b) を a-b と書く. ※ "#加群" とは別物なので区別すること.

#群論の初歩 36 #アーベル群(abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2… ・ #可換群(commutative group). ・抽象代数学の各種概念で基礎となる 加法に関する群(#加法群)として しばしば生じる. ・任意のアーベル群を表記する際 しばしば加法的な記法(+)を使う.