#代数学のbot連ツイのタグ その1 ▶群論 ①#群論の初歩 ②#代数系の初歩 ③#巡回群とは ④#群論入門_正規部分群編 ⑤#群論入門_剰余類編 ⑥#群論入門_剰余群編 ⑦#群論入門_中心化群と類等式編 ⑧#群論入門_置換群編 ⑨#群論入門_作用と軌道編 ⑩#群論の知識

#群論入門_中心化群と類等式編 51 ↑ このハッシュタグの復習 ▶中心化群について: ・群の… #中心 #中心化群 #正規化群 ▶類等式について: ・ #共役類 が #類別 を与えること. ・共役変換の結果を分類する際に 中心化群による剰余類が現れること. ・ #類等式 全部思い出せますかな

#群論入門_中心化群と類等式編 50 英語名称の復習 群の #中心 center (独 das Zentrum) 中心を持たない centerless #中心化群 centralizer #正規化群 normalizer #類等式 class equation 練習問題: ・類等式も，ラグランジュの定理も，部分群による分解であるが，違いを英語で説明せよ.

#群論入門_中心化群と類等式編 49 #群 の #位数 を 自然数の和に分解する方法… ①各項の値がみな等しく 全項で共通の1つの #部分群 を使う場合は #ラグランジュの定理 であり #剰余類 への分解. ②各項の値が異なり 各項で異なる部分群を使う場合は #類等式 であり #共役類 による #類別.

#群論入門_中心化群と類等式編 48 #類等式 (class equation) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1… ① #群 の #位数 |G| の約数 についての情報 ② 群Gの #中心 や #共役類 の元の数 についての情報 この２つは， 類等式によって密接に結びついている ということになる.

#群論入門_中心化群と類等式編 47 Q. #類等式 |G| ＝ Σ_i |G : C(a_i)| 「|G| のある約数 |G : C(a_i)| 達の和が |G| に等しい」 ↑ Gの #位数 の 「約数の総和」ということ？ A. 総和といった場合は 全ての約数の和になってしまうが， 類等式は「ある約数たちの特定の組み合わせの和」.

#群論入門_中心化群と類等式編 46 #群 Gの #類等式 |G| ＝ Σ_i |G : C(a_i)| 各項は #指数 だから |G| の約数であり 「約数の縛りを考慮した 類等式の制約の範囲内でしか #共役類 は存在できない」. また，一般に群Gについて常に 「|G| のある約数 |G : C(a_i)| 達の和が |G| に等しい」.

#群論入門_中心化群と類等式編 45 ・先述の通り，#群 Gの #共役類 {K_i} への #類別 を考えれば |G|＝Σ_i |K_i| ・ #中心化群 の #指数 を使うと K_i の #代表元 a_iに対し |G : C(a_i) | ＝ |K_i| で， 共役類の類別の #完全代表系{a_i}により |G| ＝ Σ_i |G : C(a_i)| これがGの #類等式.

#群論入門_中心化群と類等式編 44 ・「同じ #左剰余類 に属すれば #共役変換 の結果も等しい」 という性質より 「a_i の異なる #共役元 (共役変換の結果の値)の総数」が出せる. それが「共役類 K_i の要素数」. ・左剰余類の個数は #部分群 の #指数 ゆえ #中心化群 の指数が |K_i| となる.

#群論入門_中心化群と類等式編 43 #共役類 と #中心化群 で #群 の #位数 を表すための話の流れ② ・1つの共役類 K_i の 要素数 |K_i| を求めるには… ・K_i 内のある #代表元 a_i をとると K_i＝(a_i)^Gと書ける ・中心化群C( a_i )で Gを #左分解 した時の #指数 |G : C(a_i)|＝|K_i|

#群論入門_中心化群と類等式編 41 Q. #群 Gのある元 x の #共役類 は x^G ={x^g | g∈G} ={g^{-1} x g | g∈G} 共役類の1つの元 y ∈ x^G をとると xとyの関係は？ A. xとyが共役なら あるg∈Gが存在し g^{-1} x g＝y ① ①を変形すると x g ＝ g y どことなく #交換法則 の式に似ている.

#群論入門_中心化群と類等式編 40 Q. 「 |G| を #共役類 の要素数の和で表す」 ということを考えてゆく. ところで，共役類って何だったか復習plz A. #群 Gのある元xの #共役元(#共役変換 の結果の値)全ての集合を 元xの共役類と呼び x^G ={ x^g | g∈G } ={ g^{-1} x g | g∈G } と表記.

#群論入門_中心化群と類等式編 39 #剰余類 の所で， #群 Gの #位数 |G|を分解すると… ①#部分群 の位数と #指数 の積で表せる. (#ラグランジュの定理) という事を学んだ. 実はさらに|G|は… ②#共役類 の要素数の和で表せる. ③#中心化群 の指数の和で表せる. という 別の分解方法がある.

