#群論入門_置換群編 46 Q. #置換 の集合が #群 をなす事を示せ A. 置換どうしを #合成 すると サイズの同じ置換が生み出され 置換どうしの積という #二項演算 は #閉じている. 置換は #写像 なので #結合法則 を満たす. #恒等置換 は #単位元. #逆置換 は #逆元. ∴群の #公理 を満たす.

#群論入門_中心化群と類等式編 13 Q. #群 G の #中心 Z(G) は Gの #部分群 である事を示せ A. 前ツイまでの議論より Z(G)の #二項演算 は #閉じている. Z(G)の二項演算は #結合法則 を満たし #単位元 と #逆元 が存在. よってZ(G)は群の #公理 を満たし Gの部分集合だから Z(G)はGの部分群.

#群論入門_中心化群と類等式編 12 Q. #群 Gの #中心 Z(G)の任意の元は Z(G)内に #逆元 を持つ事を示せ A. Z(G)の元zは群Gの元で G内にz^{-1}が存在. Z(G)の定義より gz=zg 左からz^{-1}をかけ z^{-1}gz=z^{-1}zg=g 右からz^{-1}をかけて ∴z^{-1}g=gz^{-1} z^{-1}とgが可換 ∴z^{-1}∈Z(G)

#群論入門_剰余類編 70 Q. #群 G の元 g と Gの #部分群 H に対し， 元と群の積をとった形の表記 gH ＝ { gH | h∈H } を考える. #逆元 の集合 (gH)^{-1} を求めよ. A. (gH)^{-1} ＝{ z^{-1} | z ∈ gH } ＝{ (gh)^{-1} | h∈H } ＝{ h^{-1} g^{-1} | h∈H } ＝H^{-1} g^{-1} ＝H g^{-1}

#群論入門_剰余類編 69 Q. #群 Gを G＝{g|g∈G} と表記する. #逆元 の集合 G^{-1}＝{g^{-1}|g∈G} を求めよ. A. 群Gの元gとその #逆元 g^{-1}は 1対1に対応するので {g^{-1}|g∈G} ＝{g|g∈G} ＝G ∴ G^{-1}＝G 群の全ての元の逆元をとると (g^{-1}≠gでも) 集合としてはもとの群と同じ.

#群論入門_剰余類編 49 Q. 左合同という #二項関係 が #同値律 の3定義のうち #対称律 を満たす事を示せ. A. (既に示してあるが再掲) #逆元 の存在に関する群の #公理 より ab^{-1} ∈ H　ならば (ab^{-1})^{-1} ∈ H　であり ba^{-1} ∈ H. よって a≡b (mod H)ならば b≡a (mod H).

#群論入門_正規部分群編 33 Q. #群 Gの2元x,yについて [x, y] ∈ G の #逆元 をG内で求め #交換子 で表せ A. ([x, y])^{-1} =(x^{-1}･y^{-1}･x･y)^{-1} 複数元の積の逆元は 各元の逆元の逆順の積なので =y^{-1}･x^{-1}･(y^{-1})^{-1}･(x^{-1})^{-1} =y^{-1}･x^{-1}･y･x =[y, x]

#巡回群とは 59 Q. #群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m} の #べき積 の全体は 群をなす事を示せ A. べき積同士の積はべき積で #二項演算 が #閉じている. どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK. #単位元 は(a_1)^0=e. 積の逆元の計算より べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積. ∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 52 群の #生成系(生成集合) generating set of a group ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・部分集合Sで， #生成 される #部分群 のすべての元が Sの有限個の元と それらの #逆元 の結合として表現できるもの. ・S 内にただ1つの元 x しかなければ， ‹S› を ‹x› と書く.

#巡回群とは 33 x∈#群 Gの時 Gの情報が芋づる式にわかる！ ▶群の #公理 より ①xの #逆元 x^{-1}もGに属する ②#二項演算 が #閉じている ので xの正の #べき x^2, x^3, …と xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する ▶#巡回部分群 の性質より ③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 27 Q. Hを 元aによって #生成 される Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする. Hが #群 である事を示せ. A. H の任意の2元に対し (a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで #二項演算 が #閉じている. #単位元 は a^0＝e. 任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在. よって H は群である.

