#環論の初歩 16 Q. #可換環 の事を #可換代数 とも呼ぶの? A. 朝倉書店「加群十話」冒頭に 可換環の #公理 を満たす #代数系 を 「文字通り可換代数と呼んでいる」とある. その事に深入りできるのは 数学科上級生で アティマクの名著「可換代数入門」 など読むレベルになってからでしょう.

#環論の初歩 1 Q. #環 の3 #公理 A. #代数系 Rが2種類の #二項演算 和＋と積・を持ち ①和について #加法群 ②積について #モノイド で #結合法則 (a・b)・c＝a・(b・c) ※#単位元 を要請しない場合もある. ③和に対する積の #分配法則 (a+b)・c＝a・c+b・c a・(b+c)＝a・b+a・c

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) p6より引用: 『#加法群(additive group)と #加群(module)は， #欧語 では対応する語の ニュアンスが少し違っている。 加群という言葉は， 他の #代数系 と組み合わされ #G加群 とか #D加群 という形で もっぱら使用される。』

#群論入門_作用と軌道編 2 Q. 数学において一般に #作用 とは. A. 作用 (action, operation) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C… [#代数系 ①] に [その上の変換 #写像 の集まりを #代数的構造 ②として] 考え合わせたもの. たとえば ①として何かの集合X ②として #群 Gを選び GをXに作用させる.

#解析力学_Hamilton形式編 59 ①#歪対称性 ②#分配則(#ライプニッツ則) ③#ヤコビの恒等式 上記3つの性質を #公理 に持つ #代数系 は #ポアソン括弧 以外にも作れる. 例えば #軌道角運動量 ベクトルが満たす 「#角運動量 の代数」が挙げられ， #リー代数 の最も簡単な例となっている.

#解析力学_Hamilton形式編 59 ①#歪対称性 ②#分配則(#ライプニッツ則) ③#ヤコビの恒等式 上記3つの性質を #公理 に持つ #代数系 は #ポアソン括弧 以外にも作れる. 例えば #軌道角運動量 ベクトルが満たす 「#角運動量 の代数」が挙げられ， #リー代数 の最も簡単な例となっている.

#巡回群とは 20 Q. N乗して1になる複素数を z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N) とおく. 集合 S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 } から #巡回群 を作れ. A. S上の #二項演算 として 乗法を導入した #代数系 をGとおくと， G は z(N, 1) を #生成元 とする #位数 Nの有限巡回群.

#代数系の初歩 29 このハッシュタグの復習: ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群) 全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28 英語名称の復習 #代数的構造 algebraic structure #代数系 algebraic system #二項演算 binary operation #簡約法則(簡約律) cancellation property #マグマ magma #亜群 groupoid #半群 semigroup #モノイド monoid #準群 quasigroup, quasi-group #擬群，ループ loop

#代数系の初歩 3 代数的構造 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3… ・ #代数的構造(algebraic structure) #ブルバキ が導入した概念. ・代数的構造の具体例は #群 #環 #体 など. ・代数的構造を持つ集合は #代数系(algebraic system). ・代数系を研究するのが #代数学.

#代数系の初歩 2 Q. #代数的構造 と #代数系 の違い および2者の関係は A. 代数的構造: 演算や算法で決まる 集合の「構造」のこと. 代数系: 代数的構造を持つ「集合」のこと. 様々な代数系から それらが共通してもつ原理的な性質を抽出し 抽象化・ #公理 化したものが 代数的構造.

#代数系の初歩 1 ↑ このハッシュタグでは #群論 の土台となる抽象 #代数学 の 初歩を俯瞰するため 下記の事項を学びますぞ！ ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群)

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) p6より引用: 『#加法群(additive group)と #加群(module)は， #欧語 では対応する語の ニュアンスが少し違っている。 加群という言葉は， 他の #代数系 と組み合わされ #G加群 とか #D加群 という形で もっぱら使用される。』