#群論の知識 #ヘッケ環，岩堀ヘッケ環， #ヘッケ代数 (Hecke algebra) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98… ・ #コクセター群 の #群環 の一径数変形版. ・ #表現論 における重要な対象である. ・ #組みひも，#結び目 の理論で応用されている.

#群論の知識 #ワイル群(Weyl group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF… ・ #リー環 の理論で現れる. ・ルート系の等長変換群の #部分群. ・すべてのワイル群は，#コクセター群 として実現できる. ・有限コクセター群はほとんどがワイル群.

#群論の知識 #コクセター群 の #同型 問題 (isomorphism problem of Coxeter groups) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3… ・コクセター群の 抽象群としての(非)同型性を判定する. ・ #群論 における未解決問題の1つ.

#群論の知識 #コクセター群 (Coxeter group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3… ・鏡映変換で表示できる抽象群のこと. コクセター ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F… 英国出身の数学者. 専門は幾何学で，「現代のユークリッド」と呼ばれた.

#群論の知識 「#代数的組合せ論」という分野がある. Algebraic combinatorics en.wikipedia.org/wiki/Algebraic… ・ #抽象代数学 の中でも特に #群論 を 組合せ論に応用する. 逆に，組合せ論の技法を代数学に応用することも. ・1970年代後半に生まれた分野名.

#群論の知識 #ケイリーグラフ (Cayley graph) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1… ・ #群 の構造を表現するグラフ. ・群(おもに #有限群)の #生成集合 に対し使われる. ・ #組合せ群論，#幾何学的群論 における中心的な道具.

#群論の知識 #幾何学的群論 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE… ・幾何学的群論は #組合せ群論 から生まれた. ・現在，分野としての組合せ群論は 幾何学的群論に大きく含まれている. 組合せ群論 (Combinatorial group theory) en.wikipedia.org/wiki/Combinato… .

#群論の知識 #幾何学的群論 (Geometric group theory, GGT) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE… ・1980～90年代初頭にかけて数学の1分野として成立. #有限生成 群を研究する. ・ #群 の代数的性質と，群が #作用 する空間のトポロジー的性質および幾何学的性質との間の関係を調べる.

#群論の知識 #エルランゲン・プログラム Erlangen program ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8… ・ユークリッド幾何は，合同変換で不変な性質を扱う分野 ・射影幾何は，射影変換で不変な性質を扱う分野 … 当時乱立していた各種の #幾何学 を 近代的な視点(#群論 の観点)で 再統一することに成功.

#群論の知識 Q. #エルランゲン・プログラム とは A. 19世紀のドイツの数学者クライン (クラインの壺の考案者)が示した， #幾何学 の研究方針. 幾何学を 「集合に対する #変換群 の作用」で分類し 変換の不変量を扱うのが幾何学と定義. のちに #リーマン幾何学 と相性が合わず停滞.

#群論の知識 有限可換群上の調和解析 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… ・有限 #可換群 の上で行なう #調和解析. ・ #合同算術 や #情報理論 において多くの応用がある. ・ #フーリエ変換，#畳み込み，#パーセバルの等式 などを使う。

#群論の知識 #ユニタリ表現 (unitary representation) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6… ・ #群 をユニタリ作用素として線形 #表現 すること. ・1920年代から #量子力学 において広く応用されている. ・ユニタリ表現は #完全可約.

#群論の知識 ▶シュヴァリエ (Chevalier) fr.wikipedia.org/wiki/Auguste_C… 1809-1868 ガロアの友人。#群論 の記された遺言状を受け取る ▶シュヴァレー (Chevalley) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… 1909～1984 「シュヴァレー・ #リー群 論」の著者 ↑ ２人ともフランス人で 名前が似ているが別人.

#群論の知識 #等質空間 (homogeneous space) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89… #群 Gが #推移的 に #作用 するような 空でない #多様体 あるいは #位相空間 Xを 群Gの等質空間という. #リー群，#代数群，#位相群 などの理論で現れる.

