#群論の知識 Feit–Thompson theorem フェイト・トンプソンの定理 en.wikipedia.org/wiki/Feit%E2%8… ・odd order theorem (#奇数位数定理) ・every finite group of odd order is solvable. 全ての奇数 #位数 の #有限群 は #可解 である. ・1962年と1963年にFeitとThompsonの共著で発表

#群論入門_中心化群と類等式編 49 #群 の #位数 を 自然数の和に分解する方法… ①各項の値がみな等しく 全項で共通の1つの #部分群 を使う場合は #ラグランジュの定理 であり #剰余類 への分解. ②各項の値が異なり 各項で異なる部分群を使う場合は #類等式 であり #共役類 による #類別.

#群論入門_中心化群と類等式編 48 #類等式 (class equation) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1… ① #群 の #位数 |G| の約数 についての情報 ② 群Gの #中心 や #共役類 の元の数 についての情報 この２つは， 類等式によって密接に結びついている ということになる.

#群論入門_中心化群と類等式編 47 Q. #類等式 |G| ＝ Σ_i |G : C(a_i)| 「|G| のある約数 |G : C(a_i)| 達の和が |G| に等しい」 ↑ Gの #位数 の 「約数の総和」ということ？ A. 総和といった場合は 全ての約数の和になってしまうが， 類等式は「ある約数たちの特定の組み合わせの和」.

#群論入門_中心化群と類等式編 43 #共役類 と #中心化群 で #群 の #位数 を表すための話の流れ② ・1つの共役類 K_i の 要素数 |K_i| を求めるには… ・K_i 内のある #代表元 a_i をとると K_i＝(a_i)^Gと書ける ・中心化群C( a_i )で Gを #左分解 した時の #指数 |G : C(a_i)|＝|K_i|

#群論の知識 フェイト・トンプソンの定理 (Feit–Thompson theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF… 呼び名: ・「ファイト・トンプソンの定理」とも. ・別名「#奇数位数定理」 内容: ・全ての奇数 #位数 の #有限群 は #可解群. ・有限群が #単純群 ならば，それは素数位数の #巡回群 か偶数位数.

#群論入門_中心化群と類等式編 42 #共役類 と #中心化群 で #群 の #位数 を表すための話の流れ① ・共役類は群Gの #類別 を与える. 共役類の総数を #類数 という. ・類別の性質より，Gの位数は 個々の共役類 K_i 内の要素数の和 |G|＝Σ_i |K_i| ・では，1つの共役類 K_i 内の要素数は?

#群論入門_中心化群と類等式編 39 #剰余類 の所で， #群 Gの #位数 |G|を分解すると… ①#部分群 の位数と #指数 の積で表せる. (#ラグランジュの定理) という事を学んだ. 実はさらに|G|は… ②#共役類 の要素数の和で表せる. ③#中心化群 の指数の和で表せる. という 別の分解方法がある.

#群論の知識 「#位数 59以下の #群 は #可解 である。」 ↑ これを確かめるために， 位数が1から59までの 全ての場合について どうして可解と言えるのか 一覧表を作って網羅している記事がある。 「群が可解でないための位数の条件を炙り出す」 peng225.hatenablog.com/entry/2017/09/… .

#群論入門_中心化群と類等式編 30 ここまでで 「#群 の #中心」の定義と その意味を考える事ができた. ここからは 中心を発展させた概念として 「#中心化群」というものを考えてみよう. 中心化群を使うと， 群の #位数 を調べる際 #ラグランジュの定理 よりも さらに多くの情報を得られる.

#群論の知識 #バーンサイドの定理 (Burnside theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… ・「p, q は素数， a, b は 0 以上の整数として， #位数 が (p^a)･(q^b) である #有限群 G は #可解群 である」 ・1904年に #バーンサイド が 有限群の #表現論 を使って証明.

#群論の知識 バーンサイド問題 (Burnside problem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… 1902年：どの元も有限 #位数 を持つような #有限生成 群は，必ず #有限群 か? ↓ 1964年：反例 ↓ その後，条件を変えて研究が続く. 下記PDFの13ページ参照 jstage.jst.go.jp/article/sugaku… 「有限群論の成果と課題」

#群論入門_剰余類編 93 「群の発見」(岩波書店2001) p24より引用: 『#ラグランジュの定理 は #群 Gと集合Gの違いを明白に示していて， #群論 の第1ページに飾られるべき定理である。 #位数 15 の群Gの元 a の位数が 7 になることはない。 1, 3, 5, 15 の4つだけ可能なのである。』

#群論入門_剰余類編 91 Q. #群 Gの #位数 が素数 p であれば Gは #巡回群 である事を示せ. A. |G| ≧ 2より #単位元 ではない元 g∈G が存在し 前ツイより g の位数は G の位数の約数だから 1かp. gは単位元ではないので位数pであり g^p＝eかつ g^x ∈ G (0≦x≦p-1) よってG＝‹g›.

