#群論の知識 Q. #群論 で現れる #核(kernel)とは A. ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B8… 核は，準同型の #単射 からのずれの度合いを測る道具. G, Hを群とし G, Hの #単位元 を各々 e_G, e_H とする. #群準同型 f: G → H に対し Ker f ＝ { g ∈ G | f(g) ＝ e_H } を #写像 f の核という.

#群論入門_作用と軌道編 7 #群 G 集合X G内の #二項演算⊗ GのXに対する #作用⊚ g,g1,g2,e∈G x,x1,x2∈X 作用の #公理: ①#始域 と #終域 作用は #写像 f:G×X→X. 演算が群内で閉じていない f(g,x1)=g⊚x1=x2∈X ②#単位元 の作用 e⊚x=x ③作用の #結合法則 (g2⊗g1)⊚x=g2⊚(g1⊚x)

#群論入門_作用と軌道編 2 Q. 数学において一般に #作用 とは. A. 作用 (action, operation) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C… [#代数系 ①] に [その上の変換 #写像 の集まりを #代数的構造 ②として] 考え合わせたもの. たとえば ①として何かの集合X ②として #群 Gを選び GをXに作用させる.

＜#解析力学の参考書＞ 「重点解説 ハミルトン力学系」(2016) 前書きより 『#力学系 とは #時間発展 により #状態 が #変化 するシステムの 数学的モデルを指す. 特に #常微分方程式 や #写像 により 定まる力学系が よく研究されている. #ハミルトン力学系 とは #正準方程式 で定まる…』

#群論入門_置換群編 123 ↑ このタグの復習: ▶#置換 ・ #全単射 な #写像，#合成 ・ #対称群，#置換群 ・ #あみだくじ で図示 ▶特別な置換 ・ #巡回置換，#互換，#隣接互換 ・ #奇置換，#偶置換，#交代群 ▶群の同型 ・ #準同型，#群準同型 ・ #同型，#群同型 全部思い出せますかな

#群論入門_置換群編 117 英語名称のおさらい #写像 mapping，map #像 image #終域(余域) codomain #値域 range #逆像 inverse image 原像 preimage #単射 injection #全射 surjection #全単射 bijection 一対一上への写像 (上への1対1写像) one-to-one onto mapping

#群論入門_置換群編 115 整理： ①#準同型 (homomorphism) 構造を保つ #写像. ↓ ↓ +#全単射 という条件 ↓ ②#同型 (isomorphism) ③#自己準同型 (endomorphism) 構造を保つ，それ自身への写像. ↓ ↓ +全単射という条件 ↓ ④#自己同型 (automorphism)

#群論入門_置換群編 114 #自己同型 (automorphism) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA… ・ #自己準同型 写像が #全単射 のとき自己同型という. ・可逆な自己準同型が自己同型. ・構造を保ちながら， 対象をそれ自身へと #写像 する方法のこと.

#群論入門_置換群編 111 群の #同型 写像 (group isomorphism) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… G から H への #群準同型 f : G → H が #全単射 であれば， #写像 f は G から H への #群同型 という. 2つの #群 の演算と #両立 する方法で 2つの群の元の間の 一対一対応ができる.

#群論入門_置換群編 109 群の #準同型 写像 (group homomorphism) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… #群 の構造を保つ #写像. G, Hは群で Gの #二項演算 は・ Hの二項演算は＊ g_1, g_2 ∈ Gとする. 写像fが f:G→H f( g_1・g_2 ) = f( g_1 )＊f( g_2 ) なら fはGからHへの #群準同型.

＜#幾何学の参考書＞ 岩波講座　現代数学の基礎12 「幾何学的変分問題」(1998西川) 前書きより引用: 『本書は， #曲線の長さ と #写像 の #エネルギー に関する #変分問題 を題材に， #幾何学的変分問題 の 基本的問題と結果について 解説した入門書である。』

#群論入門_置換群編 64 Q. #互換 の 「2乗すると #恒等置換 になる」という性質を 何と呼ぶか A. #対合(たいごう,ついごう,involution) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ・自分自身をその #逆写像 として持つような #写像. ・2回繰り返すと #恒等変換. ・ #群 の #位数 2の元をも指す.

#群論入門_置換群編 51 #対称群 が #結合法則 を満たす事の証明 Prove that symmetric groups are associative math.stackexchange.com/questions/7798… this is just the associativity of function composition n次の3つの #置換 の積などを 頑張って計算する必要は無く #写像 の #合成 の性質から従う.

