＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」 (岩波書店2005砂田) p8より: 『(#量子力学的)#運動方程式 √(-1) dψ / dt ＝ Ĥ_ħ ψ は常に #一意的 に解く事ができ その #解 ψ(t) に対し ψ(t) ＝ T_t ψ_0 とおく時 T_t は #ヒルベルト空間 ℋ の 1径数 #ユニタリ変換群 に #拡張 される.』

#解析力学_Lagrange形式編 112 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#オストログラドスキーの定理 は 通常の物理系の #運動方程式 が 2階微分方程式として定式化される理由を 説明する，と解釈される」 #ニュートンの運動方程式 や #オイラー・ラグランジュ方程式 が 2階なのは このためなんですね.

#解析力学_Lagrange形式編 105 #オストログラドスキーの定理 theorem of Ostrogradsky ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 力学変数の高階微分を #運動方程式 に含むような系では， #ハミルトニアン が「下に非有界」となり， 物理的に不安定なモードが存在するため そのような系は「物理的ではない」.

#解析力学_Lagrange形式編 9 Q. #解析力学 において #最小作用の原理 とは A. principle of least action ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… ・「力学系の運動(時間発展)は #作用汎関数 Sを最小にするような軌道に沿い 実現される.」 ・「Sの停留点を計算すれば 系の #運動方程式 が得られる.」

#解析力学_Lagrange形式編 72 Q. #ニュートン力学 の #運動方程式 と比べた場合 #ラグランジュ形式 の利点は？ A. 座標変換が簡単. #ニュートンの運動方程式 は ベクトルの方程式で， デカルト座標以外では 煩雑な座標変換が必要. 一方，ラグランジュ形式では #ラグランジアン はスカラー.

#解析力学_Lagrange形式編 64 Q. ラグランジュの #運動方程式 の両辺を 物理的に解釈 A. ①#ニュートンの運動方程式: F＝(d/dt)(【mv】) 力＝【運動量】の微分 ②#ラグランジュの運動方程式: ①を #一般化座標 に拡張. ∂L/∂q＝(d/dt)(【∂L / ∂q̇】) 一般化力＝【#一般化運動量】の微分

＜#解析力学の参考書＞ 「ロボットと解析力学」(2018有本) 前書きより: 『#ロボット の運動表現の #言語 は #オイラー-#ラグランジュ の #運動方程式 に 依拠するのが基本になる. 運動方程式に 何らかの #制御入力 を 働かせる方式を通し 企図したロボット作業が 遂行できるか考えてゆく.』

＜#解析力学の参考書＞ 「ロボットと解析力学」(2018有本) 前書きより 『(既存書は)多自由度の剛体系を 正面から取り扱う気配が無く， オイラーラグランジュの #運動方程式 の意義を #工学 分野に広げ 深めようとする観点や指向， 運動をいかにうまく #制御 するか という観点が無かった.』

#物理学をWebで独学・おすすめコンテンツ #EMANの力学 eman-physics.net/dynamics/conte… 全6部中1パート目 第1部:#運動量保存則 (3/7)#運動方程式 eman-physics.net/dynamics/diff.… (4/7)#作用・反作用 の法則 eman-physics.net/dynamics/act_r… #力学

【高2赤門会医進物理2年目】 高校物理の全範囲の履修が終了し、力学分野からの入試演習に入っています。 入試に向けて一足早く演習をしていきたい生徒さんには最適の講座となっています。体験への参加もお待ちしております。 #慣性力 #運動方程式 #鷗州塾難関大 #赤門会 #等加速度運動 pic.x.com/vSwDPxZ1fc

#解析力学_保存量と対称性編 8 Q. #解析力学 では #対称性 があれば #運動方程式 は変化しない. なぜそう言えるか A. #最小作用の原理 より 系の運動方程式は #作用 Sの変分 δS を0とおく事で導出される. #対称性 を持つ変換は 作用Sを不変に保ち 作用の変分δSも0のままで 運動方程式は不変.

#解析力学_Lagrange形式編 9 Q. #解析力学 において #最小作用の原理 とは A. principle of least action ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… ・「力学系の運動(時間発展)は #作用汎関数 Sを最小にするような軌道に沿い 実現される.」 ・「Sの停留点を計算すれば 系の #運動方程式 が得られる.」

#大学の力学_惑星の運動編 106 ここまでで， ベクトル形式の #運動方程式 を立て #微分方程式 を「#ベクトル のまま」解き #保存量 ↑e を導出し 惑星の #楕円軌道(#ケプラーの第１法則) を証明できた. 途中で使った #角運動量保存 は #ケプラーの第２法則(#面積速度一定)と 等価である.

