#3次元・極座標のラプラシアン導出 15 前ツイまでの参考文献リストを概観し 分かることがある。 それは… ･3次元 #極座標 の，座標設定の基礎 ･#全微分 と #偏微分 ･#一般力学 における #回転運動 と #角運動量 の扱い などについて 前もって前提事項として理解が必要！ ということ。

＜#代数学の参考書＞ 「リー代数と素粒子論」 (裳華房1983竹内) 前書きより: 『#リー代数 は #角運動量 の例からもわかるように #物理学者 には なじみの深い概念。 このためか リー代数がリー代数として 意識されることがかえって少なく #リー群 と混同して 考えられることが多かった。』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 11 ▶(文献4) 培風館「量子論入門講義」(米谷): 5章「#角運動量 と #水素原子 のスペクトル」 §5.2p100 #角運動量演算子 の2乗和Lを求める際， 3次元極座標 #ラプラシアン をLで表した ∆ =∇^2 =L^2 / ℏ^2 r^2＋∂^2 / ∂r^2＋(2/r)∂/∂r を得ている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 6 ▶(文献2) 講談社サイエンティフィク 「単位が取れる量子化学ノート」(福間): 講義06「回転運動と #角運動量」の 「∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z を 極座標パラメータ r, θ, φ で表す」 という計算説明が丁寧。 ただし2乗和をとる部分は書いていない。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 3 様々な書籍で 極座標の∆をどう求めているか 概観してみよう。 ▶(文献1) 裳華房・基礎化学選書12「量子化学」(原田): 5章「#角運動量」 5.2「極座標による表示」 #角運動量演算子 の極座標表示のついでに #ラプラシアン の極座標表示も求めている。

#大学の力学_惑星の運動編 48 #ケプラーの第２法則 と保存量の関係: #角運動量原理 の式 d↑L/dt = ↑N ↓ ↓ #中心力 の場合 ↓ #角運動量 ↑L = ↑r × ↑p が (d/dt)↑L = ↑0 を満たす #保存量 となる。 ↓ ↓ この結果を使い… ↓ #面積速度一定 d↑S(t)/dt = 一定 を示せる。

＜#電磁気学の参考書＞ 「初歩の相対論から入る電磁気学」 (朝倉書店2018米谷) yodobashi.com/product/100000… 前書きより引用: 『#保存則 の役割を強調し， それに基づき ･#電磁場 の #応力 ･(#一様運動 の場合の)#自己力 の #打ち消し ･電磁場の #角運動量 等について 詳しく解説する。』

#大学の力学_惑星の運動編 44 #角運動量 ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) は わりと単純な形をしている。 いっぽう #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r) ' × ( ↑r × (↑r) ' ) } / GM － ↑r / r は ↑L よりは複雑な式。 ↑L(t) も ↑e(t) も 時間変化しない #保存量。

#大学の力学_惑星の運動編 43 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) において，系の #保存量 は ･#角運動量 ↑L または ･#面積速度 d↑S/dt だった。 いっぽう #ケプラーの第１法則(#楕円軌道) において，系の保存量は ↑L と別に #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e がある。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 16 とくに，#角運動量 については 前もって #古典力学 の勉強時に しっかりイメージと計算法を 熟知しておかないと， いきなり #量子論 や #量子化学 で 「角運動量を #演算子 化しろ！」 と言われても，何の事か全くわからず そこでつまずくだろう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 15 前ツイまでの参考文献リストを概観し 分かることがある。 それは… ･3次元 #極座標 の，座標設定の基礎 ･#全微分 と #偏微分 ･#一般力学 における #回転運動 と #角運動量 の扱い などについて 前もって前提事項として理解が必要！ ということ。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 11 ▶(文献4) 培風館「量子論入門講義」(米谷): 5章「#角運動量 と #水素原子 のスペクトル」 §5.2p100 #角運動量演算子 の2乗和Lを求める際， 3次元極座標 #ラプラシアン をLで表した ∆ =∇^2 =L^2 / ℏ^2 r^2＋∂^2 / ∂r^2＋(2/r)∂/∂r を得ている.

