#群論入門_剰余類編 91 Q. #群 Gの #位数 が素数 p であれば Gは #巡回群 である事を示せ. A. |G| ≧ 2より #単位元 ではない元 g∈G が存在し 前ツイより g の位数は G の位数の約数だから 1かp. gは単位元ではないので位数pであり g^p＝eかつ g^x ∈ G (0≦x≦p-1) よってG＝‹g›.

#群論入門_剰余類編 90 Q. #群 Gの任意の元 a に対し a の #位数 が G の位数の約数である事を示せ. A. 元 a∈G が #生成 する #巡回部分群 H ＝ ‹a› は G の #部分群. a の位数は #巡回群 H の位数 |H| ＝ |a|. #ラグランジュの定理 より |H| は |G|の約数. ∴ |a| は |G|の約数.

#群論入門_剰余類編 89 Q. #群 G とその任意の元 a に対し a^|G| を求めよ. A. 元 a の #位数 は a が #生成 する #巡回部分群 H＝‹a› の 元の個数であり H は G の #部分群. また元 a の位数は a^m＝e をみたす最小の自然数mでもあるので， a^|H|＝e. 両辺を |G:H| 乗すると a^|G|＝e.

#群論入門_剰余類編 86 Q. 部分群の #指数 を 剰余類や #類別 を持ち出さずに定義してみよ. A. #群 G の #部分群 H について， 「H の #位数 を何倍すれば G の位数になるか？」 という 倍数に関する情報が H の指数.

#群論入門_剰余類編 85 Q. #有限群 G が #部分群 H をもつ時， H の #位数 および #指数 がみたすべき条件とは. A. #ラグランジュの定理 より (Gの位数)＝(Hの指数)×(Hの位数) なので， 「Hの位数も Hの指数も， Gの位数の約数でなければならない」 という制約条件がある.

#群論入門_剰余類編 84 #部分群 の #指数(index of a subgroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8… HのGにおける指数: |G : H| (＝|G|/|H|) [G : H] (G:H) などと表記される. ・『Gを埋め尽くすHの「コピー」(#剰余類) の個数』 ・NがGの #正規部分群 なら |G : N|＝#商群(#剰余群)G/Nの #位数

#群論入門_剰余類編 81 Q. #群論 における #ラグランジュの定理 とは. A. #有限群 G が #部分群 H を持ち 群 G における部分群 H の #指数 を |G:H| とする時， 群 G の #位数 が 部分群 H の指数および位数を使って |G| ＝ |G:H| |H| と表せることをいう.

＜#代数学の参考書＞ 「数Ⅲ方式　ガロアの理論」 (現代数学社1976矢ヶ部) kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-97847… 16章p276より: 『結局，置換群は 次のように #分類 された. #置換群 ├#非推移群 └#推移群 　├#原始群 　└#非原始群 #ルフィニ はこの分類に立ち #5次 の置換群の #位数 を考察.』

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p176より引用: 『#全て の #部分群 が #正規 であるような #最小 の #非可換群 は， #ハミルトン の #四元数群 と呼ばれる。 また どんな #真部分群 も 正規でないような 最小の非可換群は， #位数 60の #20面体群 である。』

#群論入門_正規部分群編 39 2つの #交換子 の積が 交換子とならない 最小位数の #有限群 は #位数 96. その証明論文: Commutators and Commutator Subgroups ROBERT M. GURALNICK (1982) core.ac.uk/download/pdf/8… "Here it is shown that the smallest groups G ... are of order 96. "

#群論入門_正規部分群編 37 交換子全体の集合が 積(#二項演算)について閉じていない件 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… 引用： 「#交換子 2つ以上の積は 必ずしも交換子とは限らない. 2つの交換子の積が交換子とならない 最小 #位数 の #有限群 は， 位数 96 であることが知られている.」

#巡回群とは 72 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#巡回群 ･#べき ･#生成元 の位数 ･巡回群の #位数 ･例: #原始n乗根 ･巡回群の #部分群 ▶#群 の1つの元… ･…が #生成 する #巡回部分群 ･…の位数 ▶部分集合が #生成系 となる部分群 ･#べき積 全部思い出せますかな

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p176より引用: 『#全て の #部分群 が #正規 であるような #最小 の #非可換群 は， #ハミルトン の #四元数群 と呼ばれる。 また どんな #真部分群 も 正規でないような 最小の非可換群は， #位数 60の #20面体群 である。』