#群論の知識 #ポアンカレ群 (Poincaré group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D… #ポアンカレ変換 のなす #変換群. 10次元の非コンパクト #リー群. ポアンカレ変換とは #ミンコフスキー空間 における等長変換で 並進と #ローレンツ変換 からなる. ポアンカレ群の #リー代数 が #ポアンカレ代数.

#群論の知識 #ハイゼンベルク群 (Heisenberg group) en.wikipedia.org/wiki/Heisenber… ・3次 #正方行列 で， 実数 a, b, c により 下記の #上三角行列 の形で書けるものがなす #群. (1, a, b 0, 1, c 0, 0, 1) ・ #リー群 の一種. 1次元の #量子力学 系で役立つ.

#群論の知識 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・ #単純リー群 (simple Lie group)： 連結非可換 #リー群 G であって 非自明な連結 #正規部分群 を持たないもの. ・ #単純リー環 (simple Lie algebra)： 非可換 #リー環 であって #イデアル が 0 と自身しかないもの.

#群論の知識 #リー代数 の #表現 (representation of a Lie algebra) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… ・リー代数を #行列 の集合(#ベクトル空間 の #準同型) として記述する方法. ・大まかに言えば，リー代数の表現は #リー群 の表現の微分した形.

#群論の知識 #リー代数 (Lie algebra) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… ・ #リー環 とも. 古い文献では「無限小群」(infinitesimal group)と呼ばれた. ・「リー括弧積」(Lie bracket)と呼ばれる 非結合的な乗法 [x, y] を備えた #ベクトル空間.

#群論の知識 #リー群 の #表現 (representation of a Lie group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… ・連続対称性の研究で重要. ・物理学の文献では， リー群の表現と #リー代数 の表現との間の違いを 強調しないこともある.

#群論の知識 #リー群 (Lie group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… ・ #群 構造を持つ #可微分多様体 で， その群構造と可微分構造とが #両立 するもののこと. ・群の演算操作が，多様体としてのG上の #写像 として #可微分 であるもの. ・ #複素リー群 の例: #特殊線形群 SL( 2, ℂ )

#群論の知識 #離散群 (discrete group) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2… #位相群 Gの #部分群 Hであって， 『「Hの #開被覆 で 任意の #開部分集合 が Hの元をちょうど1つ含むようなもの」が存在するもの』 のことを，位相群 G の #離散部分群(discrete subgroup)という.

#群論の知識 #コンパクト群 (compact group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3… ・コンパクト位相群 (compact topological group). ・ #位相 が #コンパクト であるような #位相群 のこと. ・離散位相をいれた #有限群 の 自然な一般化である.

#群論の知識 #位相群 (topological group) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ・ #連続群 との表記も. ・ #位相 の定められた #群. #位相空間 に群演算(#二項演算)を定めたもの ・位相群では「全ての群演算が与えられた位相に関し #連続」という意味で「代数構造と位相構造が両立」する.

#群論の知識 Q. #特殊相対性理論 に出てくる #群 A. #ローレンツ群(Lorentz group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD… #ミンコフスキー時空 上の 全てのローレンツ変換. #ローレンツ変換(Lorentz transformation) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD… #電磁気学 と #古典力学 間の 矛盾を回避できる #線形変換.

#群論の知識 #群 の #拡大 (group extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 特定の #正規部分群 と #剰余群 を使って 群を記述すること. 1 → G_1 → G_2 → G_3 → 1 という #短完全列 がある場合， 「G_2はG_3によるG_1の拡大である」または 「G_2はG_1によるG_3の拡大である」という.

#群論の知識 #有限単純群 の分類の中に 「#散在型単純群」というカテゴリがある. ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… 散在型単純群 (sporadic group) en.wikipedia.org/wiki/Sporadic_… 26個ある. #ティッツ群(Tits group)を加味して 27個とする場合もある.

