最近無粋なブーイングするひと増えてますし 「多治見はヒールが声援もらう不思議空間っていう」世界観を楽しめる視野の広い人増えれば良いのにって思う #べき x.com/kicks_1237/sta…

#巡回群とは 72 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#巡回群 ･#べき ･#生成元 の位数 ･巡回群の #位数 ･例: #原始n乗根 ･巡回群の #部分群 ▶#群 の1つの元… ･…が #生成 する #巡回部分群 ･…の位数 ▶部分集合が #生成系 となる部分群 ･#べき積 全部思い出せますかな

#巡回群とは 65 Q. ①#群論 で #群 を生成するための #生成元 や #生成系. ②#線形代数 で #ベクトル空間 の #基底. ↑ 似てる? A. ①群の任意の元は 生成元の #べき または 生成系の #べき積 で 表せる. ②ベクトル空間の 任意の元(#ベクトル)は 基底ベクトルの #線形結合 で表せる.

#巡回群とは 58 Q. #べき積 どうしの積は べき積になるだろうか. #群 Gの部分集合 M={a,b}を #生成系 とし べき積z=(a^2)bに対し zとzの積は? A. Gが一般的な群の場合 z^2＝{(a^2)b}^2＝(a^2)b(a^2)b これは「Mから重複を許して 元の #べき 同士をかけ合わせた形」なので べき積である.

#巡回群とは 53 #群 Gの1元aから #生成 される (すなわちaの #べき を要素に持つ) Gの #部分群 ‹a› を 「aが生成するGの #巡回部分群」 と呼び #巡回群 である. ↑ これをaのかわりに Gの部分集合Mで言い換えようとしたとき 「巡回部分群」「巡回群」の所で かわりの用語が無くて困る.

#巡回群とは 49 Q. ここまでで #群 Gの「1つの元」aから #生成 される #巡回群 ‹a› を考えてきた. では 群Gの「複数の元」から生成されるのは? A. 群Gの部分集合 M＝{ a_1, a_2, …, a_m } に対し， これらの要素の #べき を 組み合わせた積(#べき積)の全体がなす群を考える.

#巡回群とは 44 前ツイの解説: 「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは aのある #べき で生成される巡回群」 を既に示してある. ここで 「Hの #位数 mを固定すると Hの #生成元 a^i＝a^sも そこから一意に特定できる」 という事を言えれば， 特定の位数mの部分群Hが 一意だと示せる.

#巡回群とは 42 前ツイの解説: 「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは必ず巡回群.」 を示すには… 「Hの全ての元が ある元a^sの #べき として書ける」 つまりHに #生成元 がある事を示せばよい. 割り算の商と余りの議論で 余り=0を示し どの元も生成元a^sのべき乗である事を導く.

#巡回群とは 34 Q. #加法群 G の ある1つの元 a について a が #生成 する #巡回部分群 は. A. 加法群の場合，演算の #べき は a^1＝a a^2＝a＋a ＝ 2a a^m＝a＋a＋…＋a ＝ ma a^{-m}＝ －ma と表せて H ＝ ‹ a › ＝ { ma | m∈ℤ } Hは (一般に)#無限群 かつ #巡回群 かつ Gの #部分群.

#巡回群とは 33 x∈#群 Gの時 Gの情報が芋づる式にわかる！ ▶群の #公理 より ①xの #逆元 x^{-1}もGに属する ②#二項演算 が #閉じている ので xの正の #べき x^2, x^3, …と xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する ▶#巡回部分群 の性質より ③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

ウェブアクセシビリティの「べき/べからず」ポスター (UK Home Office) 日本語版 accessible-usable.net/2019/07/entry_… (Accessibile & Usable) #CA #クリアカ #クリエイターズアカデミー #英国内務省 #ウェブアクセシビリティ #べき #べからず #日本語版 #ハロトレ #求職者支援訓練 #IT #デザイン #web 2019/07/20

#巡回群とは 28 Q. H を 元 a によって #生成 される Gの #巡回部分群 とする. H が G の #部分群 である事を示せ. A. 前ツイよりHは #群. また前提より a∈G で 群Gの #二項演算 は #閉じている ので aの任意の #べき はGに属する. ∴Hの全ての元がGに属し HはGの部分集合で HはGの部分群.

