＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学―可積分系講義」 (共立出版2000Audin) 序文より: 『#可積分系 は 20世紀最後の20年余りの間に #数学 とその関連諸科学において きわめて重要な位置を 占めるに至った概念である。 #Liouville の可積分系の概念の鍵は 「#保存量(#第一積分)」にある。』

#解析力学_保存量と対称性編 19 Q. #ネーターの定理 と #第一積分 との関係 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… ネーターの定理によれば 「#ラグランジュ形式 または #ハミルトン形式 の物理系に関し， 系の1つの連続的な #対称性 に付随して 1つの #第一積分 が存在する.」

#解析力学_保存量と対称性編 18 Q. #ハミルトン力学 の 完全積分可能条件である リウヴィル=アーノルドの定理(#リウヴィルの定理) 誰が発見? A. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 1853年リウヴィル: 「系の自由度に等しい数の #第一積分 が存在すれば求積可能」 1963年アーノルド: 幾何学の言葉で再定式化

#解析力学_保存量と対称性編 16 Q. リウヴィル=アーノルドの定理とは. A. Liouville–Arnold theorem (#リウヴィルの定理) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 独立な #第一積分 の組が #包合系(#ポアソン括弧 が #可換)なら求積可能. #正準変数 として #作用・角変数 を取れて #相空間 での軌道はトーラス.

#解析力学_保存量と対称性編 15 Q. #包合系 とは A. involution system ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 自由度nの #ハミルトン力学系 に n個の独立な #第一積分(#保存量) F_1, ..., F_n が存在し それらの #ポアソン括弧 が #可換 { F_i, F_j }＝0 である時 これらの第一積分は包合系をなすという.

#解析力学_保存量と対称性編 6 Q. #循環座標 は常に存在し #保存量(#第一積分)を導出することが常に可能? A. 座標系の取り方に依存するので 循環座標は常に存在するとは限らない. しかし #時空 の #対称性 により ①#エネルギー ②#運動量 ③#角運動量 の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 4 Q. #循環座標 q_c が存在する時 #保存量(#第一積分)が存在すると言えるのはなぜか A. n自由度で #ラグランジュ方程式 ∂L/∂q_i ＝ (d/dt)(∂L/∂q̇_i) をn個立式する際 c番目の式は 左辺∂L/∂q_c = 0より 右辺(d/dt)(∂L/∂q̇_c) = 0で ∂L/∂q̇_c = 時不変定数.

#解析力学_保存量と対称性編 2 Q. #循環座標 とは. A. 循環座標 (cyclic coordinates) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA… #ラグランジアン L が 関数として陽に依存しない 一般座標変数 q_i のこと. もし循環座標が存在する場合， それに対応する共役運動量 p_i は 系の #保存量(#第一積分)となる.

#解析力学_保存量と対称性編 1 Q. 「#運動の積分」とは A. integral of motion ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… #古典力学 において 系の時間発展に際し 時間変化しない物理量のことを指す. 別名: ・ #保存量 (conserved quantity) ・ #第一積分 (first integral) ・運動の定数 (constant of motion)

＜#解析力学の参考書＞ 「重点解説　ハミルトン力学系」(2016) 前書きより: 『#ハミルトン力学系 は 十分な数の #第一積分(#保存量)が存在すれば #解 は #規則的 でよく分かり この時このハミルトン力学系は #可積分系 であるという. 可積分系を #摂動 すると 一般に #非可積分系 になる.』

#解析力学_保存量と対称性編 19 Q. #ネーターの定理 と #第一積分 との関係 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… ネーターの定理によれば 「#ラグランジュ形式 または #ハミルトン形式 の物理系に関し， 系の1つの連続的な #対称性 に付随して 1つの #第一積分 が存在する.」

#解析力学_保存量と対称性編 18 Q. #ハミルトン力学 の 完全積分可能条件である リウヴィル=アーノルドの定理(#リウヴィルの定理) 誰が発見? A. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 1853年リウヴィル: 「系の自由度に等しい数の #第一積分 が存在すれば求積可能」 1963年アーノルド: 幾何学の言葉で再定式化

#解析力学_保存量と対称性編 19 Q. #ネーターの定理 と #第一積分 との関係 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… ネーターの定理によれば 「#ラグランジュ形式 または #ハミルトン形式 の物理系に関し， 系の1つの連続的な #対称性 に付随して 1つの #第一積分 が存在する.」

#解析力学_保存量と対称性編 18 Q. #ハミルトン力学 の 完全積分可能条件である リウヴィル=アーノルドの定理(#リウヴィルの定理) 誰が発見? A. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 1853年リウヴィル: 「系の自由度に等しい数の #第一積分 が存在すれば求積可能」 1963年アーノルド: 幾何学の言葉で再定式化

#解析力学_保存量と対称性編 16 Q. リウヴィル=アーノルドの定理とは. A. Liouville–Arnold theorem (#リウヴィルの定理) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 独立な #第一積分 の組が #包合系(#ポアソン括弧 が #可換)なら求積可能. #正準変数 として #作用・角変数 を取れて #相空間 での軌道はトーラス.