#群論入門_剰余類編 90 Q. #群 Gの任意の元 a に対し a の #位数 が G の位数の約数である事を示せ. A. 元 a∈G が #生成 する #巡回部分群 H ＝ ‹a› は G の #部分群. a の位数は #巡回群 H の位数 |H| ＝ |a|. #ラグランジュの定理 より |H| は |G|の約数. ∴ |a| は |G|の約数.

#群論入門_剰余類編 89 Q. #群 G とその任意の元 a に対し a^|G| を求めよ. A. 元 a の #位数 は a が #生成 する #巡回部分群 H＝‹a› の 元の個数であり H は G の #部分群. また元 a の位数は a^m＝e をみたす最小の自然数mでもあるので， a^|H|＝e. 両辺を |G:H| 乗すると a^|G|＝e.

#群論入門_剰余類編 86 Q. 部分群の #指数 を 剰余類や #類別 を持ち出さずに定義してみよ. A. #群 G の #部分群 H について， 「H の #位数 を何倍すれば G の位数になるか？」 という 倍数に関する情報が H の指数.

#群論入門_剰余類編 85 Q. #有限群 G が #部分群 H をもつ時， H の #位数 および #指数 がみたすべき条件とは. A. #ラグランジュの定理 より (Gの位数)＝(Hの指数)×(Hの位数) なので， 「Hの位数も Hの指数も， Gの位数の約数でなければならない」 という制約条件がある.

#群論入門_剰余類編 84 #部分群 の #指数(index of a subgroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8… HのGにおける指数: |G : H| (＝|G|/|H|) [G : H] (G:H) などと表記される. ・『Gを埋め尽くすHの「コピー」(#剰余類) の個数』 ・NがGの #正規部分群 なら |G : N|＝#商群(#剰余群)G/Nの #位数

#群論入門_剰余類編 81 Q. #群論 における #ラグランジュの定理 とは. A. #有限群 G が #部分群 H を持ち 群 G における部分群 H の #指数 を |G:H| とする時， 群 G の #位数 が 部分群 H の指数および位数を使って |G| ＝ |G:H| |H| と表せることをいう.

＜#代数学の参考書＞ 「数Ⅲ方式　ガロアの理論」 (現代数学社1976矢ヶ部) kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-97847… 16章p276より: 『結局，置換群は 次のように #分類 された. #置換群 ├#非推移群 └#推移群 　├#原始群 　└#非原始群 #ルフィニ はこの分類に立ち #5次 の置換群の #位数 を考察.』

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p176より引用: 『#全て の #部分群 が #正規 であるような #最小 の #非可換群 は， #ハミルトン の #四元数群 と呼ばれる。 また どんな #真部分群 も 正規でないような 最小の非可換群は， #位数 60の #20面体群 である。』

#群論入門_正規部分群編 39 2つの #交換子 の積が 交換子とならない 最小位数の #有限群 は #位数 96. その証明論文: Commutators and Commutator Subgroups ROBERT M. GURALNICK (1982) core.ac.uk/download/pdf/8… "Here it is shown that the smallest groups G ... are of order 96. "

#群論入門_正規部分群編 37 交換子全体の集合が 積(#二項演算)について閉じていない件 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… 引用： 「#交換子 2つ以上の積は 必ずしも交換子とは限らない. 2つの交換子の積が交換子とならない 最小 #位数 の #有限群 は， 位数 96 であることが知られている.」

#巡回群とは 72 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#巡回群 ･#べき ･#生成元 の位数 ･巡回群の #位数 ･例: #原始n乗根 ･巡回群の #部分群 ▶#群 の1つの元… ･…が #生成 する #巡回部分群 ･…の位数 ▶部分集合が #生成系 となる部分群 ･#べき積 全部思い出せますかな

