#群論入門_作用と軌道編 42 Q. ①#ラグランジュの定理 |G|=|G:H| |H| ②#軌道・固定群定理 |G|=|G:G_x| |G_x| (=|G x| |G_x|) #指数 を「/」で |G/H|, |G/G_x| と書いてもOK? A. OKだが #剰余群 でなく #剰余類 を表す点に注意. ①②とも #部分群 として #正規部分群 でない場合も成立.

#群論入門_作用と軌道編 41 Q. 「#剰余類 G/H が #剰余群 になるのは #部分群 H として #正規部分群 を扱う場合だけ.」 ↑ 復習plz A. 正規部分群 N を使うと 剰余類 G/N では 剰余類による #類別 の #類 どうしの間で #同値関係 と #二項演算 が #両立 するので G/N は #群(剰余群)になる.

#群論入門_作用と軌道編 40 Q. 復習だが，#指数 を |G:H|＝|G/H| |G:G_x|＝|G/G_x| と表記する事もある. スラッシュでの表記は #剰余群 を表すか？ A. そうとは限らない. スラッシュを使った記法は 剰余群ではなく #剰余類 を表す. 剰余類が剰余群になるのは #正規部分群 を扱う場合だけ.

＜#代数学の参考書＞ 「なっとくする群・環・体」(2011) あとがきより: 『"#演算 と #同値関係 の #両立 性" の概念の有効性に改めて気づく. これにより #正規部分群 や #イデアル の概念が 「天から降ってくるような 訳の分からない概念」ではなく #必然性 のある概念として説明できる.』

「#シンプル・イズ・ザ・ベスト」 というのは 【#単純群 は最高だ！】 という意味であり， 「非自明な #正規部分群 を持たないこと」 を最も良しとする美学のことですよね！！！ #シンプル #単純 #simple ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… simple「単純」：自明でない正規部分群を持たないこと

#群論入門_作用と軌道編 22 Q. 「#固定部分群」(安定化部分群)を 「不変群」と表記することがある？ A. 下記の書籍では 固定部分群を「不変群」と表記している amazon.co.jp/dp/B000JA9AGG しかしその名称を使うべきではない. #正規部分群 の別名として 「不変部分群」があり 混同を招くから.

#Lie群 「うそつきの集団」 #ロード・オブ・ザ・リング 「環論の王」 #自由群 を学べる参考書 「群論の無料の教科書」 #正規部分群 「平凡な部分群！」 #normal　#NormalSubGroup

＜#代数学の参考書＞ 「ルービック・キューブと数学パズル」 (日本評論社2008島内) p99とp113より: 『#魔方体 の #操作 の #全体 は，#群 である. この群を #魔方体群 と 呼ぶことにする. 魔方体群に対し #3面体 の #位置 を変えない操作の 全体から成る #部分群 は #正規部分群 である.』

#群論入門_置換群編 108 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… n 次 #対称群 S_n の元のうち 特に #偶置換 のみを集めると， その全体は n 次対称群の #正規部分群 となる. この #群 を n 次 #交代群 A_n という. n≧5 の時， n 次交代群は #単純群 である.

＜#代数学の参考書＞ 「モンスター　群のひろがり」(1999原田) 序文より: 『各 #素数 についての #シロー群 が 複雑に絡み合って #群 全体が できている様子は #シローの定理 からでは なかなか容易には見えない. #正規部分群 が どのようにして でき上がっているかが わからないのである』

＜#代数学の参考書＞ 「モンスター　群のひろがり」(1999原田) 序文より: 『各 #素数 についての #シロー群 が 複雑に絡み合って #群 全体が できている様子は #シローの定理 からでは なかなか容易には見えない. #正規部分群 が どのようにして でき上がっているかが わからないのである』

#群論の知識 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・ #単純リー群 (simple Lie group)： 連結非可換 #リー群 G であって 非自明な連結 #正規部分群 を持たないもの. ・ #単純リー環 (simple Lie algebra)： 非可換 #リー環 であって #イデアル が 0 と自身しかないもの.

＜#代数学の参考書＞ 「ルービック・キューブと数学パズル」 (日本評論社2008島内) p99とp113より: 『#魔方体 の #操作 の #全体 は，#群 である. この群を #魔方体群 と 呼ぶことにする. 魔方体群に対し #3面体 の #位置 を変えない操作の 全体から成る #部分群 は #正規部分群 である.』

＜#代数学の参考書＞ 「モンスター　群のひろがり」 (岩波書店1999原田) 序文より: 『#群 の中でも特に #単純群 の #研究 が重要. 群Gの #部分群 Nによる #剰余空間 G/Nが #自然 に群になる時 Nを #正規部分群 という. Gの #構造 は 2つの群 G/N，N の構造により ほぼ決定されるゆえに…』

#群論の知識 #群 の #拡大 (group extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 特定の #正規部分群 と #剰余群 を使って 群を記述すること. 1 → G_1 → G_2 → G_3 → 1 という #短完全列 がある場合， 「G_2はG_3によるG_1の拡大である」または 「G_2はG_1によるG_3の拡大である」という.

