#代数系の初歩 22 Q. #準群 がもつ「除法」とは. A. #マグマ Ｑの任意の2元 a, b について ax＝b をみたすxと ya＝b をみたすyが存在する時， Qを準群と呼ぶ. つまり，ある1つの元aに 左または右から 何か(xやy)を作用させることで， 必ずQ内の他の元bに作り替えられる ということ.

#代数系の初歩 21 Q. マグマに #結合法則 を課さないまま #逆元 や #単位元 の存在を課したら どうなるか A. #二項演算 が #閉じている 集合: #マグマ ↓ マグマに「除法」演算の存在を課す: #準群 ↓ 準群に単位元の存在を課す: #擬群 ↓ 擬群に結合法則を課す: #群

#代数系の初歩 20 Q. #半群 を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 正の整数が全て出る 特殊なサイコロを考える. #単位元 がないので サイコロの目に0は無い. (動かない=1回休み，が不可能で立ち止まれない) #逆元 がないので 進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 19 Q. #モノイド を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 0と正の全整数が出るような 特殊なサイコロを考える. #単位元 を持つので サイコロの目に0がある. (0進む=動かない=1回休み) #逆元(負の目)が無いので 進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 18 Q. #群 を 数直線上の格子点を動く すごろくで例えると… A. 0を含む正負すべての整数が出るような 特殊なサイコロを考える. #単位元 を持つので サイコロの目に0がある. (0進む=動かない=1回休み) #逆元 を持つので +2進んだら -2で戻るなど後退(バック)も可能.

#代数系の初歩 17 Q. マグマから アーベル群までの5段階で 1つずつ条件を増やせ A. 　　#マグマ: 閉 　　　#半群: 閉 結 　#モノイド: 閉 結 単 　　　　#群: 閉 結 単 逆 #アーベル群: 閉 結 単 逆 換　 閉 #二項演算 が #閉じている 結 #結合法則 単 #単位元 逆 #逆元 換 #交換法則

#代数系の初歩 16 Q. マグマ 半群 モノイド 群 を順に定義 A. 集合が #内算法 を持てば #マグマ マグマに #結合法則 を課すと #半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ) 半群に #単位元 の存在を課すと #モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ) モノイドに #逆元 の存在を課すと #群

#代数系の初歩 15 Q. 「半群」の定義が どうしても記憶できない A. 1.#二項演算 が #閉じている 2.#結合法則 3.#単位元 4.#逆元 #群 はこの4条件を満たすが #半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。 群の「半分」の条件しか満たさないので "半群" なのです… と記憶できるかも?

#代数系の初歩 14 #モノイド(monoid) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2… ・単系(たんけい)とも呼ぶ. ・1つの #二項演算 と #単位元 をもつ #代数的構造 であり， #結合法則 を満たす. ・モノイドは 「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」) なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 13 #半群(semigroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A… ・各元が #逆元 を持つとは限らない点と #単位元 も無いかもしれない点で #群 と異なる. ・台集合が有限集合である半群: 有限半群 (finite semigroup) ・台集合が無限集合である半群: 無限半群 (infinite semigroup)

#代数系の初歩 12 #結合法則(associative law) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90… 結合性(associative property, associativity): 結合律，結合則. 一部の #二項演算 が持つ性質. 被演算子の並びが変わらない限り 全体の演算結果に影響を与えない. #群，#モノイド，#半群 の公理の一つ.

#代数系の初歩 11 Q. #半群，#モノイド とは. A. #群 の #公理 のうち #結合法則 を満たすものが半群. #単位元 や #逆元 の存在は要請しない. 群の公理のうち 結合法則と， 単位元の存在を満たすものがモノイド. 逆元の存在は要請しない.

#代数系の初歩 10 #マグマ (数学) 英:magma ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E… ・ #亜群(あぐん, groupoid)とも呼ばれる. ただしこれとは別に， #圏論 に「亜群」という用語があるので 混同してはならない. ・ #二項演算 が #閉じている ことを要求し それ以外の何らの #公理 も課さない.

#代数系の初歩 9 Q. #代数学 において #マグマ とは. A. ある集合Mにおいて 「#閉じている 二項演算」(#内算法) が定義されていれば， Mをマグマと呼ぶ. (※ #ブルバキ が導入した呼び名) その #二項演算 は #結合法則 を満たす必要はなく， #単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#代数系の初歩 8 #二項演算 (binary operation) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C… ・数の四則演算(加減乗除)などの 「2つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念. ・二項算法，結合などとも呼ぶ. ・単に「積」とか「乗法」と呼ぶこともある.

#代数系の初歩 7 Q. #二項演算 の場合， #内算法 を何と呼ぶか. A. ある二項演算がGの内算法であれば その二項演算を Gの「内部二項演算」 「二項内算法」のように呼ぶ. 要は，集合内で #閉じている 二項演算を指す. 演算結果が集合の外側にはみ出てしまったら 内算法とは呼べない.

#代数系の初歩 6 Q. #内算法(ないさんぽう) #外算法(がいさんぽう)とは A. ある集合Gの元に対して 演算操作が定義されている時に， その演算がGに対して #閉じている なら その演算をGの #内算法 と呼ぶ. 逆に， その演算がGに対して閉じていないなら その演算をGの #外算法 と呼ぶ.

#代数系の初歩 5 Q. ある #代数的構造 G が ある #二項演算 について #閉じている とはどういう意味か A. G内の任意の2つの元 x, y を引数にとって 二項演算を実行した際 演算の結果である xy も必ずGに属している ということ. 要は，演算の結果が 集合からはみ出ないということ.

#代数系の初歩 4 Q. #代数学 において #二項演算 とは何か. A. ある集合 G の 2つの元 x, y を引数にとって， 新たな1つの元 z を生み出す操作のこと. #群 の2元に関する演算 xy #加法群 の2元に関する演算 x＋y などは二項演算である.

#代数系の初歩 3 代数的構造 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3… ・ #代数的構造(algebraic structure) #ブルバキ が導入した概念. ・代数的構造の具体例は #群 #環 #体 など. ・代数的構造を持つ集合は #代数系(algebraic system). ・代数系を研究するのが #代数学.

#代数系の初歩 2 Q. #代数的構造 と #代数系 の違い および2者の関係は A. 代数的構造: 演算や算法で決まる 集合の「構造」のこと. 代数系: 代数的構造を持つ「集合」のこと. 様々な代数系から それらが共通してもつ原理的な性質を抽出し 抽象化・ #公理 化したものが 代数的構造.

#代数系の初歩 1 ↑ このハッシュタグでは #群論 の土台となる抽象 #代数学 の 初歩を俯瞰するため 下記の事項を学びますぞ！ ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群)

#代数学のbot連ツイのタグ その1 ▶群論 ①#群論の初歩 ②#代数系の初歩 ③#巡回群とは ④#群論入門_正規部分群編 ⑤#群論入門_剰余類編 ⑥#群論入門_剰余群編 ⑦#群論入門_中心化群と類等式編 ⑧#群論入門_置換群編 ⑨#群論入門_作用と軌道編 ⑩#群論の知識