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p176より引用: 『#全て の #部分群 が #正規 であるような #最小 の #非可換群 は， #ハミルトン の #四元数群 と呼ばれる。 また どんな #真部分群 も 正規でないような 最小の非可換群は， #位数 60の #20面体群 である。』

#巡回群とは 69 英語名称のおさらい #巡回群 cyclic group 単項生成群 monogenous group #生成元 generator 原始元 primitive #巡回部分群 cyclic subgroup #単位群(自明群) trivial group #位数 order

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p73より: 『#正多角形 の #合同移動 の #群 は #2面体群(dihedral groups) という. dihedralという言葉は 「2つの #平面」に #起因 する. 2面体群の 一般的な #記号 として Dを用いる. #正三角形 の #位数 6 の2面体群はD_3.』

#巡回群とは 48 以前 「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は #単位群{e}と自分以外に部分群を持たない. これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った. 前ツイによると 「真部分群を持たない群は 素数★ #位数 の #巡回群 のみ」. 素数つながりである.

#巡回群とは 47 前ツイの解説: #群 G内に #単位元 eではない元aがあれば， その元a(≠e)を使って 必ず #巡回部分群 ‹a› (≤ G) を作れる. これはGの部分群であり， e, a ∈ ‹a› より ‹a› の位数は2以上. つまり Gの #位数 が2以上なら， Gは「位数が2以上の巡回部分群」を必ず持つ.

#巡回群とは 46 Q. #群 Gが |G|≧2で #真部分群 を持たなければ Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ. A. #単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが 題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G. 前ツイより |G|が合成数nなら nの約数mにより位数n/mの部分群があるので |G|は素数.

#巡回群とは 45 ここで得られた結果は 「#巡回群 Gには， |G|の任意の約数mに対し #位数 がmであるような Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」 というもの. 群論の勉強を進めると，この先 「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」 (#ラグランジュの定理) というのを学ぶのでお楽しみに.

#巡回群とは 44 前ツイの解説: 「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは aのある #べき で生成される巡回群」 を既に示してある. ここで 「Hの #位数 mを固定すると Hの #生成元 a^i＝a^sも そこから一意に特定できる」 という事を言えれば， 特定の位数mの部分群Hが 一意だと示せる.

#巡回群とは 43 Q. #位数 n の #巡回群 ‹a›と nの約数mに対し 位数mの #部分群 が ただ1つ存在する事を示せ A. 位数mの任意の部分群をHとし a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおけば 前ツイまでよりH=‹a^s›. 巡回群の位数の性質より (a^s)^m＝e＝a^n ∴s＝n/m Hの #生成元 は唯一a^(n/m).

#巡回群とは 40 Q. #群 Gの元aの #位数 がnの時 a^m(m∈ℕ)の位数は? A. mとnの最大公約数がGCD(m,n)=d M,Nは互いに素な自然数で m=Md n=Ndの時 a^n=a^(Nd)=e ここで a^m=a^(Md)をN乗すれば { a^(Md) }^N =a^(MdN) ={a^(Nd)}^M =e より |a^m|=N=n/d=n/GCD(m,n). ※最小性に追加証明が必要.

#巡回群とは 39 Q. #群 G の元 a の #位数 が n で m は n の約数とする. このとき n/m ＝ d は整数である. a^d の位数は? A. 「その元を何乗すると #単位元 になるか」 という最小の値が位数である点に注意. a^n＝e のとき { a^(n/m) }^m ＝ a^n ＝ e なので ∴ | a^(n/m) | ＝ m.

#巡回群とは 38 Q. #群 Gの元aの #位数 がnで mはnの約数とする. a^mの位数は? A. a^i=e(#単位元)となる自然数iのうち 最小のものがnであり a^n=e. n=md (m,dは自然数)とおくと a^(md)=e. ここで md=knとなる最小の自然数kはk＝1より (a^m)^d=a^n=eとなる自然数dは d=n/m ∴|a^m|＝n/m

#巡回群とは 37 Q. ここまで出てきた「#位数」の定義を整理 ①#有限群 Gの位数 ②#巡回群 ‹a› の元 x の位数 ③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数 A. ① 群Gに属する異なる元の個数. ② x^n=eとなる最小の自然数n. ③ aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36 Q. 「#巡回群 の元の #位数」は定義済. では 巡回群とは限らない一般の #群 Gの 元aの位数とは. A. aが #生成 する #巡回部分群 ‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …} が位数nの #有限群 なら 元aの位数はnとする. →巡回群でない一般の群も 元の位数を定義可能