#群論入門_置換群編 48 Q. n次の #対称群 S_n の #位数 を求めよ. A. #置換 を ( 1, 2, …, n f(1), f(2), …, f(n) ) と表すと， 自然数 x を受け取って y＝f(x) を返すような #全単射 な #写像 f は n! 通り存在するので | S_n | ＝ n!

#群論入門_置換群編 46 Q. #置換 の集合が #群 をなす事を示せ A. 置換どうしを #合成 すると サイズの同じ置換が生み出され 置換どうしの積という #二項演算 は #閉じている. 置換は #写像 なので #結合法則 を満たす. #恒等置換 は #単位元. #逆置換 は #逆元. ∴群の #公理 を満たす.

#群論入門_置換群編 42 Q. #置換 の積が #結合法則 を満たすのはなぜか. A. 置換は #写像 なので 写像の #合成 は結合法則を満たすから. よって，3つの置換 a, b, c に対し 常に (ab)c ＝ a(bc) であり，括弧は不要.

#群論入門_置換群編 41 Q. ① #代数的構造 の #二項演算 の #結合法則. ② #写像 の #合成 の結合法則. この2つを混同・混乱してしまう理由は何だろうか A. ①②で， 全く異なる対象の 異なる数式に対し 同じ「結合法則」という名前で呼んでいるのが 混乱のもと. 区別すべし.

#群論入門_置換群編 40 Q. ① #代数的構造 の #二項演算 の #結合法則 ② #写像 の #合成 の結合法則 ①は一般に成り立たないが， ②は常に成り立つ. この違いの生まれる理由わかった? A. ①は，2変数関数の引数どうしに成り立つ特別な関係. ②は，1変数関数の引数の 単なる入れ子.

#群論入門_置換群編 39 Q. ① #代数的構造 の #二項演算 の #結合法則 ② #写像 の #合成 の結合法則 ①と②の 数式での表現を比較せよ. A. ① (a(bc)) ＝ ((ab)c) f( a, f(b,c) ) ＝ f( f(a,b), c ) fは2変数関数. ② (h∘g)∘f ＝ h∘(g∘f) ＝ h(g(f(X))) f,g,hは1変数関数.

#群論入門_置換群編 37 #群 ではない一般の #二項演算 では #結合法則 を仮定できない. (a(bc)) ≠ ((ab)c) ※そのような #代数的構造 の例 ・ #マグマ ・ #準群 ・ #擬群 一方，#写像 の #合成 では 常に結合法則が成り立ち便利. (f(gh)＝((fg)h) なぜ，このような違いが生まれるのか?

#群論入門_置換群編 36 Q. #写像 の #合成 が #結合法則 を満たす事を示せ A. f:W→X g:X→Y h:Y→Z ((h∘g)∘f)(W) ① (h∘g)(X)＝h(g(X))より ①＝(h∘g)(f(W))＝h(g(f(W))) (h∘(g∘f ))(W) ② (g∘f)(W)＝g(f(W))より ②＝h((g∘f)(W))＝h(g(f(W))) ∴①＝② (h∘g)∘f＝h∘(g∘f)

#群論入門_置換群編 35 #写像 の #合成 (a mapping composition), 関数の合成 (a function composition) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%99… ある写像を施した結果に 再び別の写像を施すこと. #合成写像 (composite mapping), 合成関数 (composite function).

#群論入門_置換群編 34 Q. #写像 の #合成 とは. A. 写像 f, g が f : X → Y g : Y → Z である時， g( f(X) ) ＝ (g∘f) (X) と表記し h ＝ g∘f (h : X → Z) を f と g の #合成写像 という. 右から順に つまり f の次に g が適用されることに注意.

#群論入門_置換群編 33 Q. #写像 f について f : X → Y という記法は何を意味するか A. 写像 f の #定義域(始域)が集合 X であり #終域 が集合 Y であるということ. X から Y への写像.

#群論の知識 #指標理論 (character theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87… ・群の #表現 の #指標(character): #群 の各元に 対応する #行列 の #トレース を対応させる #写像. 指標は，表現の 本質的な情報を凝縮された形で持つ. ・指標理論は #有限単純群 の分類において本質的な道具.

#群論入門_置換群編 20 Q. σ＝ (1, 2, 3 2, 3, 1) という記法は 具体的にどのような #置換 を表すか. A. 1を2に， 2を3に， 3を1に移すような置換. 1行目に置換の #写像 の #定義域， 2行目に置換の写像による #像 を記載している.

#群論入門_置換群編 18 Q. #写像 の観点から 有限集合の #置換 を定義せよ A. 1 から n までの自然数の集合 Ω ＝ { 1, 2, …, n } について， Ω から Ω 自身の上への 一対一の写像(#全単射)を n次の置換と呼ぶ.

