#代数学のbot連ツイのタグ その1 ▶群論 ①#群論の初歩 ②#代数系の初歩 ③#巡回群とは ④#群論入門_正規部分群編 ⑤#群論入門_剰余類編 ⑥#群論入門_剰余群編 ⑦#群論入門_中心化群と類等式編 ⑧#群論入門_置換群編 ⑨#群論入門_作用と軌道編 ⑩#群論の知識

#群論入門_作用と軌道編 77 ↑ このハッシュタグの復習： ・集合に対する群の #作用 の公理 ・作用による集合の元の #固定 と #軌道 ・ #固定部分群 と，その指数 ・ ラグランジュの定理の変種としての 　#軌道・固定群定理 ・ #軌道空間 と #バーンサイドの補題 全部思い出せますかな

#群論入門_作用と軌道編 76 英語名称のおさらい・続 #軌道 orbit #軌道・固定群定理 orbit-stabilizer theorem #軌道空間 orbit space #不動点(固定点) fixed point，fixpoint #バーンサイドの補題 Burnside's lemma #ポリアの定理(ポリアの数え上げ定理) Pólya enumeration theorem

#群論入門_作用と軌道編 75 英語名称のおさらい #作用 action，operation 左群作用 left group action 作用する act 左G-集合 left G-set #固定部分群(#安定化部分群) stabilizer subgroup #等方部分群 isotropy group #小群 little group 練習問題: ・固定部分群の意義を英語で論じよ.

#群論入門_作用と軌道編 74 Q. #バーンサイドの補題 を さらに一般化できる? A. #ポリアの定理 がある. ポリアの数え上げ定理Ⅰ,Ⅱなどの名で知られる. Pólya enumeration theorem en.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3ly… ポーヤの計数定理 (レッドフィールド–ポーヤの定理) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D… .

#群論入門_作用と軌道編 73 Q. #群論 で現れる #バーンサイドの補題. 競技プログラミング(#競プロ)では どう役立つか A. opt-cp.com/orbit-counting… 「#置換 の集合Gで一致するものを同一視して 集合Xの相異なる要素の個数sを求めたい」場合 s＝(1 / |G|) Σ{g∈G} |{ x∈X | gx＝x }|

#群論入門_作用と軌道編 72 Q. #群論 で現れる #バーンサイドの補題 高校数学ではどう役立つか A. manabitimes.jp/math/620 「同じものを含む円順列」を 数え上げる際などに役立つ.

#群論入門_作用と軌道編 71 Q. 「立方体(サイコロ)の面を n色に塗り分ける方法は何通りあるか」 どう数える? A. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… 立方体の #回転群 G (≅ S_4) を考える. 塗り分ける総数は #軌道 の数と一致. #群 Gの24元が各々 #固定 する 集合の大きさを数えることで計算できる.

#群論入門_作用と軌道編 70 Q. #バーンサイドの補題 | X/G |＝(1 / |G|) Σ{g∈G} | X^g | ① Σ_x |G_x|＝Σ_g |X^g| ② ①②より | X/G |＝(1 / |G|) Σ_x |G_x| としても良いのでは A. 総和 Σ_x は集合の全点をスキャンするので数が多い. 総和 Σ_g なら対称性より数え上げが少なくて楽.

#群論入門_作用と軌道編 69 Q. 集合Xに #作用 する #有限群 G について， #バーンサイドの補題 | X/G | ＝ (1 / |G|) Σ{g∈G} | X^g | の式の意味を 定性的に解釈すると. A. 「#軌道 の総数は， #群 Gの各元gごとに生み出す 集合X内の #固定 点の個数を G内で平均をとったものと等しい.」

#群論入門_作用と軌道編 68 #バーンサイドの補題 (Burnside's lemma) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… 別名: ・ #バーンサイド の数え上げ補題 ・ #コーシー･#フロベニウス の補題 ・ #軌道 の数え上げ補題 #対称性 を考慮して 数学的対象を数え上げるときに有用.

