#3次元・極座標のラプラシアン導出 30 #直交座標 として #右手系 をとり， 親指・人差し指・中指の順に x，y，z軸を並べる。 この時 「x軸からy軸の方向に #右ねじ を回すと， ねじがz軸の方向に進む」。 各方向を向く #単位ベクトル に対し #外積 が ↑e_x × ↑e_y ＝ ↑e_z となる。

#大学の力学_惑星の運動編 86 「#ベクトル の時間微分」 「#外積 の時間微分」などという 慣れない計算操作に出会ったら， まずやることは いろんな式をガンガン微分し 計算結果を試行錯誤で確認してみる事。 自分の手を動かして実験してみる という労力を惜しむ人は，実力も伸びない。

#大学の力学_惑星の運動編 79 (d/dt)( ↑r / r ) = ( 1 / r^3 ){ ↑ṙ r･r － ↑r ṙ･r } = ( 1 / r^3 ){ ↑r × ( ↑ṙ × ↑r ) } ★ ここで，#ベクトル解析 の公式 ↑b × ↑a ＝ － ↑a × ↑b (#外積 の #交代性) を使うと ★ ＝ －( 1 / r^3 ){ ↑r × ( ↑r × ↑ṙ ) } となる。

#大学の力学_惑星の運動編 75 ここまでで #ベクトル三重積 ↑a × (↑b × ↑c) = ↑b (↑a・↑c) － ↑c (↑a・↑b) について要約すると… 左辺「#外積 を含む式」(3重積) ⇔ 右辺「外積を含まない式」(2本の #ベクトル の差) の 相互書き換えができる！ 右辺は和ではなく差にする事。

#大学の力学_惑星の運動編 74 #ベクトル三重積 の公式: ↑c=－↑c' として 逆方向の #ベクトル を考えれば， 「2本のベクトルの和」も差の形になり #外積 に変形可能. ↑b＋↑c = ↑b－↑c' = ↑b (↑a･↑c')－↑c' (↑a･↑b) = ↑a×(↑b×↑c' ) = －↑a×(↑b×↑c) なる↑aが存在.

#大学の力学_惑星の運動編 73 ↑b, ↑c が既知の時， その差を #外積(3重積)に書き換え可能な ↑b－↑c　① = ↑b (↑a･↑c)－↑c (↑a･↑b) = ↑a × (↑b × ↑c)　② を満たす↑aの取り方は， 自由度1つ分の不定性がある. 2本のベクトル(①)を 1本，1項(②)にまとめられる便利な式.

#大学の力学_惑星の運動編 67 #ベクトル三重積 ↑a × (↑b × ↑c) ＝ ↑b (↑a・↑c) － ↑c (↑a・↑b) ↑ この公式は 「左辺から右辺への変形」 (#外積 の記号を外す操作) が有名。 しかし，その逆で 「右辺から左辺への変形」 (2つのベクトルの差を1項にまとめる操作) も役に立つ。

#大学の力学_惑星の運動編 66 「2本の #ベクトル の差」 を 「3本のベクトルの #外積」 に変換できる #ベクトル三重積 の公式… ↑a × (↑b × ↑c) ＝ ↑b (↑a・↑c) － ↑c (↑a・↑b) 「#BAC・CAB則」(バックキャブそく) とも呼ぶ。 #ベクトル解析 の重要公式である。

#大学の力学_惑星の運動編 65 (d/dt)( ↑r / r ) = (1/r^2){ ↑ṙ r － ↑r ṙ } ↑ この式をさらに簡単化する方法は，ある。 右辺は「2本の #ベクトル の差」 の形だが， それを「3本のベクトルの #外積」 に変換することが可能なのである。 そのための公式が #ベクトル三重積。

#大学の力学_惑星の運動編 57 互いに #平行 な2本の #ベクトル に対し その #外積 は ↑0 である。 ↑a // ↑b ならば ↑a × ↑b ＝ ↑0 さらに，↑b に ↑a を代入し ↑a × ↑a ＝ ↑0 も言える。 ∵ ↑a // ↑a これらの性質を使い， ベクトル形式の #運動方程式 を変形しよう。

#大学の力学_惑星の運動編 56 ↑r̈ // ↑r ならば ↑r̈ × ↑r ＝ ↑0 ↑ これは #ベクトル の #外積 の 一般的な性質であり， ↑a // ↑b ならば ↑a × ↑b ＝ ↑0 その理由は | ↑a × ↑b | ＝ |↑a| |↑b| sinθ で， #平行 なら θ＝0 より | ↑a × ↑b | ＝ 0 ∴ ↑a × ↑b ＝ ↑0

