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#解析力学_Hamilton形式編 24 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p ↑ この2つは同じことを言っているの? A. どちらも #最小作用の原理 δS=0 と同じ意味. #作用 Sの変数として ①Lと ②Hのどちらで書くかの差.
#解析力学_Hamilton形式編 22 #ハミルトン形式 を整理: #正準運動量 p＝∂L/∂q̇と #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p－L(q,q̇) を定義すると， #作用 S=∫{t1→t2}Ldt および #最小作用の原理 δS=0の式は Lの代わりに Hの式となり， #ハミルトンの正準方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇= ∂H/∂p が導出される.
#解析力学_Hamilton形式編 13 Q. #最小作用の原理 から #ハミルトンの正準方程式 を導出 A. 計算は下記URL参照 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… #作用積分 Sは #ラグランジアン Lの時間積分. Lと #ハミルトニアン Hに #ルジャンドル変換 による変換関係があるので SをHで表せて Sの停留点を求める.
#解析力学_Hamilton形式編 24 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p ↑ この2つは同じことを言っているの? A. どちらも #最小作用の原理 δS=0 と同じ意味. #作用 Sの変数として ①Lと ②Hのどちらで書くかの差.
#解析力学_Hamilton形式編 22 #ハミルトン形式 を整理: #正準運動量 p＝∂L/∂q̇と #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p－L(q,q̇) を定義すると， #作用 S=∫{t1→t2}Ldt および #最小作用の原理 δS=0の式は Lの代わりに Hの式となり， #ハミルトンの正準方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇= ∂H/∂p が導出される.
#解析力学_Lagrange形式編 118 整理: 物理的安定性を要請すると 「#ラグランジアン は q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき， L=L(q,q̇)とおけて #最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると， #オイラー・ラグランジュ方程式 や #ニュートンの運動方程式 は 2階の微分方程式になる.
#解析力学_Hamilton形式編 13 Q. #最小作用の原理 から #ハミルトンの正準方程式 を導出 A. 計算は下記URL参照 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… #作用積分 Sは #ラグランジアン Lの時間積分. Lと #ハミルトニアン Hに #ルジャンドル変換 による変換関係があるので SをHで表せて Sの停留点を求める.
#解析力学_Lagrange形式編 101 Lがqのn階微分まで含み L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n)) である時 #最小作用の原理 δS＝δ∫Ldt＝0 にLを代入し #変分法 で計算すると 「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」 として Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 を得る.
#解析力学_Lagrange形式編 118 整理: 物理的安定性を要請すると 「#ラグランジアン は q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき， L=L(q,q̇)とおけて #最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると， #オイラー・ラグランジュ方程式 や #ニュートンの運動方程式 は 2階の微分方程式になる.
#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.
#解析力学_Lagrange形式編 76 ①#最小作用の原理 δS＝0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ↑ いずれも 「#微分方程式 を作るための方程式」 と考えるとよい. つまりその式自体を "解く" というより， 変形・代入して 別の微分方程式を生み出すのが目的.
#解析力学_Lagrange形式編 75 #ラグランジュ形式 を整理: #作用 S=∫{t1→t2}Ldtを定義し #最小作用の原理 δS=0を要請すると #変分法 より #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 が導出され #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V を代入すると #ニュートンの運動方程式 になる.
#解析力学_Lagrange形式編 101 Lがqのn階微分まで含み L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n)) である時 #最小作用の原理 δS＝δ∫Ldt＝0 にLを代入し #変分法 で計算すると 「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」 として Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 を得る.
#解析力学_Lagrange形式編 62 Q. 物理学で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. #最小作用の原理 を満たす軌跡を #変分法 で導出した #微分方程式. #ニュートンの運動方程式 を 数学的に洗練された方法で定式化し直し #一般化座標 に拡張したもの. #ラグランジュの運動方程式.
#解析力学_Lagrange形式編 49 δq̇＝δ(dq/dt)＝(d/dt)(δq) という性質を使えば… #最小作用の原理 の式は ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 ↓ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇) (d/dt)(δq) } dt＝0 第2項は，部分積分で δqの微分記号を消す事が可能になる！
最小作用の原理を使って道を定めるブタを描きました。 #イラスト #最小作用の原理 #オイラーラグランジュ方程式 #ラグランジアン #物理 #解析力学 pic.twitter.com/Xwz5mAXxiS
#解析力学_Lagrange形式編 45 #最小作用の原理 δS=0を変形すると ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 となり 「δqとδq̇の項をどうやってまとめるか？」 という問題が生じる. ここで δq̇＝δ( dq/dt ) であり， (qをδqだけずらした時の) 「qの微分の変分」 を意味する.