#群論入門_中心化群と類等式編 38 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD… #群 Gの部分集合Sの… ①#中心化群(centralizer) C(S): Sの各元と可換な Gの元全体. ②#正規化群(normalizer) N(S): (集合として)「全体で」Sと可換な Gの元全体. N(S)はGの #部分群. C(S)はN(S)の #正規部分群. G≥N(S)⊳C(S)

#群論入門_中心化群と類等式編 37 Q. #正規化群 とは A. #群 Gのある部分集合Sに対し 「集合としてSg＝gSが成立するような Gの元g」全体の集合は 群かつGの #部分群 で 「群Gにおける部分集合Sの正規化群」と呼び N(S)={g∈G | Sg=gS}と表記. 個々のs∈Sに対し sg=gsとは限らない点に注意.

#群論入門_中心化群と類等式編 36 Q. ある集合の #中心化群 とは A. 「元aの中心化群」のaを集合Sに置き換えたもの. #群 Gの部分集合Sに対し 「Sのどの元とも #可換 なGの元」全体の集合は 群かつGの #部分群 で 「群Gにおける部分集合Sの中心化群」と呼び C(S)={g∈G|sg=gs,∀s∈S}と表記.

#群論入門_中心化群と類等式編 35 #中心化群 とかけて， 「アイドル歌手の周りに 輪になって踊るバックダンサー」 とときます. ※かわりに「キャンプファイヤー」でもOK. その心は…？ どちらも 「ある１つのものを #中心 にして グルグル回る人たち (中心から見て右にも左にも来れる)」.

#群論入門_中心化群と類等式編 34 #群 Gのある元 a を1つ考える時， Gの元 g に対して ag＝ga　① という #交換法則 は 常に成り立つとは限らない. Gの #単位元 eは①を満たし g＝eとおくと ae＝ea a自身も①を満たし g＝aとおくと aa＝aa よって， aの #中心化群 C(a)は eとaを含む.

#群論入門_中心化群と類等式編 33 #群 Gのある元 a を1つ考える時， aを「中心」にして Gの元 g が時計回りに グルグル回転する様子をイメージしてみよう. ① 　(a) g ② 　(a) 　 g ③ g (a) ④ g 　(a) ①と③を抜き出すと a g ＝ g a aを中心に gは 右にも左にも来れる(#可換).

#群論入門_中心化群と類等式編 32 Q. #群 Gのある元aの #中心化群 C(a)＝{ g∈G | ag＝ga } ↑ なぜ「中心化群」という名前なのか？ A. 群の #中心 の定義と同じく aの周りにgという元がグルグル回る様子を考え aを回転の中心に据える集合 ＝aを「中心化」する ※どういう事か次ツイで図説

#群論入門_中心化群と類等式編 31 Q. ある元の #中心化群 とは A. #群 Gのある元aについて 「aと #可換 なGの元全体」からなる集合は 群かつ Gの #部分群 をなし， 「群Gにおける元aの中心化群」と呼んで C(a) ＝ { g∈G | ag＝ga } と表記する. ※群 G の #中心 Z(G) と混同しないこと.

#群論入門_中心化群と類等式編 30 ここまでで 「#群 の #中心」の定義と その意味を考える事ができた. ここからは 中心を発展させた概念として 「#中心化群」というものを考えてみよう. 中心化群を使うと， 群の #位数 を調べる際 #ラグランジュの定理 よりも さらに多くの情報を得られる.

#群論入門_中心化群と類等式編 29 #アーベル群 とかけて 一億総活躍社会ととく. その心は… 「だれもが #中心 になれる」. #群 Gがアーベル群なら Gのどの元zも Gの中心Z(G)の元. その元zを中心に Gの任意の元gが gz=zgのように右にも左にも来れる. zを中心にその周りにgが「回転」できる.

#群論入門_中心化群と類等式編 28 #中心 は，#群 の中で 「eの周りに広がる特別なエリア」. Z(G)={e}だとGの中心は最もせまく Gは非自明な中心を持たない. 一方 Z(G)がeの周りに最も広く広がる時 Z(G)=Gで Gのどの元も zg=gzという「回転」の 中心zの役目を担える. この時Gは #アーベル群.

#群論入門_中心化群と類等式編 27 Z(G)={e}の時 #単位元 eという #中心 の周りを 任意の元gがいわば「回転」でき ge=egだが， e以外のどの元も同じ真似はできず (回転の)#中心 の役目を担えるのはeだけ. gz＝zg(∀g∈G)を満たすzがeのみ. これが，Gの中心がせまい(中心を持たない)という事.

#群論入門_中心化群と類等式編 26 Z(G) ＝ {e} の場合は自明なケースと考え 「#群 G は #中心 を持たない」という. これは，Z(G) が 非自明な( e 以外の)元を含まないという意味. G 内で e 以外のいかなる元も #交換法則 を満たせない， もっとも #非可換 の度合いが強い場合である.

#群論入門_中心化群と類等式編 25 #群 Gの #中心 Z(G)は 必ずGの #単位元 eを含み 「eとその周りにあるG内部の広がり」 と言える. G内にある，この広がりZ(G)という領域は zg＝gzなる #対称性 を生み出せる 特別なエリアなのである. 「中心」と名付けて G内で特別扱いするだけの価値がある.

