#群論入門_作用と軌道編 7 #群 G 集合X G内の #二項演算⊗ GのXに対する #作用⊚ g,g1,g2,e∈G x,x1,x2∈X 作用の #公理: ①#始域 と #終域 作用は #写像 f:G×X→X. 演算が群内で閉じていない f(g,x1)=g⊚x1=x2∈X ②#単位元 の作用 e⊚x=x ③作用の #結合法則 (g2⊗g1)⊚x=g2⊚(g1⊚x)

#群論入門_置換群編 117 英語名称のおさらい #写像 mapping，map #像 image #終域(余域) codomain #値域 range #逆像 inverse image 原像 preimage #単射 injection #全射 surjection #全単射 bijection 一対一上への写像 (上への1対1写像) one-to-one onto mapping

#群論入門_置換群編 113 #自己準同型 (endomorphism) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA… ある数学的対象から それ自身への射(あるいは #準同型)のこと. #定義域 と #終域 が同じ #群準同型 写像 f: G → G は， G の自己準同型写像という.

#群論入門_置換群編 33 Q. #写像 f について f : X → Y という記法は何を意味するか A. 写像 f の #定義域(始域)が集合 X であり #終域 が集合 Y であるということ. X から Y への写像.

#群論入門_置換群編 17 Q. #逆像 と #逆写像 の違いは A. 逆像は集合. 逆写像は #写像(元どうしの関係性). 逆像は， y＝f(x)において あるyを与えるxなる元全体の集合. 1つの元または 元の集合または 空集合∅であったりする. #終域 のある元yの逆像が∅なら 逆写像は存在しない.

#群論入門_置換群編 15 Q. ある #写像 f の #逆写像 とは. A. fの #終域 の任意の元yに対し 「f(x)＝yならば必ず g(y)＝x」 となる写像 g が存在すれば， g を f の逆写像と呼ぶ. 写像によっては 逆写像が存在しない場合もある. #全単射 な写像は 逆写像を持つ.

#群論入門_置換群編 12 Q. #全単射 の説明… 「#写像 の #終域 の 任意の元yに対し yを #像 とする元xが #定義域 に常にただ1つ存在する」 どういう事か. A. どの到着地点yにも そこに至る出発点xが ただ1つだけある. 出発点は必ずどこかの到着点に到達する. ∴出発点と到着点が1対1対応

#群論入門_置換群編 11 Q. #写像 f が #全単射 であるとは. A. #全射 かつ #単射 であること. 全射なので f によって #終域 の全ての元を得ることができ， 単射なので ある終域の元を得るための #定義域 の元にダブりがない. このため， 定義域の元と 値域の元とが 1対1に対応する.

#群論入門_置換群編 10 ・ #単射 (injection) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… #値域 に属する元が全て #定義域 の元の #像 として 「唯一通りに」表されること. ・ #全射 (surjection) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8… #終域 となる集合の元が全て その #写像 の #像 として得られること.

#群論入門_置換群編 9 Q. A から B への #写像 f が #全射 であるとは. A. 全射とは， ・ #像 が終域と一致する ということ. つまり ・ #終域 の全ての元yについて #逆像 x＝f^{-1}(y)が空でない ということ. 「どの到着地点も そこに到達できる出発点が(1つは)存在する」ということ.

#群論入門_置換群編 6 Q. #像 とか #終域 のかわりに 「#値域」って言っちゃダメなの？ A. 値域といった場合 像なのか終域なのか曖昧になり得る。 値域 (range) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%80%A4… ・写像の「終域」または「像」のいずれかの意味 ・現代的な用法ではほとんど全ての場合「像」の意味

#群論入門_置換群編 5 Q. #終域 と #像 は別物？ A. 像⊆終域 終域(codomain, 余域) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%82… ・【写像fの出力する値がその中に属するべき】という「制約」を定める集合 像(image) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%83%8F… ・終域の部分集合★ ・写像の「出力となるもの」全てからなる.

#群論入門_置換群編 4 Q. Ω_3 ＝ { 1, 2, 3 } Ω_3 から Ω_3 への #写像 f が f(1)＝1 f(2)＝2 f(3)＝1 を満たす場合， fの #定義域，#像, #終域 は. A. 定義域は 引数として受け取る値の集合で {1,2,3}＝Ω_3 像は 写像が返却する値の集合で {1,2} 終域は 像を含む集合で {1,2,3}＝Ω_3