#解析力学_Lagrange形式編 44 #最小作用の原理 δS＝0 ↓ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv } dt＝0 ① ここで #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の第2引数に v(t)＝q̇(t) を代入すると ①より ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 ↓ δq̇ をどう扱うか？
#解析力学_Lagrange形式編 43 #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の #変分 は δL( q(t), v(t), t ) ＝ (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv ↑ これを #最小作用の原理 δS＝0 に代入すると， ∫{t_1→t_2} δL dt＝0 ∴ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv } dt＝0 ↓ どう変形するか？
#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.
#解析力学_Lagrange形式編 76 ①#最小作用の原理 δS＝0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ↑ いずれも 「#微分方程式 を作るための方程式」 と考えるとよい. つまりその式自体を "解く" というより， 変形・代入して 別の微分方程式を生み出すのが目的.
#解析力学_Lagrange形式編 75 #ラグランジュ形式 を整理: #作用 S=∫{t1→t2}Ldtを定義し #最小作用の原理 δS=0を要請すると #変分法 より #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 が導出され #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V を代入すると #ニュートンの運動方程式 になる.
#解析力学_Lagrange形式編 40 #最小作用の原理 を δ を使って表記し計算を進めると… δS[q]＝0 ↓ 作用汎関数の定義を代入 δ∫{t_1→t_2} L( q(t), v(t), t ) dt＝0 積分値の変分がゼロ ↓ 積分操作と変分操作の順序を交換 ∫{t_1→t_2} δL( q(t), v(t), t ) dt＝0 変分の積分値がゼロ
#解析力学_Lagrange形式編 39 #作用汎関数: S[q](ε)＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), v(t,ε), t ) dt δ を使って書き改めると ε は現れず S[q]＝∫{t_1→t_2} L( q(t), v(t), t ) dt #最小作用の原理: 系の時間発展を通し，スカラーSは最小となる. δ を使って書くと δS[q]＝0 Sの #変分 が0.
#解析力学_Lagrange形式編 62 Q. 物理学で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. #最小作用の原理 を満たす軌跡を #変分法 で導出した #微分方程式. #ニュートンの運動方程式 を 数学的に洗練された方法で定式化し直し #一般化座標 に拡張したもの. #ラグランジュの運動方程式.
#解析力学_Lagrange形式編 49 δq̇＝δ(dq/dt)＝(d/dt)(δq) という性質を使えば… #最小作用の原理 の式は ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 ↓ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇) (d/dt)(δq) } dt＝0 第2項は，部分積分で δqの微分記号を消す事が可能になる！
#解析力学_Lagrange形式編 11 Hamilton's principle en.wikipedia.org/wiki/Hamilton'… Hamilton's formulation of the principle of stationary action. 「#最小作用の原理 を #ハミルトン が定式化したものが， #ハミルトンの原理 である」 (※要は，同じ物なのである。)
#解析力学_Lagrange形式編 45 #最小作用の原理 δS=0を変形すると ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 となり 「δqとδq̇の項をどうやってまとめるか？」 という問題が生じる. ここで δq̇＝δ( dq/dt ) であり， (qをδqだけずらした時の) 「qの微分の変分」 を意味する.
#解析力学_Lagrange形式編 9 Q. #解析力学 において #最小作用の原理 とは A. principle of least action ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… ・「力学系の運動(時間発展)は #作用汎関数 Sを最小にするような軌道に沿い 実現される.」 ・「Sの停留点を計算すれば 系の #運動方程式 が得られる.」
#解析力学_Lagrange形式編 44 #最小作用の原理 δS＝0 ↓ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv } dt＝0 ① ここで #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の第2引数に v(t)＝q̇(t) を代入すると ①より ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 ↓ δq̇ をどう扱うか？
#解析力学_Lagrange形式編 43 #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の #変分 は δL( q(t), v(t), t ) ＝ (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv ↑ これを #最小作用の原理 δS＝0 に代入すると， ∫{t_1→t_2} δL dt＝0 ∴ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv } dt＝0 ↓ どう変形するか？
#解析力学_Lagrange形式編 40 #最小作用の原理 を δ を使って表記し計算を進めると… δS[q]＝0 ↓ 作用汎関数の定義を代入 δ∫{t_1→t_2} L( q(t), v(t), t ) dt＝0 積分値の変分がゼロ ↓ 積分操作と変分操作の順序を交換 ∫{t_1→t_2} δL( q(t), v(t), t ) dt＝0 変分の積分値がゼロ
#解析力学_Lagrange形式編 39 #作用汎関数: S[q](ε)＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), v(t,ε), t ) dt δ を使って書き改めると ε は現れず S[q]＝∫{t_1→t_2} L( q(t), v(t), t ) dt #最小作用の原理: 系の時間発展を通し，スカラーSは最小となる. δ を使って書くと δS[q]＝0 Sの #変分 が0.
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