#解析力学_Lagrange形式編 102 #ラグランジアン L(q,q̇,…,q^(n)) が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 は Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 Lがqの2階微分まで含み L=L(q,q̇,q̈)ならば ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＋(d^2/dt^2)(∂L/∂q̈)=0 qに関する4階微分方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 101 Lがqのn階微分まで含み L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n)) である時 #最小作用の原理 δS＝δ∫Ldt＝0 にLを代入し #変分法 で計算すると 「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」 として Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 を得る.

#解析力学_Lagrange形式編 100 Q. #ラグランジアン がもし qの二階以上の微分(高階の微分) を含む場合 #オイラー・ラグランジュ方程式 はどうなる？ A. 下記PDFの12ページに計算が. wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~acts/mechanic… オイラー・ラグランジュ方程式は 2階ではなく もっと高階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 99 ここまで， #ラグランジアン が L(q, q̇) すなわち q の一階微分までを 変数として含む場合に限って計算を進め， 結果として #オイラー・ラグランジュ方程式 は 二階の微分方程式となった。 では， Lがqの二階以上の微分(高階の微分) を含む場合もあるのか？

#解析力学_Lagrange形式編 98 諸賢の方々のコメントを 下記URLにまとめてある。 "【記号不足】qとqドットは独立？ #解析力学 の 「#オイラー・ラグランジュ方程式」 の偏微分について詳しく知りたい！！ ∬∬∬ " togetter.com/li/1818857 ※Togetter編集部イチオシを受賞しました。

#解析力学_Lagrange形式編 96 このように… 具体的な #ラグランジアン を 2変数関数としてグラフ描画し 位置qと 速度vが #独立変数 で， 各々の変数でそれぞれ Lを #偏微分 できる. 偏微分の後で v＝q̇ を代入するのが #オイラー・ラグランジュ方程式. という事をよく理解できた.

#解析力学_Lagrange形式編 95 #ラグランジアン が L(h,v)＝T－U =(1/2)mv^2－mgh の時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は… ∂L/∂h － (d/dt){ [ ∂L/∂v ]_{vにḣを代入} }＝0 ① ∂L/∂h＝－mg ∂L/∂v＝mv より，①は －mg－(d/dt)mḣ＝0 ∴ mḧ＝－mg #ニュートンの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 85 #オイラー・ラグランジュ方程式 で q, q̇ が独立変数であるかのような 入門時に誤解を招きやすい略記法が 一般に広く使われる. 「本当は q, q̇ ではなく q, v が独立変数だよ」と言われても まだ納得できない人のために… 具体的なL(q,v)を考えてみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 83 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L(q,q̇)/∂q－(d/dt){ ∂L(q,q̇)/∂q̇ }＝0 ∂L(q,q̇)/∂q̇ は ①「q̇で偏微分」でなく ②「vで偏微分した後でvにq̇を代入」 を意味する. 従って ∂/∂q̇ の正体は ∂/∂v なので qとvは独立だからそれぞれ偏微分できる.

#解析力学_Lagrange形式編 82 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L(q,q̇)/∂q－(d/dt){ ∂L(q,q̇)/∂q̇ }＝0 誤解のもとは ズバリ【記号不足】. ∂L(q,q̇)/∂q̇ は ①「q̇で偏微分」ではなく ②「vで偏微分した後でvにq̇を代入」なのだが この②の操作を表す数学記号が 無いのである！

#解析力学_Lagrange形式編 81 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L(q,q̇)/∂q － (d/dt){ ∂L(q,q̇)/∂q̇ } ＝ 0 ↑ 略しすぎで誤解を招く記法！ 正しくは… [ ∂L(q,v)/∂q ]_{ vにq̇を代入 } － (d/dt){ [ ∂L(q,v)/∂v ]_{ vにq̇を代入 }※ } =0 ※vで偏微分した後で vにq̇を代入.