#群論入門_中心化群と類等式編 38 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD… #群 Gの部分集合Sの… ①#中心化群(centralizer) C(S): Sの各元と可換な Gの元全体. ②#正規化群(normalizer) N(S): (集合として)「全体で」Sと可換な Gの元全体. N(S)はGの #部分群. C(S)はN(S)の #正規部分群. G≥N(S)⊳C(S)

#群論入門_中心化群と類等式編 14 Q. #群 G の #中心 H＝Z(G) が Gの #部分群 であるだけでなく Gの #正規部分群 でもあることを示せ. A. 中心の定義より Hの任意の元は Gの任意の元と #可換. よって Hの任意の元hを Gの任意の元gで #共役変換 すると g^{-1}hg ＝g^{-1}gh ＝h ∈ H ∴G⊳H

＜#代数学の参考書＞ 「モンスター　群のひろがり」 (岩波書店1999原田) 序文より: 『#群 の中でも特に #単純群 の #研究 が重要. 群Gの #部分群 Nによる #剰余空間 G/Nが #自然 に群になる時 Nを #正規部分群 という. Gの #構造 は 2つの群 G/N，N の構造により ほぼ決定されるゆえに…』

#群論入門_剰余群編 14 Q. #組成列 の定義を #剰余群 という概念を使って言い換えよ A. ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84… H_i ⊳ H_{i-1}の関係をもつ #正規部分群 の列 G＝H_n ⊳ H_{n-1} ⊳ … ⊳ H_0＝{1} が #正規列. 各 剰余群 G_i / G_{i-1} が #単純群 である時 この正規列を組成列という.

#群論入門_剰余群編 13 「#正規部分群 って便利だな」 と実感できる学び方は 2通りある. 1) 正規部分群を #共役変換 で定義し #ガロア理論 での重要性や #可解群 の意義を説く. ※#群論入門_正規部分群編 で実践済 2) #二項演算 と #同値関係 の #両立 の要請から導入. ※前提知識が多い

#群論入門_剰余群編 9 「なぜ #正規部分群 という概念を 持ち出したかというと， この時しか #剰余群 がつくれないから. #加法群 と同じように一般の #群 でも #剰余類 同士の積演算を定義したいが， これが正規部分群でないと うまくゆかないのである.」 (朝倉書店「加群十話」p74より)

#群論入門_剰余群編 8 #整数論 のmod演算の #合同式≡は 割り算の余りに基づいた #同値関係 で整数を分類し #二項演算 ＋，－，× と #両立. このmod演算の合同式の便利さと 同じような利便性を 一般の #群 でも作れるようにしたのが #剰余群 で そのために #正規部分群 が必要というわけ.

#群論入門_剰余群編 7 Q. 集合の #分割 の観点で なぜ #正規部分群 が必要か A. #剰余群 を作りたいから. #群 Gの #二項演算 と #両立 する 便利な #同値関係 を定義し その #同値類 によってGを分割・分類しよう とすると その分類は剰余群であり 剰余群を作るには正規部分群が要る.

#群論入門_剰余群編 6 Q. #剰余群 とは. A. #剰余類 がなす #群. #群 G 内で #二項演算「・」と #両立 するよう #同値関係「～」を定めると 「～」は必然的に 「群Gの #正規部分群 Hによる #剰余類」 に属する元どうしを #同値類 とみなす同値関係になり， この剰余類たちは群をなす.

#群論入門_剰余群編 5 (1) #群 G 内で #二項演算「・」が定義されている時 #同値関係「～」が「・」と #両立 する. (2) 同値関係「～」は 群 G の #正規部分群 H による #剰余類 に属する元どうしを #同値類 とみなしたもの. (1)→(2)の証明は下記に掲載. note.com/suugakuya_note… .

#群論入門_剰余群編 4 Q. 群G内で #二項演算「・」が定義されている時， 「・」と #両立 するような #同値関係「～」を Gの中に作るには？(★) A. Gの #正規部分群 Hで GのHによる #剰余類 を作り 同じ剰余類に属する元を #同値類 とみなせばよい.(☆) ★の必要十分条件は ☆である.

