#解析力学_Lagrange形式編 101 Lがqのn階微分まで含み L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n)) である時 #最小作用の原理 δS＝δ∫Ldt＝0 にLを代入し #変分法 で計算すると 「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」 として Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 を得る.

#解析力学_Lagrange形式編 45 #最小作用の原理 δS=0を変形すると ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 となり 「δqとδq̇の項をどうやってまとめるか？」 という問題が生じる. ここで δq̇＝δ( dq/dt ) であり， (qをδqだけずらした時の) 「qの微分の変分」 を意味する.

#解析力学_Lagrange形式編 44 #最小作用の原理 δS＝0 ↓ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv } dt＝0　① ここで #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の第2引数に v(t)＝q̇(t) を代入すると ①より ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 ↓ δq̇ をどう扱うか？

#解析力学_Lagrange形式編 43 #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の #変分 は δL( q(t), v(t), t ) ＝ (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv ↑ これを #最小作用の原理 δS＝0 に代入すると， ∫{t_1→t_2} δL dt＝0 ∴ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv } dt＝0 ↓ どう変形するか？

#解析力学_Lagrange形式編 41 #最小作用の原理 ∫{t_1→t_2} δL( q(t), v(t), t ) dt＝0 ↑ #ラグランジアン の #変分 δLが出てくる. 変分の定義より δL( q(t), v(t), t ) ＝ L( q(t)＋δq(t), v(t)＋δv(t), t ) － L( q(t), v(t), t ) Lの #全微分 を使って ここから計算を進めよう.

#解析力学_Lagrange形式編 40 #最小作用の原理 を δ を使って表記し計算を進めると… δS[q]＝0 ↓ 作用汎関数の定義を代入 δ∫{t_1→t_2} L( q(t), v(t), t ) dt＝0 積分値の変分がゼロ ↓ 積分操作と変分操作の順序を交換 ∫{t_1→t_2} δL( q(t), v(t), t ) dt＝0 変分の積分値がゼロ

#解析力学_Lagrange形式編 39 #作用汎関数: S[q](ε)＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), v(t,ε), t ) dt δ を使って書き改めると ε は現れず S[q]＝∫{t_1→t_2} L( q(t), v(t), t ) dt #最小作用の原理: 系の時間発展を通し，スカラーSは最小となる. δ を使って書くと δS[q]＝0 Sの #変分 が0.

#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 76 ①#最小作用の原理 δS＝0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ↑ いずれも 「#微分方程式 を作るための方程式」 と考えるとよい. つまりその式自体を "解く" というより， 変形・代入して 別の微分方程式を生み出すのが目的.

#解析力学_Lagrange形式編 75 #ラグランジュ形式 を整理: #作用 S=∫{t1→t2}Ldtを定義し #最小作用の原理 δS=0を要請すると #変分法 より #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 が導出され #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V を代入すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 62 Q. 物理学で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. #最小作用の原理 を満たす軌跡を #変分法 で導出した #微分方程式. #ニュートンの運動方程式 を 数学的に洗練された方法で定式化し直し #一般化座標 に拡張したもの. #ラグランジュの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 49 δq̇＝δ(dq/dt)＝(d/dt)(δq) という性質を使えば… #最小作用の原理 の式は ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 ↓ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇) (d/dt)(δq) } dt＝0 第2項は，部分積分で δqの微分記号を消す事が可能になる！

#解析力学_Lagrange形式編 45 #最小作用の原理 δS=0を変形すると ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 となり 「δqとδq̇の項をどうやってまとめるか？」 という問題が生じる. ここで δq̇＝δ( dq/dt ) であり， (qをδqだけずらした時の) 「qの微分の変分」 を意味する.

#解析力学_Lagrange形式編 44 #最小作用の原理 δS＝0 ↓ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv } dt＝0　① ここで #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の第2引数に v(t)＝q̇(t) を代入すると ①より ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 ↓ δq̇ をどう扱うか？

#解析力学_Lagrange形式編 43 #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の #変分 は δL( q(t), v(t), t ) ＝ (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv ↑ これを #最小作用の原理 δS＝0 に代入すると， ∫{t_1→t_2} δL dt＝0 ∴ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv } dt＝0 ↓ どう変形するか？

#解析力学_Lagrange形式編 41 #最小作用の原理 ∫{t_1→t_2} δL( q(t), v(t), t ) dt＝0 ↑ #ラグランジアン の #変分 δLが出てくる. 変分の定義より δL( q(t), v(t), t ) ＝ L( q(t)＋δq(t), v(t)＋δv(t), t ) － L( q(t), v(t), t ) Lの #全微分 を使って ここから計算を進めよう.

#解析力学_Lagrange形式編 40 #最小作用の原理 を δ を使って表記し計算を進めると… δS[q]＝0 ↓ 作用汎関数の定義を代入 δ∫{t_1→t_2} L( q(t), v(t), t ) dt＝0 積分値の変分がゼロ ↓ 積分操作と変分操作の順序を交換 ∫{t_1→t_2} δL( q(t), v(t), t ) dt＝0 変分の積分値がゼロ

#解析力学_Lagrange形式編 39 #作用汎関数: S[q](ε)＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), v(t,ε), t ) dt δ を使って書き改めると ε は現れず S[q]＝∫{t_1→t_2} L( q(t), v(t), t ) dt #最小作用の原理: 系の時間発展を通し，スカラーSは最小となる. δ を使って書くと δS[q]＝0 Sの #変分 が0.

#解析力学_Lagrange形式編 19 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる」★ ↑ ★は，物理学的には #ラグランジアン Lの時間積分という #作用汎関数 が最小値をとること. すなわち #最小作用の原理 に相当する. ★を変形し q(t)が満たす #微分方程式 を作るには?

#解析力学_Lagrange形式編 14 Q. #ハミルトニアン H=T+Uは 「系の全エネルギー」(わかりやすい) #ラグランジアン L=T-Uの 「物理的な意味」を考えてみよ A. #作用汎関数 の定義 S＝∫Ldt と #最小作用の原理 δS＝0 より Lの物理的な意味は 「系の時間発展の間，時間積分が最小となるべき量」

#解析力学_Lagrange形式編 19 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる」★ ↑ ★は，物理学的には #ラグランジアン Lの時間積分という #作用汎関数 が最小値をとること. すなわち #最小作用の原理 に相当する. ★を変形し q(t)が満たす #微分方程式 を作るには?