#解析力学_Hamilton形式編 27 Q. #ラグランジュ形式 と比較して #ハミルトン形式 のメリット&デメリット A. デメリット: #オイラー・ラグランジュ方程式 と比べ #ハミルトンの正準方程式 は 変数も方程式も個数が2倍. メリット: #微分方程式 の階数が1階で済み #量子力学 へ移行もしやすい.

#解析力学_Hamilton形式編 26 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p それぞれ何を求めるための物? A. ①Lを求めるのではなく q(t)を求めるための方程式. ②Hを求めるのではなく q(t)とp(t)を求めるための方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 25 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式: L(q,q̇)に対し ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式: H(q,p)に対し ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ この2つで 「#微分方程式 の #階数」は異なる? A. ①q(t)に関し2階. ②q(t),p(t)に関しそれぞれ1階.

#解析力学_Hamilton形式編 24 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p ↑ この2つは同じことを言っているの? A. どちらも #最小作用の原理 δS=0 と同じ意味. #作用 Sの変数として ①Lと ②Hのどちらで書くかの差.

#解析力学_Hamilton形式編 23 並べて比較 ▶#ラグランジュ形式 #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ▶#ハミルトン形式 #正準運動量 p=∂L/∂q̇ #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p-L(q,q̇) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Lagrange形式編 118 整理: 物理的安定性を要請すると 「#ラグランジアン は q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき， L=L(q,q̇)とおけて #最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると， #オイラー・ラグランジュ方程式 や #ニュートンの運動方程式 は 2階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 112 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#オストログラドスキーの定理 は 通常の物理系の #運動方程式 が 2階微分方程式として定式化される理由を 説明する，と解釈される」 #ニュートンの運動方程式 や #オイラー・ラグランジュ方程式 が 2階なのは このためなんですね.

#解析力学_Lagrange形式編 103 「#ラグランジアン Lが q̈やそれ以上の高階微分を 変数として含む時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は 3階以上の微分方程式になる」 ということが分かった. でも普通の #解析力学 ではL=L(q,q̇)とおき #オイラー・ラグランジュ方程式 は2階. なぜそうおける?

#解析力学_Lagrange形式編 102 #ラグランジアン L(q,q̇,…,q^(n)) が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 は Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 Lがqの2階微分まで含み L=L(q,q̇,q̈)ならば ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＋(d^2/dt^2)(∂L/∂q̈)=0 qに関する4階微分方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 101 Lがqのn階微分まで含み L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n)) である時 #最小作用の原理 δS＝δ∫Ldt＝0 にLを代入し #変分法 で計算すると 「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」 として Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 を得る.

#解析力学_Lagrange形式編 100 Q. #ラグランジアン がもし qの二階以上の微分(高階の微分) を含む場合 #オイラー・ラグランジュ方程式 はどうなる？ A. 下記PDFの12ページに計算が. wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~acts/mechanic… オイラー・ラグランジュ方程式は 2階ではなく もっと高階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 99 ここまで， #ラグランジアン が L(q, q̇) すなわち q の一階微分までを 変数として含む場合に限って計算を進め， 結果として #オイラー・ラグランジュ方程式 は 二階の微分方程式となった。 では， Lがqの二階以上の微分(高階の微分) を含む場合もあるのか？

#解析力学_Lagrange形式編 98 諸賢の方々のコメントを 下記URLにまとめてある。 "【記号不足】qとqドットは独立？ #解析力学 の 「#オイラー・ラグランジュ方程式」 の偏微分について詳しく知りたい！！ ∬∬∬ " togetter.com/li/1818857 ※Togetter編集部イチオシを受賞しました。

#解析力学_Lagrange形式編 96 このように… 具体的な #ラグランジアン を 2変数関数としてグラフ描画し 位置qと 速度vが #独立変数 で， 各々の変数でそれぞれ Lを #偏微分 できる. 偏微分の後で v＝q̇ を代入するのが #オイラー・ラグランジュ方程式. という事をよく理解できた.

#解析力学_Lagrange形式編 95 #ラグランジアン が L(h,v)＝T－U =(1/2)mv^2－mgh の時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は… ∂L/∂h － (d/dt){ [ ∂L/∂v ]_{vにḣを代入} }＝0 ① ∂L/∂h＝－mg ∂L/∂v＝mv より，①は －mg－(d/dt)mḣ＝0 ∴ mḧ＝－mg #ニュートンの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 85 #オイラー・ラグランジュ方程式 で q, q̇ が独立変数であるかのような 入門時に誤解を招きやすい略記法が 一般に広く使われる. 「本当は q, q̇ ではなく q, v が独立変数だよ」と言われても まだ納得できない人のために… 具体的なL(q,v)を考えてみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 83 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L(q,q̇)/∂q－(d/dt){ ∂L(q,q̇)/∂q̇ }＝0 ∂L(q,q̇)/∂q̇ は ①「q̇で偏微分」でなく ②「vで偏微分した後でvにq̇を代入」 を意味する. 従って ∂/∂q̇ の正体は ∂/∂v なので qとvは独立だからそれぞれ偏微分できる.

#解析力学_Lagrange形式編 82 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L(q,q̇)/∂q－(d/dt){ ∂L(q,q̇)/∂q̇ }＝0 誤解のもとは ズバリ【記号不足】. ∂L(q,q̇)/∂q̇ は ①「q̇で偏微分」ではなく ②「vで偏微分した後でvにq̇を代入」なのだが この②の操作を表す数学記号が 無いのである！

#解析力学_Lagrange形式編 81 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L(q,q̇)/∂q － (d/dt){ ∂L(q,q̇)/∂q̇ } ＝ 0 ↑ 略しすぎで誤解を招く記法！ 正しくは… [ ∂L(q,v)/∂q ]_{ vにq̇を代入 } － (d/dt){ [ ∂L(q,v)/∂v ]_{ vにq̇を代入 }※ } =0 ※vで偏微分した後で vにq̇を代入.

#解析力学_Lagrange形式編 78 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 について， 誰もが一度はいだくであろう疑問！ それは… 「 q̇ で偏微分するっておかしいのでは？」 「 q と q̇ は独立では無いだろう！」 これは皆つまずく。 togetter.com/li/1818857

#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 76 ①#最小作用の原理 δS＝0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ↑ いずれも 「#微分方程式 を作るための方程式」 と考えるとよい. つまりその式自体を "解く" というより， 変形・代入して 別の微分方程式を生み出すのが目的.

#解析力学_Lagrange形式編 75 #ラグランジュ形式 を整理: #作用 S=∫{t1→t2}Ldtを定義し #最小作用の原理 δS=0を要請すると #変分法 より #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 が導出され #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V を代入すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 73 Q. 「#オイラー・ラグランジュ方程式 が 座標変換に対して #共変 である」 とはどういう事か A. #ラグランジュの運動方程式 の共変性 dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E8… 座標系の取り方を変えても ラグランジュ方程式は不変，という事を 座標変換に関する #共変性 という.