#群論の知識 Feit–Thompson theorem フェイト・トンプソンの定理 en.wikipedia.org/wiki/Feit%E2%8… ・odd order theorem (#奇数位数定理) ・every finite group of odd order is solvable. 全ての奇数 #位数 の #有限群 は #可解 である. ・1962年と1963年にFeitとThompsonの共著で発表

#群論の知識 フェイト・トンプソンの定理 (Feit–Thompson theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF… 呼び名: ・「ファイト・トンプソンの定理」とも. ・別名「#奇数位数定理」 内容: ・全ての奇数 #位数 の #有限群 は #可解群. ・有限群が #単純群 ならば，それは素数位数の #巡回群 か偶数位数.

#群論の知識 「#位数 59以下の #群 は #可解 である。」 ↑ これを確かめるために， 位数が1から59までの 全ての場合について どうして可解と言えるのか 一覧表を作って網羅している記事がある。 「群が可解でないための位数の条件を炙り出す」 peng225.hatenablog.com/entry/2017/09/… .

#群論の知識 #バーンサイドの定理 (Burnside theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… ・「p, q は素数， a, b は 0 以上の整数として， #位数 が (p^a)･(q^b) である #有限群 G は #可解群 である」 ・1904年に #バーンサイド が 有限群の #表現論 を使って証明.

#群論の知識 バーンサイド問題 (Burnside problem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… 1902年：どの元も有限 #位数 を持つような #有限生成 群は，必ず #有限群 か? ↓ 1964年：反例 ↓ その後，条件を変えて研究が続く. 下記PDFの13ページ参照 jstage.jst.go.jp/article/sugaku… 「有限群論の成果と課題」

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p176より引用: 『#全て の #部分群 が #正規 であるような #最小 の #非可換群 は， #ハミルトン の #四元数群 と呼ばれる。 また どんな #真部分群 も 正規でないような 最小の非可換群は， #位数 60の #20面体群 である。』

#群論の知識 クラインの #四元群 (Klein four-group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… 「#巡回群 でない， #位数 が最小の #群」であり V または V_4 ＝{ e, a, b, c } などと表記される. ※ハミルトンの #四元数 を #生成系 とする #四元数群 とは別物.

#群論の知識 #四元数群(しげんすうぐん, quaternion group) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80… ハミルトンの #四元数 i, j, k で #生成 される #位数 8 の非可換 #群. Q_8 ＝ ‹ i, j, k | i^2 ＝ j^2 ＝ k^2 ＝ ijk ＝－1 › ＝{ ±1, ±i, ±j, ±k }

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p73より: 『#正多角形 の #合同移動 の #群 は #2面体群(dihedral groups) という. dihedralという言葉は 「2つの #平面」に #起因 する. 2面体群の 一般的な #記号 として Dを用いる. #正三角形 の #位数 6 の2面体群はD_3.』

#群論の知識 #シローの定理 (Sylow theorems) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7… その1: 「#有限群 G の #位数 が 素因数 p を重複度 n で約数として持てば， 位数 p^n の G のシロー p-部分群が存在する.」 これは #コーシーの定理 よりも強い.

#群論の知識 Q. 「シロー p-部分群」とは. A. #群 G の #部分群 が 下記の条件を満たせば 「シロー p-部分群」 (Sylow p-subgroup). ① p-群である. (任意の元の #位数 が素数 p のべき) ② G の他のどんな p-部分群 の #真部分群 でもない. つまり「G の極大 p-部分群」のこと.

#群論の知識 (#群論 の) #コーシーの定理 Cauchy's theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3… 「#有限群 G の #位数 |G| が 素数 p の倍数であれば， G は #位数 p の元を含む.」 1845年に #コーシー が証明.

#群論の知識 ▶p-群 (p-group) 任意の元の #位数 が「素数 p のべき」である. ▶基本アーベル p-群 (elementary abelian p-group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA… ・任意の非自明な元の位数が「素数 p」 である. ・基本アーベル群，初等アーベル群とも呼ぶ.

#群論の知識 p-群 (p-group) ja.wikipedia.org/wiki/P-%E7%BE%… ・p-準素群(p-primary group)とも. ・任意の元の #位数 が 素数 p のべきになっている. ・ #群 の構造を理解するための 基本的な道具の1つ. ・「ほとんどすべての #有限群 が 2-群である」 という都市伝説的な予想がある.