#群論入門_剰余類編 84 #部分群 の #指数(index of a subgroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8… HのGにおける指数: |G : H| (＝|G|/|H|) [G : H] (G:H) などと表記される. ・『Gを埋め尽くすHの「コピー」(#剰余類) の個数』 ・NがGの #正規部分群 なら |G : N|＝#商群(#剰余群)G/Nの #位数

＜#代数学の参考書＞ 紀伊國屋数学叢書28 「有限単純群」 (紀伊國屋書店1987鈴木) p3より引用: 『･#群 G の #交換子群 を G' とおくと G' は G の #正規部分群 であり， #商群 G / G' は #可換群 である。 ･交換子群は， 商群が #可換 となる正規部分群のうち #最小 の群である。』

＜#代数学の参考書＞ 紀伊國屋数学叢書28 「有限単純群」 (紀伊國屋書店1987鈴木) p3より引用: 『･#群 G の #交換子群 を G' とおくと G' は G の #正規部分群 であり， #商群 G / G' は #可換群 である。 ･交換子群は， 商群が #可換 となる正規部分群のうち #最小 の群である。』

#群論入門_正規部分群編 67 ↑ このハッシュタグの復習： ・ #共役変換(#内部自己同型写像) ・ #正規部分群 の定義 ・ #自明な正規部分群 と #単純群 ・ #正規列 と #組成列 ・ #交換子 と #交換子群 ・ #交換子群列 と #可解群 全部思い出せますかな

#群論入門_正規部分群編 63 英語名称のおさらい #共役(共軛) conjugate #共役元 conjugate element #共役変換 conjugation #相似変換 similarity transformation #内部自己同型写像 inner automorphism #共役類 conjugacy class #正規部分群 normal subgroup #単純群 simple group

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p176より引用: 『#20面体群 は， #5次方程式 の #可解性 に関する #ガロア の研究ゆえに有名。 一般5次方程式において #方程式 の #群 に 関連のある性質は， 20面体群が 真の #正規部分群 をもたない という事実に基づく。』

#群論入門_正規部分群編 51 Q. #群 Gの #交換子群列 とは. A. Gの #交換子群 をD(G)＝D_1(G), D_i (G) の交換子群を D_{i+1} (G) として帰納的に G ⊳ D_1(G) ⊳ D_2(G) ⊳ … なる #正規部分群 の列を作る時， これをGの交換子群列という.

#群論入門_正規部分群編 49 短歌にしてみよう. 　交換子　共役変換　した後も 　そのままずっと　交換子だよ #交換子 は もとの #群 Gの元で #共役変換 しても 交換子のまま. ゆえに，#交換子群 H は もとの群Gの元による共役変換に対し #閉じている ので Gの #正規部分群 となる.

#群論入門_正規部分群編 47 Q. #群 G の #交換子群 とは. (1) 定義 (2) どう表記するか (3) Gとの関係は A. (1) 群 G と G 自身との交換子群 [ G, G ] ＝ ‹ [ g1, g2 ] | g1, g2 ∈ G › のこと. (2) D(G) ＝ [ G, G ] (3) G ⊳ D(G) 交換子群はもとの群の #正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 46 Q. #群 Gの #正規部分群 A, Bに対し， #交換子群 [A, B] も Gの正規部分群であることを示せ. A. t∈G, a∈A, b∈Bに対し 前ツイより t^{-1} [a, b] t =[(t^{-1}at)∈A, (t^{-1}bt)∈B] よって [A, B] の元は Gの任意の元tによる #共役変換 で #閉じている.

#群論入門_正規部分群編 43 #特性部分群(characteristic subgroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9… もとの #群 の 全ての #自己同型 写像で 不変な #部分群. #共役変換 は #内部自己同型写像 なので 全ての特性部分群は #正規部分群. 特性部分群の例: ・群の #中心 ・ #交換子群(交換子部分群)

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) amazon.co.jp/dp/088385614X p163より 『#エバリスト･#ガロア は， 「#群 Gの #正規部分群 Kに関する #剰余類 の #全体 が 1つの群をつくる事」を #最初 に示した人である. この群は，我々が #因子群(#剰余群) G/K と呼ぶもの.』

#群論入門_正規部分群編 30 Q. #組成列 と #主組成列 の違い A. 群Gの #部分群 の列が G＝H_n ⊳ H_{n-1} ⊳ … ⊳ H_0 ＝ {1} なる #正規列 かつ組成列である場合 各H_iがGの #正規部分群 である事は要請されない. 各H_iがGの正規部分群なら この列をGの主組成列(normal series)と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 27 Q. 群Gの #組成列 とは. A. 群Gのある #正規列 G ＝ H_n ⊳ H_{n-1} ⊳ … ⊳ H_0 ＝ {1} において H_0, H_1, …, H_nが全て異なり かつ どの H_{i-1} と H_i の間にも これらと異なる H_{i-1} の #正規部分群 が 存在しなければ， この列をGの組成列と呼ぶ.