#大学の力学_惑星の運動編 105 惑星の #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ (d/dt)↑e(t) ＝ 0 ↓ ↓ 両辺を積分する ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM － ↑r/r ↓ ↓ 両辺と ↑r の #内積 をとる ↓ #楕円軌道 (#ケプラーの第１法則)

#大学の力学_惑星の運動編 89 #ケプラーの第１法則 の 証明の流れを復習: #運動方程式 を立てる ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t)={(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM－↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる←★今ここ！ ↓ ↓ 両辺積分 ↓ #楕円軌道 を導出

#解析力学_保存量と対称性編 8 Q. #解析力学 では #対称性 があれば #運動方程式 は変化しない. なぜそう言えるか A. #最小作用の原理 より 系の運動方程式は #作用 Sの変分 δS を0とおく事で導出される. #対称性 を持つ変換は 作用Sを不変に保ち 作用の変分δSも0のままで 運動方程式は不変.

#大学の力学_惑星の運動編 85 ↑r/r という基本的な関数形を 時間微分するだけで， 惑星の #運動方程式 の右辺 つまり #重力 の項の #原始関数 が求まる。 そして，その右辺に合わせて 運動方程式の左辺も 「両辺で変形がそろうように ×(↑r×↑ṙ)しておこう」 という発想が生まれる。

#大学の力学_惑星の運動編 83 #惑星 の #運動方程式 ↑r̈=－(GM/r^3)↑r 変形し (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)－GM(↑r/r)}=↑0 ↓ (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM－↑r/r}=↑0 { } 内を ↑e=↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM－↑r/r とおけば (d/dt)↑e=↑0 ↑eは #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル.

#大学の力学_惑星の運動編 82 #惑星 の #運動方程式 ↑r̈=－(GM/r^3)↑r 両辺に×(↑r×↑ṙ)し ↑r̈×(↑r×↑ṙ) = －(GM/r^3){↑r×(↑r×↑ṙ)} 変形 (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)} = GM(d/dt)(↑r/r) 整理 (d/dt){ ↑ṙ×(↑r×↑ṙ)－GM(↑r/r) } = ↑0 #保存量 が現れた！

#大学の力学_惑星の運動編 81 ここまでまとめ: #惑星 の #運動方程式 ↑r̈ = －( GM / r^3 ) ↑r 両辺に ×(↑r×↑ṙ) すると 左辺 = ↑r̈ × (↑r×↑ṙ) = (d/dt){ ↑ṙ × (↑r×↑ṙ ) } 右辺 = －(GM/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } = GM (d/dt)( ↑r / r ) 両辺を積分できる！

#大学の力学_惑星の運動編 80 もともと #惑星 の #運動方程式 の右辺に現れる －(1/r^3) ↑r およびそれを変形した －(1/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } の #原始関数 を得たいのだった. 前ツイで (d/dt)( ↑r / r ) = －(1/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } を得たので，原始関数は ↑r / r.

#大学の力学_惑星の運動編 77 #ベクトル三重積 ↑b (↑a･↑c)－↑c (↑a･↑b) ① = ↑a×(↑b×↑c) #惑星 の #運動方程式 の右辺 (1/r^2){ ↑ṙ r － ↑r ṙ } = (1/r^3){ ↑ṙ r･r － ↑r ṙ･r } ② ①で ↑b=↑ṙ ↑c=↑r ↑a=↑r とおくと ② = (1/r^3){ ↑r×(↑ṙ×↑r) }

＜#大学の力学の参考書＞ 「天体と軌道の力学」(東大出版1998木下) 書評(1998長沢)より引用: jstage.jst.go.jp/article/sokuch… 『#摂動 が加わった場合の #運動 から 内容は多少 #高度 になる。 5章では #定数変化法 による #運動方程式 が 様々な形式で導き出されていて 実用上たいへん便利。』

#解析力学_Lagrange形式編 112 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#オストログラドスキーの定理 は 通常の物理系の #運動方程式 が 2階微分方程式として定式化される理由を 説明する，と解釈される」 #ニュートンの運動方程式 や #オイラー・ラグランジュ方程式 が 2階なのは このためなんですね.

＜#量子論の参考書＞ 「相対論とゲージ場の古典論を噛み砕く」 (2019松尾) 書評より: 『#変分原理 で現れる #リー微分 の簡潔な解説. #解析力学 の #運動方程式 が 任意の #座標系 で同じ形になる事. 勾配・発散・回転の表現が 座標系に大きく依存する一方 #外微分 が座標系に依らない事.』

#大学の力学_惑星の運動編 62 いま調べたいこと: 惑星の #運動方程式 の右辺に現れる －( 1 / r^3 ) ↑r およびそれを変形した －( 1 / r^3 ) ↑r × (↑r×↑ṙ) の #原始関数 を得たい. そのために， この式は「r の分数式」を含むので まずは小手調べで 1/r の時間微分を調べてみよう.