#巡回群とは 27 Q. Hを 元aによって #生成 される Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする. Hが #群 である事を示せ. A. H の任意の2元に対し (a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで #二項演算 が #閉じている. #単位元 は a^0＝e. 任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在. よって H は群である.

#巡回群とは 26 Q. #巡回部分群 とは A. #群 G の1つの元 a について その「正と負の全ての #べき の集合」を考え H ＝{ a^n | n∈ℤ } ＝{ …, a^{-2}, a^{-1}, a^0＝e, a^1＝a, a^2, … } ＝ ‹ a › と書く. H を 「元 a によって #生成 される G の巡回部分群」と呼ぶ.

#巡回群とは 21 Q. 整数全体の集合ℤを #巡回群 とみなす場合 その #生成元 は. A. a＝+1 または a＝-1 を生成元とし， #二項演算 として加法 #単位元 1 元 x の #逆元 として －x を考え， 演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し その全体の集合は { na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p62-63より: 『全ての #元 が #生成元 a の #べき として表される #無限巡回群 の #ケイリー図型. 等間隔に区切られた直線を それ自身に移す #合同移動 を考えよう. … | ●　a^{-2} | ●　a^{-1} | ●　Ｉ | ●　a | ●　a^2 | … 』

#巡回群とは 8 Q. #単位群(自明な群)は #巡回群 であり， その #生成元 の #位数 が 1である事を示せ. A. 単位群(自明群，trivial group)は ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}. 全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群. e^n＝eとなる最小の自然数は n＝1なので， eの位数は1.

#巡回群とは 6 Q. #巡回群 は #アーベル群 である事を示せ. A. #群 Gが aを #生成元 とする巡回群 ‹ a › ならば Gの任意の2元x,yは x＝a^m y＝a^n という #べき の形である.(m,n∈ℤ) xy＝(a^m)(a^n)＝a^{m+n} yx＝(a^n)(a^m)＝a^{n+m}＝a^{m+n}＝xy なので，#交換法則 が成り立つ.

#巡回群とは 4 #巡回群(cyclic group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1… ・ただ1つの元で生成される #群. #生成 とは，群のどの元も #生成元 の整数 #べき で書けるという事. ・単項生成群(monogenous group)とも. ・生成元(generator) のことを 原始元(primitive) とも呼ぶ.

#巡回群とは 3 Q. #巡回群 とは. A. #群 G の ある1つの元を a として， G のすべての元が a の #べき である( a^n に等しい)とき， G ＝ ‹ a › と書き G は「a を #生成元 とする巡回群」であるという.

#巡回群とは 2 Q. #群 のある1つの元 a の #べき とは A. a の n 個の積を a^n ＝ aaa…a ※n個 と書く. a^{-1} の n 個の積を a^{-n} ＝ (a^{-1}) (a^{-1}) (a^{-1}) … (a^{-1}) ※n個 と書く. a^0 ＝ e (#単位元)と定義. 任意の整数 n に対して定義される a^n を 元 a のべきと呼ぶ.

#巡回群とは 1 ↑ このタグでは #群論の初歩 の内容を前提に 下記を学びますぞ！ ▶#巡回群 ･#べき ･#生成元 の位数 ･巡回群の #位数 ･例: #原始n乗根 ･巡回群の #部分群 ▶#群 の1つの元… ･…が #生成 する #巡回部分群 ･…の位数 ▶部分集合が #生成系 となる部分群 ･#べき積

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p62-63より: 『全ての #元 が #生成元 a の #べき として表される #無限巡回群 の #ケイリー図型. 等間隔に区切られた直線を それ自身に移す #合同移動 を考えよう. … | ●　a^{-2} | ●　a^{-1} | ●　Ｉ | ●　a | ●　a^2 | … 』