#群論入門_置換群編 17 Q. #逆像 と #逆写像 の違いは A. 逆像は集合. 逆写像は #写像(元どうしの関係性). 逆像は， y＝f(x)において あるyを与えるxなる元全体の集合. 1つの元または 元の集合または 空集合∅であったりする. #終域 のある元yの逆像が∅なら 逆写像は存在しない.

#群論入門_置換群編 16 #逆写像 (inverse mapping) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86… ・ #写像 の与える元どうしの対応関係を 「反対」にして得られる写像. ・f が x を y に写すなら， f の逆写像は y を x に写し戻す. ・逆写像が存在する事を #可逆(invertible)という.

#群論入門_置換群編 15 Q. ある #写像 f の #逆写像 とは. A. fの #終域 の任意の元yに対し 「f(x)＝yならば必ず g(y)＝x」 となる写像 g が存在すれば， g を f の逆写像と呼ぶ. 写像によっては 逆写像が存在しない場合もある. #全単射 な写像は 逆写像を持つ.

#群論入門_置換群編 14 #全単射 (bijection) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8… #単射 かつ #全射 であるような #写像 のことを言う. 例としては，#群論 で扱われる #置換 が挙げられる。 一対一上への写像[上への1対1写像] (one-to-one onto mapping) 一対一対応 (one-to-one correspondence)

#群論入門_置換群編 13 Q. 各々，どのような #写像 を指す用語か. (1) XからYの「上への」写像 (2) XからYへの「1対1の」写像 (3) XからYの「上への1対1の」写像 (4) XからYへの「1対1対応の」写像 A. (1) #全射 (2) #単射 (3)(4) #全単射

#群論入門_置換群編 12 Q. #全単射 の説明… 「#写像 の #終域 の 任意の元yに対し yを #像 とする元xが #定義域 に常にただ1つ存在する」 どういう事か. A. どの到着地点yにも そこに至る出発点xが ただ1つだけある. 出発点は必ずどこかの到着点に到達する. ∴出発点と到着点が1対1対応

#群論入門_置換群編 11 Q. #写像 f が #全単射 であるとは. A. #全射 かつ #単射 であること. 全射なので f によって #終域 の全ての元を得ることができ， 単射なので ある終域の元を得るための #定義域 の元にダブりがない. このため， 定義域の元と 値域の元とが 1対1に対応する.

#群論入門_置換群編 10 ・ #単射 (injection) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… #値域 に属する元が全て #定義域 の元の #像 として 「唯一通りに」表されること. ・ #全射 (surjection) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8… #終域 となる集合の元が全て その #写像 の #像 として得られること.

#群論入門_置換群編 9 Q. A から B への #写像 f が #全射 であるとは. A. 全射とは， ・ #像 が終域と一致する ということ. つまり ・ #終域 の全ての元yについて #逆像 x＝f^{-1}(y)が空でない ということ. 「どの到着地点も そこに到達できる出発点が(1つは)存在する」ということ.

#群論入門_置換群編 8 Q. A から B への #写像 f が #単射 であるとは. A. 単射とは， 「x≠y ならば f(x)≠f(y)」 となる写像のこと. つまり #定義域 内での異なる要素から #値域 内の同じ要素を返却してはならない. 「出発点が異なれば 到着地点がダブってはならない」ということ.

#群論入門_置換群編 7 Q. #写像 f において ある元の #逆像 とは A. #像 のある1つの元yに対し， f(x)＝y となる x 全体のこと. 到着地点を1つ決めた時の そこに至る出発点全体のこと. ja.wikipedia.org/wiki/%E5%83%8F… 逆像(inverse image)あるいは 原像(preimage)と呼ぶ.

#群論入門_置換群編 4 Q. Ω_3 ＝ { 1, 2, 3 } Ω_3 から Ω_3 への #写像 f が f(1)＝1 f(2)＝2 f(3)＝1 を満たす場合， fの #定義域，#像, #終域 は. A. 定義域は 引数として受け取る値の集合で {1,2,3}＝Ω_3 像は 写像が返却する値の集合で {1,2} 終域は 像を含む集合で {1,2,3}＝Ω_3

#群論入門_置換群編 3 #写像 (mapping, map) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%99… 2つの集合 X, Y が与えられた時， 「一方の集合 X の各元に対し 他方の集合 Y の【ただひとつの】元を 指定して結びつける対応」のこと. 同義語・類似語は #関数，変換，作用素，射など.