#解析力学_保存量と対称性編 15 Q. #包合系 とは A. involution system ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 自由度nの #ハミルトン力学系 に n個の独立な #第一積分(#保存量) F_1, ..., F_n が存在し それらの #ポアソン括弧 が #可換 { F_i, F_j }＝0 である時 これらの第一積分は包合系をなすという.

#解析力学_保存量と対称性編 16 Q. リウヴィル=アーノルドの定理とは. A. Liouville–Arnold theorem (#リウヴィルの定理) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 独立な #第一積分 の組が #包合系(#ポアソン括弧 が #可換)なら求積可能. #正準変数 として #作用・角変数 を取れて #相空間 での軌道はトーラス.

#解析力学_保存量と対称性編 15 Q. #包合系 とは A. involution system ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 自由度nの #ハミルトン力学系 に n個の独立な #第一積分(#保存量) F_1, ..., F_n が存在し それらの #ポアソン括弧 が #可換 { F_i, F_j }＝0 である時 これらの第一積分は包合系をなすという.

#解析力学_保存量と対称性編 6 Q. #循環座標 は常に存在し #保存量(#第一積分)を導出することが常に可能? A. 座標系の取り方に依存するので 循環座標は常に存在するとは限らない. しかし #時空 の #対称性 により ①#エネルギー ②#運動量 ③#角運動量 の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 6 Q. #循環座標 は常に存在し #保存量(#第一積分)を導出することが常に可能? A. 座標系の取り方に依存するので 循環座標は常に存在するとは限らない. しかし #時空 の #対称性 により ①#エネルギー ②#運動量 ③#角運動量 の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 4 Q. #循環座標 q_c が存在する時 #保存量(#第一積分)が存在すると言えるのはなぜか A. n自由度で #ラグランジュ方程式 ∂L/∂q_i ＝ (d/dt)(∂L/∂q̇_i) をn個立式する際 c番目の式は 左辺∂L/∂q_c = 0より 右辺(d/dt)(∂L/∂q̇_c) = 0で ∂L/∂q̇_c = 時不変定数.

#解析力学_保存量と対称性編 4 Q. #循環座標 q_c が存在する時 #保存量(#第一積分)が存在すると言えるのはなぜか A. n自由度で #ラグランジュ方程式 ∂L/∂q_i ＝ (d/dt)(∂L/∂q̇_i) をn個立式する際 c番目の式は 左辺∂L/∂q_c = 0より 右辺(d/dt)(∂L/∂q̇_c) = 0で ∂L/∂q̇_c = 時不変定数.

#解析力学_保存量と対称性編 2 Q. #循環座標 とは. A. 循環座標 (cyclic coordinates) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA… #ラグランジアン L が 関数として陽に依存しない 一般座標変数 q_i のこと. もし循環座標が存在する場合， それに対応する共役運動量 p_i は 系の #保存量(#第一積分)となる.

#解析力学_保存量と対称性編 1 Q. 「#運動の積分」とは A. integral of motion ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… #古典力学 において 系の時間発展に際し 時間変化しない物理量のことを指す. 別名: ・ #保存量 (conserved quantity) ・ #第一積分 (first integral) ・運動の定数 (constant of motion)

#解析力学_保存量と対称性編 2 Q. #循環座標 とは. A. 循環座標 (cyclic coordinates) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA… #ラグランジアン L が 関数として陽に依存しない 一般座標変数 q_i のこと. もし循環座標が存在する場合， それに対応する共役運動量 p_i は 系の #保存量(#第一積分)となる.

#解析力学_保存量と対称性編 1 Q. 「#運動の積分」とは A. integral of motion ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… #古典力学 において 系の時間発展に際し 時間変化しない物理量のことを指す. 別名: ・ #保存量 (conserved quantity) ・ #第一積分 (first integral) ・運動の定数 (constant of motion)

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学―可積分系講義」(2000) p9より: 『#第一積分 が #固有写像 ならば #連結成分 は #Liouvilleトーラス であり， (φ_1,…,φ_n)は #2π を #法 とする #座標 とみなせる. #角変数 と呼ぶのはこの理由による. #相補的 な #変数 である #作用変数 の存在…』

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学―可積分系講義」 (共立出版2000Audin) 序章より: 『#完全可積分系 とは 許される最大個数の #第一積分 をもつ #Hamilton系。 より正確には #シンプレクティック多様体 で 定義するのが最も簡単だが ほぼ全ての例の自然な舞台は #Poisson多様体 で…』

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学―可積分系講義」 (共立出版2000Audin) 序文より: 『#可積分系 は 20世紀最後の20年余りの間に #数学 とその関連諸科学において きわめて重要な位置を 占めるに至った概念である。 #Liouville の可積分系の概念の鍵は 「#保存量(#第一積分)」にある。』