#群論入門_作用と軌道編 67 Q. #バーンサイドの補題 は バーンサイドさんが証明したの？ A. 1845年 #コーシー 1887年 #フロベニウス 1897年 #バーンサイド の順に紹介. バーンサイドの補題は別名として 「バーンサイドのでない補題」 (the lemma that is not Burnside's) とも呼ばれる.

#群論入門_作用と軌道編 66 Q. 集合 X に #作用 する #有限群 G がある時， Gの #位数 |G| と Gの各元が生む #不動点 の個数 |X^g| が分かれば Xの #軌道 の総数は | X/G | ＝ (1 / |G|) Σ{g∈G} | X^g | この式を何と呼ぶか. A. #バーンサイドの補題 (コーシー・フロベニウスの定理)

#群論入門_作用と軌道編 65 Q. ①#固定部分群 の #位数 と #不動点 の個数の関係 ②#ラグランジュの定理(#軌道・固定群定理) ①と②から Σ_x 1/|G x|=(1/|G|)Σ_g |X^g| ③ また前ツイの数え上げより Σ_x 1/|G x|＝|X/G| ④ 結局 ③④から何が言えるか? A. |X/G| ＝ (1/|G|) Σ_g |X^g|

#群論入門_作用と軌道編 64 #軌道 内の要素数の逆数和 Σ_x 1/|G x| を 異なる軌道の総数 |X/G|=kで表せ. A. Σ{i=1→|X|} 1/|G x_i| 要素x_iごとの和でG x_iは重複し得る. 重複のない軌道O_jごとの和に書き換え =Σ{j=1→k} Σ{G x∈O_j} 1/|G x| =Σ{j=1→k} |O_j|･(1/|O_j|) =Σ{j=1→k} 1 =k

#群論入門_作用と軌道編 63 Q. #固定部分群 の #位数 と #不動点 の個数の関係 Σ_x |G_x|=Σ_g |X^g| #ラグランジュの定理(#軌道・固定群定理) |G|=|G x| |G_x|. #軌道 内の要素数の逆数和 Σ_x 1/|G x|を |X^g|と|G|で表せ. A. Σ_g |X^g| =Σ_x |G|/|G x| ∴Σ_x 1/|G x|=(1/|G|)Σ_g |X^g|

#群論入門_作用と軌道編 62 集合Xの要素は { x_1, x_2, …, x_N } 集合Xの要素ごとに #軌道 を考えると { G x_1, G x_2, …, G x_N } しかしこれは重複を排除していない. 重複を排除し Xの相異なる軌道全体は X/G＝{ O_1, O_2, …, O_k } #軌道空間 の要素数 |X/G|＝k はいくつだろうか?

#群論入門_作用と軌道編 61 Xにおける 相異なる #軌道 の個数は #軌道空間 の要素数 |X/G|　① と書ける. ある1つの軌道 G x の中に含まれる 要素の個数| G x |は #ラグランジュの定理 の変形である #軌道・固定群定理 |G x| |G_x|＝|G|　② から計算できる. ②を使い①を計算できないか？

#群論入門_作用と軌道編 60 Q. #群 Gの #作用 に関する 集合Xの「#軌道 全体の集合」 どう表記するか 何と呼ぶか A. X/G と表記. 名称 ・Gの作用によるXの #商(quotient) ・幾何学的な設定では #軌道空間(orbit space) ・代数的な設定では #余不変式(coinvariant)の空間. X_G で表される.