#巡回群とは 69 英語名称のおさらい #巡回群 cyclic group 単項生成群 monogenous group #生成元 generator 原始元 primitive #巡回部分群 cyclic subgroup #単位群(自明群) trivial group #位数 order

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p73より: 『#正多角形 の #合同移動 の #群 は #2面体群(dihedral groups) という. dihedralという言葉は 「2つの #平面」に #起因 する. 2面体群の 一般的な #記号 として Dを用いる. #正三角形 の #位数 6 の2面体群はD_3.』

#巡回群とは 48 以前 「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は #単位群{e}と自分以外に部分群を持たない. これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った. 前ツイによると 「真部分群を持たない群は 素数★ #位数 の #巡回群 のみ」. 素数つながりである.

#巡回群とは 47 前ツイの解説: #群 G内に #単位元 eではない元aがあれば， その元a(≠e)を使って 必ず #巡回部分群 ‹a› (≤ G) を作れる. これはGの部分群であり， e, a ∈ ‹a› より ‹a› の位数は2以上. つまり Gの #位数 が2以上なら， Gは「位数が2以上の巡回部分群」を必ず持つ.

#巡回群とは 46 Q. #群 Gが |G|≧2で #真部分群 を持たなければ Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ. A. #単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが 題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G. 前ツイより |G|が合成数nなら nの約数mにより位数n/mの部分群があるので |G|は素数.

#巡回群とは 45 ここで得られた結果は 「#巡回群 Gには， |G|の任意の約数mに対し #位数 がmであるような Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」 というもの. 群論の勉強を進めると，この先 「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」 (#ラグランジュの定理) というのを学ぶのでお楽しみに.

#巡回群とは 44 前ツイの解説: 「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは aのある #べき で生成される巡回群」 を既に示してある. ここで 「Hの #位数 mを固定すると Hの #生成元 a^i＝a^sも そこから一意に特定できる」 という事を言えれば， 特定の位数mの部分群Hが 一意だと示せる.

#巡回群とは 43 Q. #位数 n の #巡回群 ‹a›と nの約数mに対し 位数mの #部分群 が ただ1つ存在する事を示せ A. 位数mの任意の部分群をHとし a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおけば 前ツイまでよりH=‹a^s›. 巡回群の位数の性質より (a^s)^m＝e＝a^n ∴s＝n/m Hの #生成元 は唯一a^(n/m).

#巡回群とは 40 Q. #群 Gの元aの #位数 がnの時 a^m(m∈ℕ)の位数は? A. mとnの最大公約数がGCD(m,n)=d M,Nは互いに素な自然数で m=Md n=Ndの時 a^n=a^(Nd)=e ここで a^m=a^(Md)をN乗すれば { a^(Md) }^N =a^(MdN) ={a^(Nd)}^M =e より |a^m|=N=n/d=n/GCD(m,n). ※最小性に追加証明が必要.

#巡回群とは 39 Q. #群 G の元 a の #位数 が n で m は n の約数とする. このとき n/m ＝ d は整数である. a^d の位数は? A. 「その元を何乗すると #単位元 になるか」 という最小の値が位数である点に注意. a^n＝e のとき { a^(n/m) }^m ＝ a^n ＝ e なので ∴ | a^(n/m) | ＝ m.

#巡回群とは 38 Q. #群 Gの元aの #位数 がnで mはnの約数とする. a^mの位数は? A. a^i=e(#単位元)となる自然数iのうち 最小のものがnであり a^n=e. n=md (m,dは自然数)とおくと a^(md)=e. ここで md=knとなる最小の自然数kはk＝1より (a^m)^d=a^n=eとなる自然数dは d=n/m ∴|a^m|＝n/m

#巡回群とは 37 Q. ここまで出てきた「#位数」の定義を整理 ①#有限群 Gの位数 ②#巡回群 ‹a› の元 x の位数 ③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数 A. ① 群Gに属する異なる元の個数. ② x^n=eとなる最小の自然数n. ③ aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36 Q. 「#巡回群 の元の #位数」は定義済. では 巡回群とは限らない一般の #群 Gの 元aの位数とは. A. aが #生成 する #巡回部分群 ‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …} が位数nの #有限群 なら 元aの位数はnとする. →巡回群でない一般の群も 元の位数を定義可能

#巡回群とは 35 ①#巡回群‹a›の #生成元 aに対し a^i=eとなる最小の自然数iを 生成元aの #位数 と呼ぶ. ②任意の #群 Gの 任意の元xは， xを生成元とする #巡回部分群‹x›を生み出せて， ①より‹x›は位数をもつ. ↓ 任意の群Gの 任意の元xは それぞれ位数の情報を持てるのではないか?