#解析力学_Lagrange形式編 78 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 について， 誰もが一度はいだくであろう疑問！ それは… 「 q̇ で偏微分するっておかしいのでは？」 「 q と q̇ は独立では無いだろう！」 これは皆つまずく。 togetter.com/li/1818857

#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 76 ①#最小作用の原理 δS＝0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ↑ いずれも 「#微分方程式 を作るための方程式」 と考えるとよい. つまりその式自体を "解く" というより， 変形・代入して 別の微分方程式を生み出すのが目的.

#解析力学_Lagrange形式編 75 #ラグランジュ形式 を整理: #作用 S=∫{t1→t2}Ldtを定義し #最小作用の原理 δS=0を要請すると #変分法 より #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 が導出され #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V を代入すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 73 Q. 「#オイラー・ラグランジュ方程式 が 座標変換に対して #共変 である」 とはどういう事か A. #ラグランジュの運動方程式 の共変性 dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E8… 座標系の取り方を変えても ラグランジュ方程式は不変，という事を 座標変換に関する #共変性 という.

#解析力学_Lagrange形式編 70 Q. L(q,q̇,t)が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ★ は， Lではなくqに関する微分方程式. この式の (d/dt) の部分は 微分方程式の階数に影響する？ A. (d/dt) により Lに含まれるq, q̇は時間微分の階数が増え q̇, q̈ になる.

#解析力学_Lagrange形式編 69 Q. L(q,q̇,t)が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ★ ↑ この式の ∂L/∂q と ∂L/∂q̇ は 微分方程式の階数を上げない. と言えるのはなぜ？ A. Lをqやq̇で偏微分しても Lに含まれるq, q̇は 時間微分の階数が増えず q, q̇のまま.

#解析力学_Lagrange形式編 68 Q. L(q,q̇,t)が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ★ は Lではなくqに関する微分方程式で ①qによる偏微分 ②tによる全微分 ③q̇による偏微分 を含んでいる. このうち， この微分方程式の「階数」を上げるのはどれ？ A. ②だけ.

#解析力学_Lagrange形式編 67 Q. L(q,q̇,t)が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ★ ↑ これって 「Lを求めるための微分方程式」じゃないの？ A. Lはすでにわかっているとして Lをqとq̇とtで表記して★に代入したら q(t)という #一般化座標 の時間軌跡が求まる.

#解析力学_Lagrange形式編 66 Q. L(q,q̇,t)が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ↑ 第2項でLを q̇とtで微分しているのは 「Lについての」二階の微分方程式ということ？ A. ちょっと違う. Lについて解くのではなく qについて解くためにある微分方程式だから…。

#解析力学_Lagrange形式編 63 Q. #一般化座標 q 一般化座標の時間微分 q̇ 時間 t について， #オイラー・ラグランジュ方程式 (#ラグランジュの運動方程式) を書け。 A. #ラグランジアン L( q(t), q̇(t), t ) に対し ∂L / ∂q － (d/dt)( ∂L / ∂q̇ ) ＝ 0

#解析力学_Lagrange形式編 62 Q. 物理学で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. #最小作用の原理 を満たす軌跡を #変分法 で導出した #微分方程式. #ニュートンの運動方程式 を 数学的に洗練された方法で定式化し直し #一般化座標 に拡張したもの. #ラグランジュの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 61 ここまでで，1次元の #オイラー・ラグランジュ方程式 を 導出した. 一般のd次元の場合にも， 同様の手順で #変分法 により立式できる. 計算過程は下記URLの通り. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… #自由度(空間の次元)の個数だけ #連立偏微分方程式 が得られる.

#解析力学_Lagrange形式編 60 幾つか参考文献をあたってみて 分かる事は… ･#オイラー・ラグランジュ方程式 を #変分法 で導出する際 #変分演算子 δ を主に使う流儀と あまり使わない流儀とがある. ･部分積分で δq̇ を消す部分で 微分と #変分 の交換を要するが その証明は省きがち.