#群論入門_作用と軌道編 59 Q. 1つの #軌道 は 1つの #同値類 である. どういう事か A. 集合Xの各要素の 軌道全体の成す集合は 集合 X の #類別 を与える. この類別に対応する #同値関係 ～: x～y (x,y∈X) ⇔ gx＝y となる g∈G が存在. ⇔ x,yが属する軌道が一致. (G x ＝ G y)

#群論入門_作用と軌道編 58 Q. #群 Gの #位数 は n. 集合 X の要素数は N. Xの全要素 x_1, x_2, …, x_N に対し GがXの元に #作用 してできる #軌道 G x_1, G x_2, …, G x_N を考えると XはN個の異なる軌道を持つ事になる？ A. そうとは限らない. N個の軌道が異なるという保証はない.

#群論入門_作用と軌道編 57 ここまで 集合X内の任意の1つの元xに注目し そのxの #軌道 G x を考えてきた. 軌道G x上に存在する 各元 g_i x はどれも 集合Xの要素である. ここで視点を広げ， 集合X内にある全ての元 x_1, x_2, … に注目し 各元ごとに軌道 G x_1, G x_2, … を考えてみよう.

#群論入門_作用と軌道編 56 Q. #固定部分群 の #位数 |G_x| と， #群 Gの元による 集合Xへの #作用 の #不動点 の個数 |X^g| との間に成り立つ等式は. A. Σ_x |G_x| ＝ Σ_g |X^g| 両辺共に 「GとXの組み合わせで生まれる 全ての不動点の個数」 ＝ | { (g, x)∈G×X | gx=x } | に等しい.

#群論入門_作用と軌道編 55 Q. #不動点 の集合 X^g = { x∈X | gx=x } の要素数の総和 Σ_g |X^g| は何を意味する? A. 「gが #作用 した時に不動点となる 集合Xの元を全部集める」(=X^g) という操作を #群 G内の全ての元で総和 ↓ 「GとXの組み合わせで生まれる 全ての不動点の個数」を指す.

#群論入門_作用と軌道編 54 Q. #固定部分群 G_x = { g∈G | gx=x } の要素数の総和 Σ_x |G_x| は何を意味する? A. 「点xが #不動点 となる #群 Gの元を全部集める」(=G_x) という操作を 集合X内の全ての点について総和. すなわち 「GとXの組み合わせで生まれる 全ての不動点の個数」を指す.

#群論入門_作用と軌道編 53 Q. 集合 X に #作用 する #群 G があり g∈Gである時 X^g と X^G は どう異なるか A. X^g = { x∈X | gx=x } X^G = { x∈X | ∀g∈G→gx=x } X^g はGの1個の元gで #固定 されるXの元の集合. X^G はGの全ての元で固定されるXの元の集合. X^Gのほうが条件が強い.

#群論入門_作用と軌道編 52 Q. 集合 X に #作用 する #群 G がある時 X^G は何を表すか. A. 「集合 X の元のうち， 群 G の全ての元で #固定 されるようなもの」 をすべて集めた集合. X^G ＝ { x | x∈X, ∀g∈G → gx＝x }

#群論入門_作用と軌道編 51 Q. ①#固定部分群: G_x = { g∈G | gx=x } ②#不動点 の集合: X^g = { x∈X | gx=x } ↑ 何が似て 何が異なる? A. ① #固定「される」側として 集合Xの1個の元xを決めて， Gの元を集める. ② 固定「する」側として #群 Gの1個の元gを決めて， Xの元を集める.

#群論入門_作用と軌道編 50 Q. x∈集合Xと g∈群Gを考える. ① G_x ② X^g の定義を混同せず思い出せるか A. ① #固定部分群: 「Xの元xを #固定 するGの元全体」という #群. G_x = { g∈G | gx=x } ② #不動点 の集合: 「Gの元gで固定されるXの元全体」という集合. X^g = { x∈X | gx=x }

#群論入門_作用と軌道編 49 Q. 集合 X に #作用 する #群 Gがあり， G のある元 g がある時 X^g は何を表すか. A. 「g で #固定 される X の全ての元の集合」 X^g ＝ { x | x∈X, gx＝x } 「群の元 g による X の #不動点」の集合.