#大学の力学_惑星の運動編 55 上手な式変形をするために， ベクトルの #外積 の性質を調べよう。 #惑星 の #運動方程式 m ↑r̈(t) ＝ －( GMm / r^3 ) ↑r が成り立つ時， 両辺を比較すると 左辺の ↑r̈ と 右辺の ↑r とは常に #平行 である。 ↑r̈ // ↑r この時 ↑r̈ × ↑r ＝ ↑0

#大学の力学_惑星の運動編 54 #重力 だけが働く場合の #運動方程式 m ↑r̈(t) =( G mM / r^2 )( －↑r/r ) =－( G mM / r^3 ) ↑r ↓ ↑r̈(t)=－( GM / r^3 ) ↑r 両辺に，ある上手いベクトルを #外積 でかけると 上手な式変形ができ 二階微分を一階微分にできる。 そのベクトルとは…?

#3次元・極座標のラプラシアン導出 30 #直交座標 として #右手系 をとり， 親指・人差し指・中指の順に x，y，z軸を並べる。 この時 「x軸からy軸の方向に #右ねじ を回すと， ねじがz軸の方向に進む」。 各方向を向く #単位ベクトル に対し #外積 が ↑e_x × ↑e_y ＝ ↑e_z となる。

#大学の力学_惑星の運動編 33 質点に働く力 ↑F(t) が #中心力 の場合 #モーメント はどうなるか？ 中心力だから， #力 が #位置ベクトル と常に平行で ↑F(t) // ↑r(t) ゆえに この2つのベクトルの #外積 は↑0で， 質点に働く力のモーメントは常に ↑N(t) ＝ ↑r(t) × ↑F(t) ＝ ↑0

#大学の力学_惑星の運動編 25 前ツイの計算が正しい理由: #運動量 の定義より， ↑p(t) ＝ m↑v(t) ＝ m (d/dt)↑r は (d/dt)↑r と平行なベクトルである。 平行なベクトル同士の #外積 は ↑0 だから (d↑r/dt) × ↑p(t) ＝ ↑v × ↑p ＝ ↑0 が言える。 この性質を使えば式変形できる！

#大学の力学_惑星の運動編 17 ケプラーの法則の意味するもの ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1… #ケプラーの第２法則 における #面積速度 とは， 惑星の #位置ベクトル と 速度ベクトルの #外積 に他ならない。 したがって #面積速度一定 は ニュートン力学における #角運動量保存 の法則に相当。

#大学の力学_惑星の運動編 16 #角運動量: ↑L＝↑r×↑p＝m ↑r×↑v #外積 の定義より ↑rから↑p(または↑v)の向きに 右ねじを回してネジが進む向き. 例: xy平面上で 原点中心の #単位円 上を動く点Pが 第1象限で反時計回りに動いている時 ↑Lは原点から紙面の手前向きに伸びる #ベクトル.

#大学の力学_惑星の運動編 15 #角運動量 (angular momentum) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92… #運動量 の #モーメント を表す #力学 の概念。 ↑L ＝ ↑r×↑p ＝ m ↑r×↑v ×は #外積。 #角運動量保存則 は， #ケプラーの第２法則 の #面積速度一定 と密接な関わりがある。

#大学の力学_惑星の運動編 7 質点がPからQへ移動し ↑OPと↑PQのなす角をθとおくと 三角形OPQの面積 =⊿S =(1/2)・| ↑OP |・| ↑PQ |・sinθ =(1/2)・| ↑OP × ↑PQ | =(1/2)・| ↑r(t) × (↑v(t) ⊿t) | × は #ベクトル の #外積. ⊿Sは「デルタエス」. 「面積Sの変化量」を表す記号.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 30 #直交座標 として #右手系 をとり， 親指・人差し指・中指の順に x，y，z軸を並べる。 この時 「x軸からy軸の方向に #右ねじ を回すと， ねじがz軸の方向に進む」。 各方向を向く #単位ベクトル に対し #外積 が ↑e_x × ↑e_y ＝ ↑e_z となる。

#解析力学_Hamilton形式編 57 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4… #ヤコビの恒等式 をみたす様々な例: ･3次元 #ベクトル の #外積 ･#リー環 における積演算 ･#解析力学 の #ポアソン括弧 ･#量子力学 の #交換子

#線形代数入門 7 #WolframAlpha で… ▶#ベクトル どうしの #外積 を求める方法: Cross[ {1,0,0}, {0,1,0} ] wolframalpha.com/input?i=Cross%… 出力結果： {0, 0, 1} Wolframのコマンドは Mathematicaの関数名[ 引数, 引数, … ] の形をしている。