#群論入門_中心化群と類等式編 24 整理: #群 Gを決めると その #中心 Z(G)も決まる. Z(G)は #アーベル群 で Gの中にZ(G)という群が存在する事になる. 中心という語の字義と同じく Z(G)の周りには #対称性 が存在し， Gの元はZ(G)の元の周りを いわば回転できる(右にも左にも来れて #可換).

#群論入門_中心化群と類等式編 23 Q. #中心 Z(G)の大きさは #群 Gで #交換法則 が【成り立つ】度合い. #交換子群 D(G)の大きさは 群Gで交換法則が【成り立たない】度合い. ↑ D(G)の定義を忘れた A. D(G)=[ G, G ]=‹ [g1,g2] | g1,g2∈G › 自分自身との #交換子 の全体が #生成 する群.

#群論入門_中心化群と類等式編 22 Q. #中心 Z(G)の大きさの意味は #群 Gの「アーベル性の強さ」 (#交換法則 が成り立つ度合い). ↑ 似たような概念が他にもある？ A. 既出だが 群Gの #交換子群 D(G)の大きさの意味は 「群G内で交換法則の成り立たない度合い (非可換性の強さ)」を表す.

#群論入門_中心化群と類等式編 21 Q. ① Z(G)＝{e} ② Z(G)＝G ※#アーベル群 ↑ この2通り以外は? A. #群 の #中心 Z(G)が #単位元 e以外の元を含み かつZ(G)≠Gで アーベル群でない場合もある. 例 hooktail.sub.jp/algebra/GroupC… 素数pを使って |G|＝p^k なら Gの中心は 単位元以外の元を持つ.

#群論入門_中心化群と類等式編 20 #群 の #中心 math.jp/wiki/%E7%BE%A4… 引用： 『#アーベル群 G について， #中心 Z(G) は G と等しくなる。 すなわち， 中心 Z(G) が大きければ大きいほど G は #可換群 に近いのではないか と考えることもできる。』

#群論入門_中心化群と類等式編 19 Q. #群 の #中心 の大きさの意味 A. その群の「アーベル性の強さ」 (#交換法則 が成り立つ度合い). G内で，#単位元 を除くどの要素も 交換法則が成り立たない場合 群の中心は最も小さく Z(G)＝{e}. Gが #アーベル群 なら 群の中心は最も大きく Z(G)＝G.

#群論入門_中心化群と類等式編 18 #アーベル群 とかけて ジコチューととく。 その心は…？ 自己中心的だから ※#群G がアーベル群なら， その #中心 はG自身である。 Z(G)＝G ※自己中とは： ja.wiktionary.org/wiki/%E8%87%AA… 「幼児性万能感を持って世の中に出ている人のこと。」

#群論入門_中心化群と類等式編 17 Q. #群 Gが #アーベル群 である時 Gの #中心 Z(G)を求めよ. A. 中心の定義は Z(G)＝{ z∈G | zg＝gz (∀g∈G) } であるが， アーベル群Gの任意の2要素z,gについて zg＝gz が成り立つので Gの任意の元zはZ(G)に属する. よってアーベル群の場合は Z(G)＝G

#群論入門_中心化群と類等式編 16 Q. #群 G の #中心 Z(G) は #アーベル群 である事を示せ. A. 前ツイまでで確認したように Z(G) は G の #部分群 として 群の3 #公理 を満たす. また Z(G) 上では #交換法則 が成り立つ. よって Z(G) はアーベル群(#可換群)の4公理を満たす.

#群論入門_中心化群と類等式編 15 Q. #群 G の #中心 Z(G) は #二項演算 が #交換法則 を満たす事を示せ A. 中心の定義より 群Gの任意の元gに対し Z(G)＝{z∈G | zg=gz (∀g∈G)} …① Z(G)の任意の2元x, yに対し yはGの元でもあるから， Z(G) の定義①を適用すれば xy＝yx が成立.

#群論入門_中心化群と類等式編 14 Q. #群 G の #中心 H＝Z(G) が Gの #部分群 であるだけでなく Gの #正規部分群 でもあることを示せ. A. 中心の定義より Hの任意の元は Gの任意の元と #可換. よって Hの任意の元hを Gの任意の元gで #共役変換 すると g^{-1}hg ＝g^{-1}gh ＝h ∈ H ∴G⊳H

#群論入門_中心化群と類等式編 13 Q. #群 G の #中心 Z(G) は Gの #部分群 である事を示せ A. 前ツイまでの議論より Z(G)の #二項演算 は #閉じている. Z(G)の二項演算は #結合法則 を満たし #単位元 と #逆元 が存在. よってZ(G)は群の #公理 を満たし Gの部分集合だから Z(G)はGの部分群.

#群論入門_中心化群と類等式編 12 Q. #群 Gの #中心 Z(G)の任意の元は Z(G)内に #逆元 を持つ事を示せ A. Z(G)の元zは群Gの元で G内にz^{-1}が存在. Z(G)の定義より gz=zg 左からz^{-1}をかけ z^{-1}gz=z^{-1}zg=g 右からz^{-1}をかけて ∴z^{-1}g=gz^{-1} z^{-1}とgが可換 ∴z^{-1}∈Z(G)