#群論入門_剰余類編 24 Q. #二項関係「≠」を 「実数として値が異なる」 という意味で用いる場合 #同値関係 の定義式の #推移律 を満たすか? A. 実数a,b,cに対し a≠b かつ b≠c の時 a≠cとは限らない. よって推移律は成り立たない. 「a≠b≠c」と書いた時に 「a≠c」とは言えない.

#群論入門_剰余類編 23 #二項関係 (binary relation) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C… 集合 A 上の二項関係は 「#直積 集合 A^2 = A × A の部分集合」 として定義される. ↓ が，それだとちょっと難しいので とりあえず今のところ 「2元どうしの間の関係性」と考えればよい.

#群論入門_剰余類編 22 Q. #同値関係 を表す際 a～b や aRb などの記号を使うようですが Rって何ぞ A. Relation の頭文字 R でしょう. 同値関係の3つの定義式を 満たすような関係性であれば 何でもかまわないので， とりあえず一般的・抽象的に 「関係(Relation)」とおいているのです.

#群論入門_剰余類編 21 Q. #同値関係 の定義 記憶しづらい. A. #二項関係 の対象(＝登場人物) となる元の個数が各々 1個，2個，3個である事に注目するとよい. (1) #反射律 a～a 元はaの1個 (2) #対称律 a～b⇒b～a 元はa,bの2個 (3) #推移律 a～b, b～c⇒a～c 元はa,b,cの3個

#群論入門_剰余類編 20 Q. #同値関係 の(3)「#推移律」 どういう意味か A. 推移関係 (transitive relation) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8… 集合のある3元 a, b, c と ある #二項関係 R について， a と b に R が成り立ち b と c に R が成り立つ時 a と c にも R が成り立つということ.

#群論入門_剰余類編 19 Q. #同値関係 の(2)「#対称律」 どういう意味か A. 対称関係 (symmetric relation) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 集合のある2元 a, b と ある #二項関係 R について， aRb が成り立つなら bRa も成り立つということ.

#群論入門_剰余類編 18 Q. #同値関係 の「#反射律」が 成り立たないような #二項関係 の例は？ A. 例えば，不等号「＞」について a＞aは成り立たないので 二項関係「＞」は反射律を満たさない。 反射律を満たさないので， 「＞」は同値関係ではない。

#群論入門_剰余類編 17 Q. #同値関係 の(1)「#反射律」 どういう意味か A. 反射関係 (reflexive relation)， 反射性 (reflexivity) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D… 集合のある元 a と ある #二項関係 R について， aが自分自身とRの関係にあるということ. aRa 対義語は 無反射性 (irreflexivity)

#群論入門_剰余類編 16 Q. 数学における #同値関係 とは. A. 下記の3つの条件を満たす 関係性(#二項関係)「～」のことを 同値関係と呼ぶ. (1) #反射律 a～a (2) #対称律 a～b ⇒ b～a (3) #推移律 a～b, b～c ⇒ a～c

#群論入門_剰余類編 15 ・(#類別 の #類 の)#代表元: representative ・(類別の)#完全代表系: complete system of representatives Transversal (combinatorics) en.wikipedia.org/wiki/Transvers… 完全代表系を system of distinct representatives; SDR とも表記 ※意味合いは異なる場合がある

#群論入門_剰余類編 14 Q. 集合Aの #類別(#分割) A＝A_1＋A_2＋… の #完全代表系 とは A. 各 #類 A_i の #代表元 を 1つずつ任意に選び a_i とし， 代表元の集合 { a_1, a_2, … } を この類別の完全代表系と呼ぶ. 代表元の選び方は任意性があるので 完全代表系の作り方も任意性がある.

#群論入門_剰余類編 13 集合の #分割 (Partition of a set) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86… ・ある集合X全体を 互いに重ならない部分(ブロック，セル)に分けること ・集合Xの分割は 『「Xの空でない部分集合」(＝#類)の集合』. Xの個々の元xは 必ず1つの部分集合(＝類)にのみ属している.

