#解析力学_Lagrange形式編 118 整理: 物理的安定性を要請すると 「#ラグランジアン は q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき， L=L(q,q̇)とおけて #最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると， #オイラー・ラグランジュ方程式 や #ニュートンの運動方程式 は 2階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 112 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#オストログラドスキーの定理 は 通常の物理系の #運動方程式 が 2階微分方程式として定式化される理由を 説明する，と解釈される」 #ニュートンの運動方程式 や #オイラー・ラグランジュ方程式 が 2階なのは このためなんですね.

#解析力学_Lagrange形式編 95 #ラグランジアン が L(h,v)＝T－U =(1/2)mv^2－mgh の時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は… ∂L/∂h － (d/dt){ [ ∂L/∂v ]_{vにḣを代入} }＝0 ① ∂L/∂h＝－mg ∂L/∂v＝mv より，①は －mg－(d/dt)mḣ＝0 ∴ mḧ＝－mg #ニュートンの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 75 #ラグランジュ形式 を整理: #作用 S=∫{t1→t2}Ldtを定義し #最小作用の原理 δS=0を要請すると #変分法 より #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 が導出され #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V を代入すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 74 Q. 振り子の運動を例にとり (1) #ニュートンの運動方程式 と (2) #ラグランジュの運動方程式 で 立式アプローチを比較せよ A. (1) デカルト座標で 縦軸方向と横軸方向の 2つの変数を使って立式した後 極座標に変換 (2) 最初から角度を #一般化座標 として立式

#解析力学_Lagrange形式編 72 Q. #ニュートン力学 の #運動方程式 と比べた場合 #ラグランジュ形式 の利点は？ A. 座標変換が簡単. #ニュートンの運動方程式 は ベクトルの方程式で， デカルト座標以外では 煩雑な座標変換が必要. 一方，ラグランジュ形式では #ラグランジアン はスカラー.

#解析力学_Lagrange形式編 64 Q. ラグランジュの #運動方程式 の両辺を 物理的に解釈 A. ①#ニュートンの運動方程式: F＝(d/dt)(【mv】) 力＝【運動量】の微分 ②#ラグランジュの運動方程式: ①を #一般化座標 に拡張. ∂L/∂q＝(d/dt)(【∂L / ∂q̇】) 一般化力＝【#一般化運動量】の微分

#解析力学_Lagrange形式編 62 Q. 物理学で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. #最小作用の原理 を満たす軌跡を #変分法 で導出した #微分方程式. #ニュートンの運動方程式 を 数学的に洗練された方法で定式化し直し #一般化座標 に拡張したもの. #ラグランジュの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 118 整理: 物理的安定性を要請すると 「#ラグランジアン は q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき， L=L(q,q̇)とおけて #最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると， #オイラー・ラグランジュ方程式 や #ニュートンの運動方程式 は 2階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 112 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#オストログラドスキーの定理 は 通常の物理系の #運動方程式 が 2階微分方程式として定式化される理由を 説明する，と解釈される」 #ニュートンの運動方程式 や #オイラー・ラグランジュ方程式 が 2階なのは このためなんですね.

#解析力学_Lagrange形式編 95 #ラグランジアン が L(h,v)＝T－U =(1/2)mv^2－mgh の時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は… ∂L/∂h － (d/dt){ [ ∂L/∂v ]_{vにḣを代入} }＝0 ① ∂L/∂h＝－mg ∂L/∂v＝mv より，①は －mg－(d/dt)mḣ＝0 ∴ mḧ＝－mg #ニュートンの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 75 #ラグランジュ形式 を整理: #作用 S=∫{t1→t2}Ldtを定義し #最小作用の原理 δS=0を要請すると #変分法 より #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 が導出され #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V を代入すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 74 Q. 振り子の運動を例にとり (1) #ニュートンの運動方程式 と (2) #ラグランジュの運動方程式 で 立式アプローチを比較せよ A. (1) デカルト座標で 縦軸方向と横軸方向の 2つの変数を使って立式した後 極座標に変換 (2) 最初から角度を #一般化座標 として立式

#解析力学_Lagrange形式編 72 Q. #ニュートン力学 の #運動方程式 と比べた場合 #ラグランジュ形式 の利点は？ A. 座標変換が簡単. #ニュートンの運動方程式 は ベクトルの方程式で， デカルト座標以外では 煩雑な座標変換が必要. 一方，ラグランジュ形式では #ラグランジアン はスカラー.

＜#解析力学の参考書＞ 「数学から見た古典力学」(岩波書店2004) amazon.co.jp/dp/4000111647 『#ニュートンの運動方程式 は， #リーマン多様体 上の 特別な形をもつ #2階 の #常微分方程式 として 与えられる. #多様体 とは何かからはじまって #物理 の #基本方程式 を 多様体上で #定式化.』

#解析力学_Lagrange形式編 64 Q. ラグランジュの #運動方程式 の両辺を 物理的に解釈 A. ①#ニュートンの運動方程式: F＝(d/dt)(【mv】) 力＝【運動量】の微分 ②#ラグランジュの運動方程式: ①を #一般化座標 に拡張. ∂L/∂q＝(d/dt)(【∂L / ∂q̇】) 一般化力＝【#一般化運動量】の微分

#解析力学_Lagrange形式編 62 Q. 物理学で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. #最小作用の原理 を満たす軌跡を #変分法 で導出した #微分方程式. #ニュートンの運動方程式 を 数学的に洗練された方法で定式化し直し #一般化座標 に拡張したもの. #ラグランジュの運動方程式.