#大学の力学_惑星の運動編 37 結論: #重力 など #中心力 のもとでは， #角運動量 ベクトル ↑L(t) も #面積速度 ベクトル d↑S(t)/dt も 時間変化せず定ベクトルである。 #極座標 による座標の成分計算をせず， #ベクトル解析 のみで #ケプラーの第２法則(#面積速度一定)を 証明できた。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 6 ▶(文献2) 講談社サイエンティフィク 「単位が取れる量子化学ノート」(福間): 講義06「回転運動と #角運動量」の 「∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z を 極座標パラメータ r, θ, φ で表す」 という計算説明が丁寧。 ただし2乗和をとる部分は書いていない。

#大学の力学_惑星の運動編 36 #面積速度 と #角運動量 とは d↑S(t) / dt ＝ ↑L(t) / 2m なる比例関係で結ばれている。 ここで，#中心力 のもとでは ↑L(t) は時間変化せず定ベクトルである。 よって，中心力のもとでは 面積速度 d↑S(t) / dt も 時間変化せず定ベクトルである。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 3 様々な書籍で 極座標の∆をどう求めているか 概観してみよう。 ▶(文献1) 裳華房・基礎化学選書12「量子化学」(原田): 5章「#角運動量」 5.2「極座標による表示」 #角運動量演算子 の極座標表示のついでに #ラプラシアン の極座標表示も求めている。

#大学の力学_惑星の運動編 34 #角運動量原理 の微分形 d↑L(t)/dt = ↑N(t) #中心力 では #モーメント が↑0なので ↑N(t) = ↑r(t) × ↑F(t) = ↑0 よって #重力 など中心力のもとでは d↑L(t) / dt = ↑0 より ↑L(t) = 一定値 であり， #角運動量 ベクトルは時間変化しない(保存する).

#大学の力学_惑星の運動編 30 「#角運動量原理 の微分形」 d↑L / dt ＝ ↑N ↑ この式のことを #オイラーの運動方程式 と呼ぶ場合がある。 Euler's equations (rigid body dynamics) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… ･#剛体 の #回転運動 を表す式。 ･#トルク ↑Nと #角運動量 ↑L の関係

#大学の力学_惑星の運動編 27 #運動量原理 の微分形 d↑p(t)/dt = ↑F(t) 両辺に左から ↑r(t) × すると… #角運動量 の定義より 左辺 = ↑r(t) × d↑p(t)/dt = (d/dt)( ↑r(t) × ↑p(t) ) = (d/dt) ↑L(t) この式変形はOK。 また #モーメント の定義より 右辺 = ↑r(t) × ↑F(t) = ↑N(t)

#大学の力学_惑星の運動編 24 #運動量原理 の微分形 d↑p(t)/dt＝↑F(t) 両辺に左から ↑r(t) × すると… #角運動量 の定義より 左辺 =↑r(t) × d↑p(t)/dt★ =(d/dt)( ↑r(t)×↑p(t) )★ =(d/dt) ↑L(t) ※★の式変形は説明が必要 #モーメント の定義より 右辺 =↑r(t) × ↑F(t) =↑N(t)

#大学の力学_惑星の運動編 23 #運動量原理 の積分形 ↑p_1 － ↑p_0 = ∫{t_0→t_1} ↑F(t) dt ↑ 両辺に左から ↑r× すると… #角運動量 の定義より 左辺 = ↑r×↑p_1 － ↑r×↑p_0 = ↑L_1 － ↑L_0 #モーメント の定義より 右辺 = ∫{t_0→t_1} ↑r×↑F(t) dt = ∫{t_0→t_1} ↑N(t) dt

#大学の力学_惑星の運動編 22 質点の原点周りの #角運動量 ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) = m ↑r(t) × ↑v(t) = m ↑r × (d/dt)↑r 原点周りで質点にかかる #力 の #モーメント ↑N(t) = ↑r(t) × ↑F(t) …という量を定義し #運動量原理 の式の両辺に「↑r×」すると #角運動量原理 を導ける.

#大学の力学_惑星の運動編 21 #運動量原理 「#運動量 の変化は そのあいだに #力 が加えた #力積 に等しい。」 ↑ これを，回転運動にあてはめると どうなるだろうか？ #角運動量 の変化に関する #角運動量原理 を導けば， 惑星の #公転 運動も記述可能になる。

#大学の力学_惑星の運動編 18 #角運動量 の #保存則 を使って #面積速度 が時間不変である事を示す流れ: ①#運動量原理 と #運動量保存 ↓ ↓ 「↑r×」をかけて変形すると… ↓ ②#角運動量原理 と #角運動量保存 ↓ ↓ 定数倍すると… ↓ ③#面積速度一定(#ケプラーの第２法則)

#大学の力学_惑星の運動編 16 #角運動量: ↑L＝↑r×↑p＝m ↑r×↑v #外積 の定義より ↑rから↑p(または↑v)の向きに 右ねじを回してネジが進む向き. 例: xy平面上で 原点中心の #単位円 上を動く点Pが 第1象限で反時計回りに動いている時 ↑Lは原点から紙面の手前向きに伸びる #ベクトル.