#群論入門_作用と軌道編 48 ここまでで #群 Gから集合Xへの #作用 において 「集合Xの1点xを #固定【する】ようなGの元をすべて列挙」し， #固定部分群 G_x という集合の性質を考えた. ここからは，その逆に 「群Gの1元gにより 固定【される】ようなXの元をすべて列挙」 してみよう.

#群論入門_作用と軌道編 47 Q. 「#軌道 G x」という集合と 「#固定部分群 G_x」という集合とは 互いにいわば「反比例」みたいな関係にある. どういう事か. A. #軌道・固定群定理 より |G x| ＝ |G| / |G_x|. 固定部分群が大きいほど 軌道は小さい. 固定部分群が小さいほど 軌道は大きい.

#群論入門_作用と軌道編 46 Q. 「#群 Gによるxの #固定部分群 G_x」 定義と意義を言えるか? A. 定義は xを #固定 するGの全ての元. 意義は， 「#軌道 G x内の要素数が 群Gの #位数 よりも どれだけ少なくなるか?」の比. G x内に重複がどれだけ多いか という情報を測る尺度なのである.

#群論入門_作用と軌道編 45 Q. #群 Gの要素数(#位数)と， Gがxに #作用 した時の #軌道 G x内の (集合として重複排除した)要素数との 比は? A. #軌道・固定群定理 より |G x|＝|G|/|G_x|. xの軌道内の要素数は Gの要素数より 1/|G_x|倍だけ小さい. つまり比は #固定部分群(の位数の逆数).

#群論入門_作用と軌道編 44 Q. #位数 nの #群 Gの全ての元が xに #作用 する仕方 g_i x (1≦i≦n) はn通り. そこから重複を除去した #軌道 G x={g_i x | 1≦i≦n} の「集合としての」要素数 |G x| は nに等しい? A. #軌道・固定群定理 より |G x|＝|G| / |G_x| 一般に |G|=n より小さい.

#群論入門_作用と軌道編 43 #位数 nの #群 Gの全ての元が xに #作用 した時のxの #軌道 を 輪っかで再び図示 ┌ ex=x │｜ │g_1 x │｜ │g_2 x │｜ │… │｜ └ g_{n-1} x 図のg_i xどうし 互いに等しい物が「かなりある」ので |G x| は |G|=n より小さくなる. その小ささの「比」は?

#群論入門_作用と軌道編 42 Q. ①#ラグランジュの定理 |G|=|G:H| |H| ②#軌道・固定群定理 |G|=|G:G_x| |G_x| (=|G x| |G_x|) #指数 を「/」で |G/H|, |G/G_x| と書いてもOK? A. OKだが #剰余群 でなく #剰余類 を表す点に注意. ①②とも #部分群 として #正規部分群 でない場合も成立.

#群論入門_作用と軌道編 41 Q. 「#剰余類 G/H が #剰余群 になるのは #部分群 H として #正規部分群 を扱う場合だけ.」 ↑ 復習plz A. 正規部分群 N を使うと 剰余類 G/N では 剰余類による #類別 の #類 どうしの間で #同値関係 と #二項演算 が #両立 するので G/N は #群(剰余群)になる.

#群論入門_作用と軌道編 40 Q. 復習だが，#指数 を |G:H|＝|G/H| |G:G_x|＝|G/G_x| と表記する事もある. スラッシュでの表記は #剰余群 を表すか？ A. そうとは限らない. スラッシュを使った記法は 剰余群ではなく #剰余類 を表す. 剰余類が剰余群になるのは #正規部分群 を扱う場合だけ.

#群論入門_作用と軌道編 39 #軌道・固定群定理 という用語の中にある 「#固定群」というのは， #固定部分群 のこと. Orbit-stabilizer theorem and Burnside's lemma en.wikipedia.org/wiki/Group_act… Orbits and stabilizers are closely related. #軌道 と固定化部分群は密接な関係にある.