#解析力学_保存量と対称性編 3 Q. n自由度の系で #循環座標 q_iが存在する時 #ラグランジアン Lはどんな形か A. 一般にLはq,q̇,tの関数で L( q_1, q_2, …, q_n, q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t) Lは循環座標q_iに依存しないので L( q_1, q_2, …, q_{i-1}, q_{i+1}, … q_n, q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t)

#解析力学_保存量と対称性編 2 Q. #循環座標 とは. A. 循環座標 (cyclic coordinates) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA… #ラグランジアン L が 関数として陽に依存しない 一般座標変数 q_i のこと. もし循環座標が存在する場合， それに対応する共役運動量 p_i は 系の #保存量(#第一積分)となる.

#解析力学_保存量と対称性編 1 Q. 「#運動の積分」とは A. integral of motion ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… #古典力学 において 系の時間発展に際し 時間変化しない物理量のことを指す. 別名: ・ #保存量 (conserved quantity) ・ #第一積分 (first integral) ・運動の定数 (constant of motion)

#解析力学_保存量と対称性編 19 Q. #ネーターの定理 と #第一積分 との関係 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… ネーターの定理によれば 「#ラグランジュ形式 または #ハミルトン形式 の物理系に関し， 系の1つの連続的な #対称性 に付随して 1つの #第一積分 が存在する.」

#解析力学_保存量と対称性編 18 Q. #ハミルトン力学 の 完全積分可能条件である リウヴィル=アーノルドの定理(#リウヴィルの定理) 誰が発見? A. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 1853年リウヴィル: 「系の自由度に等しい数の #第一積分 が存在すれば求積可能」 1963年アーノルド: 幾何学の言葉で再定式化

#解析力学_保存量と対称性編 16 Q. リウヴィル=アーノルドの定理とは. A. Liouville–Arnold theorem (#リウヴィルの定理) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 独立な #第一積分 の組が #包合系(#ポアソン括弧 が #可換)なら求積可能. #正準変数 として #作用・角変数 を取れて #相空間 での軌道はトーラス.

#解析力学_保存量と対称性編 15 Q. #包合系 とは A. involution system ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 自由度nの #ハミルトン力学系 に n個の独立な #第一積分(#保存量) F_1, ..., F_n が存在し それらの #ポアソン括弧 が #可換 { F_i, F_j }＝0 である時 これらの第一積分は包合系をなすという.

#解析力学_保存量と対称性編 14 Q. 物理学において #対称性 と #保存量 は 中心的な重要概念であるが， 「保存量」を 「保存料」と変換ミスした場合 何が起こるか A. 食品添加物の意味になってしまう. 保存料 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BF%9D… ＞食品中にいる細菌の増殖を抑制し，変質・腐敗を防ぐ。

#解析力学_保存量と対称性編 13 Q. #ハミルトン力学 において， #ネーターの定理 に基づき 系の #保存量 をどのように表現できるか A. 下記URLの導出を参照. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… #ハミルトニアン H との #ポアソン括弧 { H, G_δ } を使って， 保存量 G_δ を表現している.

#解析力学_保存量と対称性編 12 Q. #ラグランジュ力学 において， #ネーターの定理 に基づき 系の #保存量 をどのように表現できるか A. 下記URLの導出を参照. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… #ラグランジアン L #対称性 のパラメータ T, Q を使って， 保存量 X_r を表現している.

#解析力学_保存量と対称性編 11 Q. #対称性 と #保存則 のセットを 思いつく限り挙げよ A. 下記URLに一覧表がある. 「保存則と対称性」 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 例: ・時間並進に対するエネルギー保存 ・空間並進に対する運動量保存 ・空間回転に対する角運動量保存 などなど

#解析力学_保存量と対称性編 10 Q. #解析力学 における #ネーターの定理 の結論を簡潔に述べよ A. Noether's theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… 系に連続的な #対称性 がある場合 その対称性に対応する #保存則 が存在する. つまり，必ず 何らかの物理量が 時間によらず一定値をとる(#保存量).

#解析力学_保存量と対称性編 9 Q. #対称性 を記述する数学とは. A. 保存則と対称性(Conservation laws and symmetry) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… "物理的対称性を記述する変換は #群. #群論 は物理学のための数学として重要. 連続的対称性は #連続群(#リー群)によって数学的に規定される."

#解析力学_保存量と対称性編 8 Q. #解析力学 では #対称性 があれば #運動方程式 は変化しない. なぜそう言えるか A. #最小作用の原理 より 系の運動方程式は #作用 Sの変分 δS を0とおく事で導出される. #対称性 を持つ変換は 作用Sを不変に保ち 作用の変分δSも0のままで 運動方程式は不変.

#解析力学_保存量と対称性編 7 Q. #解析力学 で #対称性 とは何を指すか A. 対称性 (symmetry) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 一般に対称性とは 「変換に対して記述が変化しない事」を指す. 解析力学では 「ある(座標系などの)変換に対し #作用積分 が変化しない」時 その変換を対称性と呼ぶ.

#解析力学_保存量と対称性編 6 Q. #循環座標 は常に存在し #保存量(#第一積分)を導出することが常に可能? A. 座標系の取り方に依存するので 循環座標は常に存在するとは限らない. しかし #時空 の #対称性 により ①#エネルギー ②#運動量 ③#角運動量 の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 5 Q. #循環座標(cyclic coordinates)って なぜ「循環」というネーミングなのか A. #対称性 が有って #保存則 を生み出す意だろう. 極座標でθが循環座標なら 角度変化の対称性があり 円周上を回って循環・巡回するイメージ. #群論 では cyclic group=「#巡回群」.

#解析力学_保存量と対称性編 4 Q. #循環座標 q_c が存在する時 #保存量(#第一積分)が存在すると言えるのはなぜか A. n自由度で #ラグランジュ方程式 ∂L/∂q_i ＝ (d/dt)(∂L/∂q̇_i) をn個立式する際 c番目の式は 左辺∂L/∂q_c = 0より 右辺(d/dt)(∂L/∂q̇_c) = 0で ∂L/∂q̇_c = 時不変定数.

#解析力学_保存量と対称性編 3 Q. n自由度の系で #循環座標 q_iが存在する時 #ラグランジアン Lはどんな形か A. 一般にLはq,q̇,tの関数で L( q_1, q_2, …, q_n, q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t) Lは循環座標q_iに依存しないので L( q_1, q_2, …, q_{i-1}, q_{i+1}, … q_n, q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t)

#解析力学_保存量と対称性編 2 Q. #循環座標 とは. A. 循環座標 (cyclic coordinates) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA… #ラグランジアン L が 関数として陽に依存しない 一般座標変数 q_i のこと. もし循環座標が存在する場合， それに対応する共役運動量 p_i は 系の #保存量(#第一積分)となる.

#解析力学_保存量と対称性編 1 Q. 「#運動の積分」とは A. integral of motion ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… #古典力学 において 系の時間発展に際し 時間変化しない物理量のことを指す. 別名: ・ #保存量 (conserved quantity) ・ #第一積分 (first integral) ・運動の定数 (constant of motion)