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原) p60より引用: 『全ての状態が正の #ノルム を持つ #表現 を作ろうとすると， #角運動量 が #量子化 される。… #ビラソロ代数 の表現を 詳しく調べることにより， #プライマリー場 の #共形ウェイト が決定される。』

#大学の力学_惑星の運動編 15 #角運動量 (angular momentum) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92… #運動量 の #モーメント を表す #力学 の概念。 ↑L ＝ ↑r×↑p ＝ m ↑r×↑v ×は #外積。 #角運動量保存則 は， #ケプラーの第２法則 の #面積速度一定 と密接な関わりがある。

#大学の力学_惑星の運動編 14 #角運動量 と #面積速度 の関係は？ 角運動量ベクトル ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) = m ↑r(t) × ↑v(t) 面積速度ベクトル d↑S / dt = (1/2) ↑r(t) × ↑v(t) この両者の間には d↑S / dt ＝ ↑L / 2m なる定数倍の比例関係が成り立つ。 すなわち平行である。

#大学の力学_惑星の運動編 13 #面積速度 ベクトル d↑S/dt = (1/2) ↑r(t)×↑v(t) ★ を定義できた. #面積速度一定 を示すには ★が時間変化しない事を示せばよい. そのために，★と定数倍だけ異なる #角運動量 ベクトル ↑L = m ↑r(t)×↑v(t) を導入し ↑L が時間変化しない事を示そう.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 16 とくに，#角運動量 については 前もって #古典力学 の勉強時に しっかりイメージと計算法を 熟知しておかないと， いきなり #量子論 や #量子化学 で 「角運動量を #演算子 化しろ！」 と言われても，何の事か全くわからず そこでつまずくだろう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 15 前ツイまでの参考文献リストを概観し 分かることがある。 それは… ･3次元 #極座標 の，座標設定の基礎 ･#全微分 と #偏微分 ･#一般力学 における #回転運動 と #角運動量 の扱い などについて 前もって前提事項として理解が必要！ ということ。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 11 ▶(文献4) 培風館「量子論入門講義」(米谷): 5章「#角運動量 と #水素原子 のスペクトル」 §5.2p100 #角運動量演算子 の2乗和Lを求める際， 3次元極座標 #ラプラシアン をLで表した ∆ =∇^2 =L^2 / ℏ^2 r^2＋∂^2 / ∂r^2＋(2/r)∂/∂r を得ている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 6 ▶(文献2) 講談社サイエンティフィク 「単位が取れる量子化学ノート」(福間): 講義06「回転運動と #角運動量」の 「∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z を 極座標パラメータ r, θ, φ で表す」 という計算説明が丁寧。 ただし2乗和をとる部分は書いていない。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 3 様々な書籍で 極座標の∆をどう求めているか 概観してみよう。 ▶(文献1) 裳華房・基礎化学選書12「量子化学」(原田): 5章「#角運動量」 5.2「極座標による表示」 #角運動量演算子 の極座標表示のついでに #ラプラシアン の極座標表示も求めている。

＜#太陽系の惑星＞ 太陽系の成り立ち logmi.jp/business/artic… ガスと塵から成る 巨大な球状の雲が崩壊し 塊が小さくなるにつれ #自転 が高速化 (#角運動量 保存の法則) 回転速度が増し 雲が潰れ皿状になった. このような皿状の新星(原始星)ができる様子は #銀河系 内で実際に観察された.

#解析力学_保存量と対称性編 6 Q. #循環座標 は常に存在し #保存量(#第一積分)を導出することが常に可能? A. 座標系の取り方に依存するので 循環座標は常に存在するとは限らない. しかし #時空 の #対称性 により ①#エネルギー ②#運動量 ③#角運動量 の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_Hamilton形式編 59 ①#歪対称性 ②#分配則(#ライプニッツ則) ③#ヤコビの恒等式 上記3つの性質を #公理 に持つ #代数系 は #ポアソン括弧 以外にも作れる. 例えば #軌道角運動量 ベクトルが満たす 「#角運動量 の代数」が挙げられ， #リー代数 の最も簡単な例となっている.

＜#代数学の参考書＞ 「リー代数と素粒子論」 (裳華房1983竹内) 前書きより: 『#リー代数 は #角運動量 の例からもわかるように #物理学者 には なじみの深い概念。 このためか リー代数がリー代数として 意識されることがかえって少なく #リー群 と混同して 考えられることが多かった。』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 16 とくに，#角運動量 については 前もって #古典力学 の勉強時に しっかりイメージと計算法を 熟知しておかないと， いきなり #量子論 や #量子化学 で 「角運動量を #演算子 化しろ！」 と言われても，何の事か全くわからず そこでつまずくだろう。