#解析力学_Lagrange形式編 54 #オイラー・ラグランジュ方程式 を 変分計算で導出する際， 計算の表記法が2通りに分かれる, ①#変分演算子 δを主に用いず 微小量εと 任意関数h(t)の組み合わせで表記 ②δを主に使って計算 原理的には①なのだが， 略記である②の表記も多用される.

#解析力学_Lagrange形式編 53 最小作用の原理の式 ∫{t_1→t_2} { ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇) } δq dt＝0 が任意の δq で成り立つので， { } 内＝0 ∴ ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0. こうして， #変分演算子 δ を使った計算においても #オイラー・ラグランジュ方程式 を導出できた.

#解析力学_Lagrange形式編 37 #停留値 を与える解 q_0 (t) を わずかに変形した曲線 q(t,ε)=q_0 (t)+ε・h(t) を考え [ dS/dε ]_{ε=0}＝0 を計算すると #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q+(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 を得る ↑ この計算過程を 「δ」という記号を使って 書き直してみよう！

#解析力学_Lagrange形式編 36 #汎関数 S の停留条件より dS/dε =∫{t_1→t_2} h(t) { ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇) } dt の { } 内が恒等的に0 ∴ ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 これが #変分法 で導出される #オイラー・ラグランジュ方程式 であり， 物理学とは無関係に成立する.

#解析力学_Lagrange形式編 17 3つの引数 q, q̇(=dq/dt), t をとる関数 L(q,q̇,t) があるとする. Lは既知関数だが 具体的な形はここでは与えられていない(考慮不要). 未知関数は q=q(t) である. この時，Lが満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 を 次ツイから #変分法 で計算してみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 16 Q. 一般的に，#変分法 で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. Euler–Lagrange equation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#汎関数 の停留値を与える関数」 を求める #微分方程式. 一般的な汎関数に対し， オイラー・ラグランジュ方程式は 物理学と無関係に成立.

#解析力学_Hamilton形式編 27 Q. #ラグランジュ形式 と比較して #ハミルトン形式 のメリット&デメリット A. デメリット: #オイラー・ラグランジュ方程式 と比べ #ハミルトンの正準方程式 は 変数も方程式も個数が2倍. メリット: #微分方程式 の階数が1階で済み #量子力学 へ移行もしやすい.

#解析力学_Hamilton形式編 26 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p それぞれ何を求めるための物? A. ①Lを求めるのではなく q(t)を求めるための方程式. ②Hを求めるのではなく q(t)とp(t)を求めるための方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 25 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式: L(q,q̇)に対し ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式: H(q,p)に対し ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ この2つで 「#微分方程式 の #階数」は異なる? A. ①q(t)に関し2階. ②q(t),p(t)に関しそれぞれ1階.

#解析力学_Hamilton形式編 24 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p ↑ この2つは同じことを言っているの? A. どちらも #最小作用の原理 δS=0 と同じ意味. #作用 Sの変数として ①Lと ②Hのどちらで書くかの差.

#解析力学_Hamilton形式編 23 並べて比較 ▶#ラグランジュ形式 #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ▶#ハミルトン形式 #正準運動量 p=∂L/∂q̇ #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p-L(q,q̇) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 27 Q. #ラグランジュ形式 と比較して #ハミルトン形式 のメリット&デメリット A. デメリット: #オイラー・ラグランジュ方程式 と比べ #ハミルトンの正準方程式 は 変数も方程式も個数が2倍. メリット: #微分方程式 の階数が1階で済み #量子力学 へ移行もしやすい.

#解析力学_Hamilton形式編 26 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p それぞれ何を求めるための物? A. ①Lを求めるのではなく q(t)を求めるための方程式. ②Hを求めるのではなく q(t)とp(t)を求めるための方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 25 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式: L(q,q̇)に対し ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式: H(q,p)に対し ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ この2つで 「#微分方程式 の #階数」は異なる? A. ①q(t)に関し2階. ②q(t),p(t)に関しそれぞれ1階.