#巡回群とは 20 Q. N乗して1になる複素数を z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N) とおく. 集合 S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 } から #巡回群 を作れ. A. S上の #二項演算 として 乗法を導入した #代数系 をGとおくと， G は z(N, 1) を #生成元 とする #位数 Nの有限巡回群.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p73より: 『#正多角形 の #合同移動 の #群 は #2面体群(dihedral groups) という. dihedralという言葉は 「2つの #平面」に #起因 する. 2面体群の 一般的な #記号 として Dを用いる. #正三角形 の #位数 6 の2面体群はD_3.』

#巡回群とは 19 Q. 虚数単位 i を #生成元 として #巡回群 G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 } を作る. (1) Gにおける -1 の #位数 は？ (2) Gにおける 1 の位数は？ A. (1) (-1)^n＝e＝1となる最小の自然数nは2なので ord(-1)＝2. (2) 1^n＝e＝1となる最小の自然数nは1なので ord(1)＝1.

#巡回群とは 18 Q. 虚数単位 i を #生成元 として #巡回群 G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 } を作る. (1)#群 G の #位数 は？ (2) i の位数は？ A. (1) #有限群 で要素数が4なので |G|＝4 (2) iはGの生成元だから ord(i)＝|G|＝4. またi^n＝e＝1となる最小の自然数nは4なので やはりord(i)＝4.

#巡回群とは 17 Q. 次の数を #生成元 として 乗法に基づいた #巡回群 を作り その #位数 を求めよ (1) 虚数単位 i (2) -1 A. (1) ‹ i › ＝ { i, i^2＝-1, i^3＝-i, i^4＝1 } ＝{ i, -1, -i, 1 } 位数は4. (2) ‹ -1 › ＝ { -1, (-1)^2＝1 } ＝{ -1, 1 } 位数は2.

#巡回群とは 15 #群 の #位数(order) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ・群の位数はその濃度，すなわち， その集合に入っている元の個数. ord(G) や |G| で表記. ・群の元 a の位数は a^m = e であるような最小の正の整数m. ord(a) や |a| で表記.

#巡回群とは 14 Q. (1) #群 G の位数 (2) #巡回群 G の #生成元 a の位数 ↑ どちらも #位数 と呼ぶので 紛らわしくないか？ A. 確かに同じ用語であるが， 群 G が巡回群である場合 (1)の「群の位数」と (2)の「元の位数」で 値が一致するため，紛らわしくはない.

#巡回群とは 13 Q. #巡回群 G＝‹a›において nはa^n=eをみたす最小の自然数とする. #群 Gの #位数 がnである事を示せ. A. n個の元 a^i (0≦i＜n)の集合をSとおく. 前ツイの議論より Sの元は全て異なる. m≧nの時 m=qn＋r (0≦r＜n)とおくと a^m =a^{qn+r} =((a^n)^q)・(a^r) =a^r ∈ S

#巡回群とは 11 Q. 前ツイの「r-s=0」がよくわからない A. a^0＝eより a^m＝eを満たす整数mにはm=0がある. しかし0という値は #群 の #位数 や元の位数としての情報を持っていない. だから位数nは0を除外しn＞0の範囲で探す. そしてn＞m≧0なる範囲でのa^m＝eの解は m＝0のみというわけ.

#巡回群とは 9 ①「#群 G の 位数 |G| 」 ②「#巡回群 ‹a› の #生成元 a の位数」 という 2種類の「#位数」の定義を学んだ. ①と②の間に 関連はあるのだろうか？ 実は，巡回群が #有限群 の場合 ②の値が n ならば ①の値も n である. 次ツイからその事を証明してゆこう.

#群論の知識 #シローの定理 (Sylow theorems) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7… その1: 「#有限群 G の #位数 が 素因数 p を重複度 n で約数として持てば， 位数 p^n の G のシロー p-部分群が存在する.」 これは #コーシーの定理 よりも強い.

#巡回群とは 8 Q. #単位群(自明な群)は #巡回群 であり， その #生成元 の #位数 が 1である事を示せ. A. 単位群(自明群，trivial group)は ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}. 全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群. e^n＝eとなる最小の自然数は n＝1なので， eの位数は1.