#巡回群とは 21 Q. 整数全体の集合ℤを #巡回群 とみなす場合 その #生成元 は. A. a＝+1 または a＝-1 を生成元とし， #二項演算 として加法 #単位元 1 元 x の #逆元 として －x を考え， 演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し その全体の集合は { na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p61より: 『#頂点 が #元 に #対応 し， #線分 が群 #生成元 や その #逆元 を乗ずることに 対応するような， #有向線分 の網組織(#グラフ) による #群 の表示は #19世紀 の #数学者 #ケイリー により考案され #ケイリー図型 という.』

#代数系の初歩 26 Q. #擬群 とは. A. #準群 に #単位元 e の存在を課したもの. 除法と単位元の存在より， 任意の元が #逆元 を持つことになる. #擬群(loop) en.wikipedia.org/wiki/Quasigrou… ・別名「ループ」. ・ #結合法則 は課されない.

#代数系の初歩 24 Q. #準群 と #群 を比較せよ. A. 共通した性質: ・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ) 群の場合: ・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす. 準群の場合: ・単位元や結合法則は要請されない. ・逆元のかわりに「除法」が定義される.

#代数系の初歩 21 Q. マグマに #結合法則 を課さないまま #逆元 や #単位元 の存在を課したら どうなるか A. #二項演算 が #閉じている 集合: #マグマ ↓ マグマに「除法」演算の存在を課す: #準群 ↓ 準群に単位元の存在を課す: #擬群 ↓ 擬群に結合法則を課す: #群

#代数系の初歩 20 Q. #半群 を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 正の整数が全て出る 特殊なサイコロを考える. #単位元 がないので サイコロの目に0は無い. (動かない=1回休み，が不可能で立ち止まれない) #逆元 がないので 進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 19 Q. #モノイド を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 0と正の全整数が出るような 特殊なサイコロを考える. #単位元 を持つので サイコロの目に0がある. (0進む=動かない=1回休み) #逆元(負の目)が無いので 進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 18 Q. #群 を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 0を含む正負すべての整数が出るような 特殊なサイコロを考える. #単位元 を持つので サイコロの目に0がある. (0進む=動かない=1回休み) #逆元 を持つので +2進んだら -2で戻るなど後退(バック)も可能.

#代数系の初歩 17 Q. マグマから アーベル群までの5段階で 1つずつ条件を増やせ A. 　　#マグマ: 閉 　　　#半群: 閉 結 　#モノイド: 閉 結 単 　　　　#群: 閉 結 単 逆 #アーベル群: 閉 結 単 逆 換　 閉 #二項演算 が #閉じている 結 #結合法則 単 #単位元 逆 #逆元 換 #交換法則

#代数系の初歩 16 Q. マグマ 半群 モノイド 群 を順に定義 A. 集合が #内算法 を持てば #マグマ マグマに #結合法則 を課すと #半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ) 半群に #単位元 の存在を課すと #モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ) モノイドに #逆元 の存在を課すと #群

#代数系の初歩 15 Q. 「半群」の定義が どうしても記憶できない A. 1.#二項演算 が #閉じている 2.#結合法則 3.#単位元 4.#逆元 #群 はこの4条件を満たすが #半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。 群の「半分」の条件しか満たさないので "半群" なのです… と記憶できるかも?

#代数系の初歩 13 #半群(semigroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A… ・各元が #逆元 を持つとは限らない点と #単位元 も無いかもしれない点で #群 と異なる. ・台集合が有限集合である半群: 有限半群 (finite semigroup) ・台集合が無限集合である半群: 無限半群 (infinite semigroup)

#代数系の初歩 11 Q. #半群，#モノイド とは. A. #群 の #公理 のうち #結合法則 を満たすものが半群. #単位元 や #逆元 の存在は要請しない. 群の公理のうち 結合法則と， 単位元の存在を満たすものがモノイド. 逆元の存在は要請しない.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p61より: 『#頂点 が #元 に #対応 し， #線分 が群 #生成元 や その #逆元 を乗ずることに 対応するような， #有向線分 の網組織(#グラフ) による #群 の表示は #19世紀 の #数学者 #ケイリー により考案され #ケイリー図型 という.』

#代数系の初歩 9 Q. #代数学 において #マグマ とは. A. ある集合Mにおいて 「#閉じている 二項演算」(#内算法) が定義されていれば， Mをマグマと呼ぶ. (※ #ブルバキ が導入した呼び名) その #二項演算 は #結合法則 を満たす必要はなく， #単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#群論の初歩 90 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群) 全部思い出せますかな

