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#解析力学_保存量と対称性編 15 Q. #包合系 とは A. involution system ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 自由度nの #ハミルトン力学系 に n個の独立な #第一積分(#保存量) F_1, ..., F_n が存在し それらの #ポアソン括弧 が #可換 { F_i, F_j }＝0 である時 これらの第一積分は包合系をなすという.
#解析力学_保存量と対称性編 13 Q. #ハミルトン力学 において， #ネーターの定理 に基づき 系の #保存量 をどのように表現できるか A. 下記URLの導出を参照. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… #ハミルトニアン H との #ポアソン括弧 { H, G_δ } を使って， 保存量 G_δ を表現している.
#解析力学_Hamilton形式編 64 整理: ▶#古典力学 の #ポアソン括弧 の式 {x,p}=1 は，#量子力学 で [x̂,p̂]=iℏ なる #交換子 の式に対応. ▶古典力学の物理量の時間発展 dX/dt = ∂X/∂t＋{X,H} は，量子力学では iℏ dÂ/dt = [Â,Ĥ] なる #ハイゼンベルクの運動方程式 に対応.
#解析力学_Hamilton形式編 63 #ハイゼンベルクの運動方程式 (Heisenberg equation of motion) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F… ･#量子力学 を #ハイゼンベルク描像 により記述. ･「この方程式は，#ハミルトン力学 で 物理量の時間発展をあらわす式 (#ポアソン括弧 を使ったもの)に類似.」
#解析力学_Hamilton形式編 62 #ハミルトニアン との #ポアソン括弧 で書いた， 任意の物理量の時間発展: dX/dt＝∂X/∂t＋{X,H} ポアソン括弧で書いた #正準方程式: ṗ_i＝{p_i,H} q̇_i＝{q_i,H} #交換子 で書いた，#量子力学 の #ハイゼンベルクの運動方程式: iℏ dÂ/dt＝[Â,Ĥ]
#解析力学_Hamilton形式編 61 kitasato-u.ac.jp/sci/resea/butu… p5より #ハイゼンベルグ の量子力学(#行列力学)では [x̂,p̂]＝x̂ p̂－p̂ x̂＝iℏ なる #交換関係 が重要. #ディラック は上記と {x,p}＝1 (※左辺は #ポアソン括弧) との類似に気づき， [Â,B̂]＝iℏ{A,B} を想定した.
#解析力学_Hamilton形式編 60 「#解析力学 と #交換子」 (数理科学・2011年6月号，十河) kitasato-u.ac.jp/sci/resea/butu… p4より引用 『#ポアソン括弧 を用いると， #力学 の問題を #微分積分 から解放し #代数 の問題に帰着させることができるのである。』
#解析力学_Hamilton形式編 55 Q. #ポアソン括弧 が満たす #ヤコビの恒等式 ↑ わけ分からん A. 移項して，こう考える事もできる. { A, { B, C } } = －{ B, { C, A } } －{ C, { A, B } } 「ポアソン括弧の入れ子1つ(左辺)は 順序をずらした別の入れ子2つ(右辺)で表せる」
#解析力学_Hamilton形式編 53 Q. #ポアソン括弧 の #ライプニッツ則 ①{ A, BC }＝{A,B} C＋B {A,C} ②{ AB, C }＝{A,C} B＋A {B,C} ↑ なぜ #分配則 と呼ぶ? A. ①は， 左辺でBとCがひと固まりなのを 右辺で離れ離れに「分解」(分配)している. ②もABを分解している.
#解析力学_Hamilton形式編 52 Q. #ポアソン括弧 が満たす #ライプニッツ則(Leibniz rule)とは A. 下記の性質がある. { A, BC } = { A, B } C + B { A, C } { AB, C } = { A, C } B + A { B, C } #ライプニッツ・ルール， #積の微分， #分配則 などと呼ぶ.