#群論入門_剰余類編 12 Q. #類別(#分割)において #類 の #代表元 の選び方に 任意性を仮定してよいのはなぜ? A. 類別において類同士に共通部分は無く， どんな代表元の選び方をしても 1つの代表元は必ず1つの類のみに属し， ある代表元がどの類を指す(代表する)か 重複や混同の恐れはない.

#群論入門_剰余類編 11 Q. 集合 A の #類別(#分割) A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ … において， 類 A_i の #代表元 とは A. ある1つの #類 A_i 内で 自由に選んだ1つの元 a_i を考える時， 元 a_i を 類 A_i の代表元という. 1つの類の中で 代表元の選び方は任意性がある. (どれを選んでもよい)

#群論入門_剰余類編 10 #非交和(ひこうわ，disjoint union) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E… #集合論 において 集合族の #直和(direct sum)は， 交わりを持たない和(disjoint union). すなわち その族に属する部分集合の どの2つも #互いに素(pairwise disjoint) である時の，通常の合併を指す.

#群論入門_剰余類編 9 集合論的 #直和: ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4… 互いに交わらない (＝共通部分が空である，#互いに素 である) ような集合どうしの 合併(disjoint union，#非交和). 直和を表すのに用いられる記号は ⊕　circled plus, oplus ∐　coproduct ⊔　square cup など.

#群論入門_剰余類編 8 Q. ある集合Aの #直和分割(#直和分解)とは. A. 集合Aの #類別(#分割) A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …　① において， ①の式を A ＝ ∪_i (A_i)　② と表記し， この類別における全ての #類 A_i の集合を 「Aの直和分割」， ②の式を A_i の #直和 と呼ぶ.

#群論入門_剰余類編 7 類別 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C… 集合Sの 空集合を含まない部分集合族Mで， Mのどの2つの相異なる集合も交わりを持たず Mの和集合がS全体に一致する時， #集合族 Mを 集合Sの ・ #類別，分類 (classification) あるいは ・ #分割(partition) という.

#群論入門_剰余類編 6 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0… 集合の個数が3つ以上の場合も 「互いに素」を定義できる. ある #集合族 が ・ #互いに素(pairwise disjoint)あるいは ・素集合系(disjoint sets) とは 「その集合族に含まれる どの2つの集合を選んでも 常に共通部分を持たない」こと.

#群論入門_剰余類編 5 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0… 2つの集合が ・交わりを持たない(disjoint) あるいは ・ #互いに素(mutually disjoint) とは， その2つの集合が共通の元を持たないこと. ※ちなみに， 整数どうしの「互いに素」は coprimeや relatively prime という.

#群論入門_剰余類編 4 Q. 1) 2つの集合 A, B が #互いに素 とは. 2) 3つ以上の集合どうしが 互いに素とは. A. 1) A, B が共通の元を持たないこと. A ∩ B ＝ ∅ 2) どの2つの集合を選んでも 常に共通の元を持たないこと. 集合の #類別(#分割)において #類 どうしは互いに素.

#群論入門_剰余類編 3 Q. 集合Aの #類別(#分割)が A ＝ A_1 ∪ A_2 ∪ … である時， 1) この類別を＋記号で書きなおせ 2) 各 A_i を何と呼ぶか A. 1) A の類別を，＋の記号を使い A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ … と書く場合がある. 2) 類別の式に現れる各 A_i を この類別の #類 という.

#群論入門_剰余類編 2 Q. 集合Aの #類別(#分割)とは A. Aの部分集合 A_1, A_2, … が 下記3つを満たせば ①をAの類別という. 1) Aはそれらの和集合 A ＝ A_1 ∪ A_2 ∪ …　① 2) A_i 同士に共通部分が無い i≠j → A_i ∩ A_j ＝ ∅ 3) どの A_i も空集合でない ∀i, A_i ≠ ∅

#群論入門_剰余類編 1 ↑ このタグでは #部分群 や #巡回部分群 を既知として 下記を解説しますぞ！ ▶集合の… ・ #分割(#類別)，#類 ・ #同値分割，#同値類 ▶#群 での… ・ #左合同，#左剰余類，#左分解 ・ #右合同，#右剰余類，#右分解 ▶部分群の… ・ #指数 ・ #ラグランジュの定理

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