#群論の初歩 85 英語名称のおさらい #群 group #公理 axiom #単位元 identity element #逆元 inverse element #結合法則 associative law #結合律 associative property, associativity #アーベル群 abelian group #可換群 commutative group

#群論の初歩 69 Q. X－{0} は Xから0という要素を除いた集合を表す. ① ℤ－{0} ② ℚ－{0} ③ ℝ－{0} ④ ℂ－{0} この4つの集合について #部分群 の関係を作れるか？ A. #二項演算 として #積 を考えると ②③④は #アーベル群. ①は #逆元 が無く #群 になれない. ∴ ②⊂③⊂④

#群論の初歩 62 Q. #群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが 1)∀a,b∈H⇒ab∈H 2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H の時 Hが群である事を示せ. A. 1)よりHの二項演算は #閉じている. Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす. 2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在. ∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 60 Q. #群 G の部分集合 H が Gの #部分群 となるために H が満たすべき2条件 A. (1) H の任意の2元 a, b に対し ab は H の元. (Gと同じ #二項演算 が 部分群の内部で #閉じている) (2) H の任意の元 a に対し その逆元a^{-1}は H の元. (部分群の内部で #逆元 の存在を保証)

#群論の初歩 58 Q. 整数全体 ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 自然数全体 ℕ＝{1, 2, 3, …} #二項演算 として和を考えると #部分群 の関係は有るか？ A. ℤ上で #単位元 は0. 任意の元に対し #逆元 が存在. ℤは #群. ℕには単位元も逆元も無く群でない. よってℕはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 52 Q. 3つの集合 GL( n, ℚ ) GL( n, ℝ ) GL( n, ℂ ) について，おのおの #群 を構成せよ A. 各々，#行列 の積について群である. 各々は積演算について閉じており 積演算が #結合法則 を満たす. #単位元 は #単位行列 であり #逆元 は #逆行列 である.

#群論の初歩 47 Q. n次 #正方行列 全体の集合Mは #行列 の積演算について #群 か? A. Mの任意の元Aに対し AE＝EA＝Aより n次 #単位行列 Eが 積演算の #単位元. しかし #零行列 Oは OA＝AO＝Oで, Oにいかなる元をかけても 単位元Eにならず Oには #逆元 が存在しないので Mは群でない.

#群論の初歩 46 Q. n 次 #正方行列 全体の集合 M から #群 を構成せよ. A. 演算として #行列 の和(加法)を考えれば #単位元 はO(n次の正方零行列). 行列Aの #逆元 は－A. 演算が閉じており #結合法則 を満たすので群. #交換法則 も成立するので #アーベル群. 加法の群なので #加法群.

#群論の初歩 45 Q. 各々，通常の加法について #加法群 であるか? (1) すべての整数 ℤ (2) すべての有理数 ℚ (3) あるベクトル空間における全ベクトルの集合 (4) 負でない整数の全体 A. (1)～(3)は 加法群の4公理を満たし加法群をなす. (4)は #逆元 が存在しないので加法群でない.

#群論の初歩 40 Q. #加法群 の満たす4公理 A. 加法の定義された集合Gで 1 #結合法則 任意の3元につき (a+b)+c＝a+(b+c) 2 #零元 の存在 任意の元xにつき x+0＝0+x＝x なる0が存在 3 #逆元 の存在 各元aにつき a+(-a)＝(-a)+a＝0 なる-aが存在 4 #交換法則 任意の2元につき a+b＝b+a

#群論の初歩 39 Q. #加法群 とは. A. 「#アーベル群 の演算を 加法(＋)の形で表記したもの」を 一般に加法群と呼ぶ. 加法群の #単位元 を #零元 と呼び， 通常は 0 と書く. 加法群の元 a の #逆元 を -a と書く. a＋(-b) を a-b と書く. ※ "#加群" とは別物なので区別すること.

#群論の初歩 37 Q. 0を除く有理数の集合 ℚ^* から #アーベル群 G を構成せよ A. 演算として乗法(掛け算)を用いる. #単位元 として 1 を用いる. 元 x の #逆元 は 1/x . 演算の #結合法則 単位元の存在 逆元の存在 を満たすのでGは #群. また #交換法則 を満たすので Gはアーベル群.

#群論の初歩 35 Q. #アーベル群 とは A. #群 Gは ・ #結合法則 ・ #単位元 の存在 ・ #逆元 の存在 という群の3公理を満たすが それに加え4つ目の条件として ・ #交換法則 を満たす場合， Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.