#解析力学_Hamilton形式編 49 Q. #ポアソン括弧 の #歪対称性(わいたいしょうせい)を示せ. つまり{B,A}を{A,B}で表せ A. {B,A}＝－{A,B} ※skew-symmetric 証明 {B, A} ＝Σ_i ( ∂B/∂q_i・∂A/p_i－∂A/∂q_i・∂B/p_i) ＝－Σ_i ( ∂A/∂q_i・∂B/p_i－∂B/∂q_i・∂A/p_i) ＝－{A, B}
#解析力学_Hamilton形式編 48 #ポアソン括弧 の基礎を整理: 定義 { f, g } ＝ Σ_i ( ∂f/∂q_i・∂g/∂p_i － ∂g/∂q_i・∂f/∂p_i ) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇= ∂H/∂p を書き直すと {p_i, H}＝－∂H/∂q_i {q_i, H}＝ ∂H/∂p_iなので ∴ ṗ_i＝{p_i, H} q̇_i＝{q_i, H}
#解析力学_Hamilton形式編 47 Q. ṗ_i={p_i, H} q̇_i={q_i, H} #ハミルトン方程式 を 偏微分記号の代わりに #ポアソン括弧 を使って書き直すと 何が嬉しい？ A. ・負号が無く2式がより対称. ・「#ハミルトニアン とのポアソン括弧は時間微分に相当」というハミルトニアンの意味がより強調される.
#解析力学_Hamilton形式編 46 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇= ∂H/∂p を #ポアソン括弧 を使い書き直せ A. 前ツイまでの計算により {p_i, H}＝－∂H/∂q_i {q_i, H}＝∂H/∂p_i ∴ ṗ_i＝{p_i, H} q̇_i＝{q_i, H} ※上記は ∂X/∂t＝0 の時 Ẋ＝dX/dt＝{X, H} という結果と一致する.
#解析力学_Hamilton形式編 45 Q. #ポアソン括弧 の定義に従い { q_N, H } を計算せよ A. {q_N, H} ＝Σ_i (∂q_N/∂q_i・∂H/∂p_i－∂H/∂q_i・∂q_N/∂p_i) ① 第1項の∂q_N/∂q_iはi＝Nの時のみ1で他は0。 第2項の∂q_N/∂p_iはiによらず常に0。 ∴①＝∂q_N/∂q_N・∂H/∂p_N ＝∂H/∂p_N
#解析力学_Hamilton形式編 44 Q. #ポアソン括弧 の定義に従い { p_N, H } を計算せよ A. {p_N, H} ＝Σ_i (∂p_N/∂q_i・∂H/∂p_i－∂H/∂q_i・∂p_N/∂p_i) ① 第1項の∂p_N/∂q_iはiによらず常に0。 第2項の∂p_N/∂p_iはi＝Nの時のみ1で他は0。 ∴①＝－∂H/∂q_N・∂p_N/∂p_N ＝－∂H/∂q_N
#解析力学_Hamilton形式編 42 Q. 物理量Xの時間変化を #ポアソン括弧 で表すと dX/dt = ∂X/∂t + {X, H} では #ハミルトニアン が時間に陽に依存しない場合 X=H を代入するとどうなる? A. dH/dt = ∂H/∂t + {H, H} ここで ∂H/∂t = 0 かつ {H, H} = 0 なので dH/dt = 0+0 = 0
#解析力学_Hamilton形式編 41 Q. #ポアソン括弧 の定義式は { f, g } ＝ Σ_i (∂f/∂q_i・∂g/∂p_i － ∂g/∂q_i・∂f/∂p_i) では，ある物理量Xについて { X, X } を求めるとどうなるか? A. { X, X } ＝ Σ_i ( ∂X/∂q_i・∂X/∂p_i － ∂X/∂q_i・∂X/∂p_i ) ＝0
#解析力学_Hamilton形式編 39 Q. ある物理量Xの時間変化を #ポアソン括弧 で表すと dX/dt ＝ ∂X/∂t ＋ {X, H} では，物理量が時間に陽に依存しない場合 「#ハミルトニアン とポアソン括弧をとる」事は 何を意味する？ A. ∂X/∂t＝0 の時 dX/dt＝Ẋ＝{X, H} つまり「時間微分」を意味する.
