#代数系の初歩 29 このハッシュタグの復習: ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群) 全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28 英語名称の復習 #代数的構造 algebraic structure #代数系 algebraic system #二項演算 binary operation #簡約法則(簡約律) cancellation property #マグマ magma #亜群 groupoid #半群 semigroup #モノイド monoid #準群 quasigroup, quasi-group #擬群，ループ loop

#代数系の初歩 27 Q. マグマから群まで 1つずつ条件を増やせ A. 結合法則を最初に課す場合: 　#マグマ: 閉 　　#半群: 閉 結 #モノイド: 閉 結 単 　　　#群: 閉 結 単 逆 結合法則を最後に課す場合: 　#マグマ: 閉 　　#準群: 閉 　 　 除 　　#擬群: 閉 　 単 逆 　　　#群: 閉 結 単 逆

#代数系の初歩 26 Q. #擬群 とは. A. #準群 に #単位元 e の存在を課したもの. 除法と単位元の存在より， 任意の元が #逆元 を持つことになる. #擬群(loop) en.wikipedia.org/wiki/Quasigrou… ・別名「ループ」. ・ #結合法則 は課されない.

#代数系の初歩 25 #準群(Quasigroup, quasi-group) en.wikipedia.org/wiki/Quasigroup ・空でない #マグマ で，除法が常にできるもの. ("division" is always possible) 「逆マグマ」とも呼ぶ ・結合法則は課されない(not necessarily associative) ・単位元を持てば「ループ(#擬群)」と呼ぶ

#代数系の初歩 24 Q. #準群 と #群 を比較せよ. A. 共通した性質: ・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ) 群の場合: ・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす. 準群の場合: ・単位元や結合法則は要請されない. ・逆元のかわりに「除法」が定義される.

#代数系の初歩 23 Q. #準群 Ｑの任意の2元a,bに対し ① ax=bなるxと ② ya=bなるyが存在. a=bの時 ①' ax＝a ②' ya＝a この式から 「#準群 には #単位元 も存在」と言えるか? A. ①' ②' で一般にx≠y. さらに元aごとに①' ②' をみたすx,yは異なる。 よってＱに単位元は一般に無い。

#代数系の初歩 22 Q. #準群 がもつ「除法」とは. A. #マグマ Ｑの任意の2元 a, b について ax＝b をみたすxと ya＝b をみたすyが存在する時， Qを準群と呼ぶ. つまり，ある1つの元aに 左または右から 何か(xやy)を作用させることで， 必ずQ内の他の元bに作り替えられる ということ.

#代数系の初歩 21 Q. マグマに #結合法則 を課さないまま #逆元 や #単位元 の存在を課したら どうなるか A. #二項演算 が #閉じている 集合: #マグマ ↓ マグマに「除法」演算の存在を課す: #準群 ↓ 準群に単位元の存在を課す: #擬群 ↓ 擬群に結合法則を課す: #群

#代数系の初歩 1 ↑ このハッシュタグでは #群論 の土台となる抽象 #代数学 の 初歩を俯瞰するため 下記の事項を学びますぞ！ ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群)