#大学の力学_惑星の運動編 61 #惑星 の #運動方程式 m ↑r̈(t) ＝ －( GMm / r^3 ) ↑r の両辺を #積分 して解くにあたり， 左辺の ↑r̈(t) は 「×(↑r×↑ṙ)」をかければ原始関数が分かる。 右辺も同じく 「×(↑r×↑ṙ)」をかければ積分可能になるだろうか？ 試してみよう。

#解析力学_Lagrange形式編 105 #オストログラドスキーの定理 theorem of Ostrogradsky ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 力学変数の高階微分を #運動方程式 に含むような系では， #ハミルトニアン が「下に非有界」となり， 物理的に不安定なモードが存在するため そのような系は「物理的ではない」.

#大学の力学_惑星の運動編 58 ベクトル形式の #運動方程式 を 上手に変形するため， 下記の式の時間微分を考えよう. ↑ṙ × (↑r×↑ṙ) #積の微分 公式より (d/dt) { ↑ṙ × (↑r×↑ṙ ) } = { (d/dt)( ↑ṙ ) } × (↑r×↑ṙ) + ↑ṙ × { (d/dt)(↑r×↑ṙ) } 計算を進めると…?

#大学の力学_惑星の運動編 57 互いに #平行 な2本の #ベクトル に対し その #外積 は ↑0 である。 ↑a // ↑b ならば ↑a × ↑b ＝ ↑0 さらに，↑b に ↑a を代入し ↑a × ↑a ＝ ↑0 も言える。 ∵ ↑a // ↑a これらの性質を使い， ベクトル形式の #運動方程式 を変形しよう。

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学 ― 可積分系講義」 (共立出版2000Audin) www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~kanehisa.taka… 著者による訂正表がある. 『あらゆる #可積分系 に 共通の方法である #Lax方程式 の方法を， #古典的 な #コマ の #運動方程式 を材料にして 丁寧にかつ わかりやすく解説している.』

#大学の力学_惑星の運動編 55 上手な式変形をするために， ベクトルの #外積 の性質を調べよう。 #惑星 の #運動方程式 m ↑r̈(t) ＝ －( GMm / r^3 ) ↑r が成り立つ時， 両辺を比較すると 左辺の ↑r̈ と 右辺の ↑r とは常に #平行 である。 ↑r̈ // ↑r この時 ↑r̈ × ↑r ＝ ↑0

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学 ― 可積分系講義」(共立出版2000Audin) kyoritsu-pub.co.jp/book/b10005638… 『本書は #コマ の #運動方程式 を通じて #有限次元可積分系 の #理論， 特にその #幾何学的 側面を紹介するという きわめて特色のある本である。』

＜#解析力学の参考書＞ 「力学」(2001大貫･吉田) 前書きより: 『5章では #運動方程式 が #解ける ための条件，つまり #積分可能性 の #判定条件 が #歴史的発展 も含め 詳しく議論される。 #近年 に #発展 した #力学系 の #複素解析 的な #アプローチ に 特に多くのページが割かれ…』

#大学の力学_惑星の運動編 54 #重力 だけが働く場合の #運動方程式 m ↑r̈(t) =( G mM / r^2 )( －↑r/r ) =－( G mM / r^3 ) ↑r ↓ ↑r̈(t)=－( GM / r^3 ) ↑r 両辺に，ある上手いベクトルを #外積 でかけると 上手な式変形ができ 二階微分を一階微分にできる。 そのベクトルとは…?

#大学の力学_惑星の運動編 53 #運動方程式 m ↑r̈(t) ＝ ↑F(t) の右辺で， #惑星 に働く力は，#重力 ↑F ＝ ( G mM / r^2 )( －↑r / r ) Mは #太陽 の質量 Gは #万有引力定数。 ( －↑r / r ) は， 地球から太陽の方向を向く #単位ベクトル。 つまり重力は ↑r と反対方向の #引力。

#大学の力学_惑星の運動編 52 #LRLベクトル という #保存量 を知り， 証明の方針が立ったので， ここからは実際に #ケプラーの第１法則 を示してゆこう。 惑星の位置を ↑r(t) 惑星の質量を m 惑星に働く力を ↑F(t) とすると， ベクトル形式の #運動方程式 は… m ↑r̈(t) ＝ ↑F(t)

＜#解析力学の参考書＞ 「力学」(岩波書店2001大貫･吉田) 前書きより: 『第Ⅰ部の基礎的な記述に対して， 第Ⅱ部においては， 「#解 を求めることに #重点 をおいた， #力学 そのものの #現代的 な #発展」 を論ずることにした。 #運動方程式 が #解ける とは どのようなことであるか…』

#大学の力学_惑星の運動編 49 #ケプラーの第１法則 と保存量の関係: #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r)'×( ↑r×(↑r)' ) }/GM－↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる. ↓ ↓ 両辺を積分 ↓ #楕円軌道 が導出される！

#解析力学_Lagrange形式編 72 Q. #ニュートン力学 の #運動方程式 と比べた場合 #ラグランジュ形式 の利点は？ A. 座標変換が簡単. #ニュートンの運動方程式 は ベクトルの方程式で， デカルト座標以外では 煩雑な座標変換が必要. 一方，ラグランジュ形式では #ラグランジアン はスカラー.