#解析力学_Hamilton形式編 38 Q. 前ツイまでの準備内容を踏まえ， ある物理量Xの時間変化を #ポアソン括弧 で表せ. A. dX/dt＝ ∂X/∂t＋Σ_i ( (∂X/∂q_i) dq_i/dt＋ (∂X/∂p_i) dp_i/dt ) ＝ ∂X/∂t＋Σ_i ( (∂X/∂q_i) (∂H/∂p_i)－ (∂X/∂p_i) (∂H/∂q_i) ) ＝ ∂X/∂t ＋ {X,H}
#解析力学_Hamilton形式編 37 #ポアソン括弧 導入の前準備・その2 Q. 時間微分を ドットではなく dt を使った表記にして #ハミルトンの正準方程式 を書け. A. q̇_i ＝ dq_i / dt ＝ ∂H / ∂p_i ṗ_i ＝ dp_i / dt ＝－ ∂H / ∂q_i
#解析力学_Hamilton形式編 36 #ポアソン括弧 を導入することの 必要性を知るため 少し前準備しましょう. Q. 時間と #正準変数 に依存する物理量 X( t, q_1, …, q_n, p_1, …, p_n ) を全微分せよ. A. 全微分の定義より dX＝ (∂X/∂t) dt ＋Σ_i (∂X/∂q_i) dq_i ＋Σ_i (∂X/∂p_i) dp_i
#解析力学_Hamilton形式編 35 Q. 位置 x と運動量 p がある系で #ポアソン括弧 { x, x } と { p, p } を求めよ. A. { x, x } ＝ (∂x/∂x)･(∂x/∂p)－(∂x/∂x)･(∂x/∂p) ＝ 1・0－1・0 ＝ 0 { p, p } ＝ (∂p/∂x)･(∂p/∂p)－(∂p/∂x)･(∂p/∂p) ＝ 0・1－0・1 ＝ 0
#解析力学_保存量と対称性編 15 Q. #包合系 とは A. involution system ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 自由度nの #ハミルトン力学系 に n個の独立な #第一積分(#保存量) F_1, ..., F_n が存在し それらの #ポアソン括弧 が #可換 { F_i, F_j }＝0 である時 これらの第一積分は包合系をなすという.
#解析力学_Hamilton形式編 34 Q. 位置 x と運動量 p がある系で その #ポアソン括弧 { x, p } を求めよ. A. { x, p } ＝ (∂x/∂x)･(∂p/∂p)－(∂p/∂x)･(∂x/∂p) ＝ 1・1－0・0 ＝ 1
#解析力学_Hamilton形式編 33 #ポアソン括弧 の覚え方 {f, g}＝Σ_i (∂f/∂q_i・∂g/∂p_i－∂g/∂q_i・∂f/∂p_i) ∂f ∂g ∂g ∂f ──・── － ──・── ∂q_i ∂p_i ∂q_i ∂p_i 第2項は { } の中身にあるf,gを入れ換え負号を付与. 分母の変数q,pの順序は固定.
#解析力学_保存量と対称性編 13 Q. #ハミルトン力学 において， #ネーターの定理 に基づき 系の #保存量 をどのように表現できるか A. 下記URLの導出を参照. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… #ハミルトニアン H との #ポアソン括弧 { H, G_δ } を使って， 保存量 G_δ を表現している.
#解析力学_Hamilton形式編 32 Q. #ハミルトン力学 における #ポアソン括弧 {f, g} の定義を述べよ A. Poisson Bracket ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D… #正準共役 量 q_1, …, q_n p_1, …, p_n #相空間 上の関数 f(q, p) g(q, p) に対し {f,g}=Σ_i (∂f/∂q_i・∂g/∂p_i－∂g/∂q_i・∂f/∂p_i)
#解析力学_Hamilton形式編 64 整理: ▶#古典力学 の #ポアソン括弧 の式 {x,p}=1 は，#量子力学 で [x̂,p̂]=iℏ なる #交換子 の式に対応. ▶古典力学の物理量の時間発展 dX/dt = ∂X/∂t＋{X,H} は，量子力学では iℏ dÂ/dt = [Â,Ĥ] なる #ハイゼンベルクの運動方程式 に対応.
#解析力学_Hamilton形式編 62 #ハミルトニアン との #ポアソン括弧 で書いた， 任意の物理量の時間発展: dX/dt＝∂X/∂t＋{X,H} ポアソン括弧で書いた #正準方程式: ṗ_i＝{p_i,H} q̇_i＝{q_i,H} #交換子 で書いた，#量子力学 の #ハイゼンベルクの運動方程式: iℏ dÂ/dt＝[Â,Ĥ]
#解析力学_Hamilton形式編 61 kitasato-u.ac.jp/sci/resea/butu… p5より #ハイゼンベルグ の量子力学(#行列力学)では [x̂,p̂]＝x̂ p̂－p̂ x̂＝iℏ なる #交換関係 が重要. #ディラック は上記と {x,p}＝1 (※左辺は #ポアソン括弧) との類似に気づき， [Â,B̂]＝iℏ{A,B} を想定した.
#解析力学_Hamilton形式編 60 「#解析力学 と #交換子」 (数理科学・2011年6月号，十河) kitasato-u.ac.jp/sci/resea/butu… p4より引用 『#ポアソン括弧 を用いると， #力学 の問題を #微分積分 から解放し #代数 の問題に帰着させることができるのである。』
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