#群論の知識 フェイト・トンプソンの定理 (#奇数位数定理，バーンサイド予想) の部分的な解決に貢献した 鈴木 通夫(みちお)… の名前が付いた #群 が存在する. Suzuki sporadic group en.wikipedia.org/wiki/Suzuki_sp… #散在型(sporadic)単純群 の1つ. Suzuki groups en.wikipedia.org/wiki/Suzuki_gr… .

#群論の知識 フェイト・トンプソンの定理 (#奇数位数定理) 解決までの歴史 en.wikipedia.org/wiki/Feit%E2%8… 1911年，バーンサイド予想 「非可換な有限単純群の位数は偶数?」 1957年，鈴木 通夫(みちお)による部分的な解決. 1962～1963年，FeitとThompsonによって解決. 最終論文は255㌻

#群論の知識 #群論 のファイト‐トンプソンの定理(#奇数位数定理) note.com/morikita/n/nf4… 数百ページの長大な証明. 数十ページにわたる背理法 プロの数学者でも検証困難 ↓ 2012年，この証明が ツールで自動化(形式化)された. かかった労力は，15人がかりで7年.

#群論の知識 フェイト・トンプソンの定理 (#奇数位数定理) を証明した2人の数学者: ①Walter Feit en.wikipedia.org/wiki/Walter_Fe… 1930-2004 ②John G. Thompson en.wikipedia.org/wiki/John_G._T… 1932生まれ ②のジョン・グリッグス・トンプソンは この業績で1970年に #フィールズ賞 を受賞.

#群論の知識 Feit–Thompson theorem フェイト・トンプソンの定理 en.wikipedia.org/wiki/Feit%E2%8… ・odd order theorem (#奇数位数定理) ・every finite group of odd order is solvable. 全ての奇数 #位数 の #有限群 は #可解 である. ・1962年と1963年にFeitとThompsonの共著で発表

#群論の知識 フェイト・トンプソンの定理 (Feit–Thompson theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF… 呼び名: ・「ファイト・トンプソンの定理」とも. ・別名「#奇数位数定理」 内容: ・全ての奇数 #位数 の #有限群 は #可解群. ・有限群が #単純群 ならば，それは素数位数の #巡回群 か偶数位数.

#群論の知識 「#位数 59以下の #群 は #可解 である。」 ↑ これを確かめるために， 位数が1から59までの 全ての場合について どうして可解と言えるのか 一覧表を作って網羅している記事がある。 「群が可解でないための位数の条件を炙り出す」 peng225.hatenablog.com/entry/2017/09/… .

#群論の知識 #バーンサイドの定理 (Burnside theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… ・「p, q は素数， a, b は 0 以上の整数として， #位数 が (p^a)･(q^b) である #有限群 G は #可解群 である」 ・1904年に #バーンサイド が 有限群の #表現論 を使って証明.

#群論の知識 バーンサイド問題 (Burnside problem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… 1902年：どの元も有限 #位数 を持つような #有限生成 群は，必ず #有限群 か? ↓ 1964年：反例 ↓ その後，条件を変えて研究が続く. 下記PDFの13ページ参照 jstage.jst.go.jp/article/sugaku… 「有限群論の成果と課題」

#群論の知識 有限単純群の分類について ・1983年以前の本: 「まだ完了してない」と記載されている。 ・2004年以前の本: 「1982年頃に完了した」と誤記載されている。 (その後2004年に再宣言された) 古い本を読む際には気を付けよう！

#群論の知識 List of finite simple groups (有限単純群のリスト) en.wikipedia.org/wiki/List_of_f… List of small groups (小さな群のリスト) en.wikipedia.org/wiki/List_of_s… .

#群論の知識 有限単純群の分類 classification of the finite simple groups ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… 全ての有限単純群を 大まかなクラスへ分類する定理。 1983に分類完了宣言 →漏れ発見 →2004年に再度，分類完了宣言 1955～2004年に 100以上の著者が 計1万5000ページ以上の論文で証明