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#解析力学_Lagrange形式編 9 Q. #解析力学 において #最小作用の原理 とは A. principle of least action ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… ・「力学系の運動(時間発展)は #作用汎関数 Sを最小にするような軌道に沿い 実現される.」 ・「Sの停留点を計算すれば 系の #運動方程式 が得られる.」
#大学の力学_惑星の運動編 106 ここまでで, ベクトル形式の #運動方程式 を立て #微分方程式 を「#ベクトル のまま」解き #保存量 ↑e を導出し 惑星の #楕円軌道(#ケプラーの第1法則) を証明できた. 途中で使った #角運動量保存 は #ケプラーの第2法則(#面積速度一定)と 等価である.
#大学の力学_惑星の運動編 105 惑星の #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ (d/dt)↑e(t) = 0 ↓ ↓ 両辺を積分する ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM - ↑r/r ↓ ↓ 両辺と ↑r の #内積 をとる ↓ #楕円軌道 (#ケプラーの第1法則)
#大学の力学_惑星の運動編 89 #ケプラーの第1法則 の 証明の流れを復習: #運動方程式 を立てる ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t)={(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM-↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる←★今ここ! ↓ ↓ 両辺積分 ↓ #楕円軌道 を導出
#大学の力学_惑星の運動編 85 ↑r/r という基本的な関数形を 時間微分するだけで, 惑星の #運動方程式 の右辺 つまり #重力 の項の #原始関数 が求まる。 そして,その右辺に合わせて 運動方程式の左辺も 「両辺で変形がそろうように ×(↑r×↑ṙ)しておこう」 という発想が生まれる。
#大学の力学_惑星の運動編 83 #惑星 の #運動方程式 ↑r̈=-(GM/r^3)↑r 変形し (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)-GM(↑r/r)}=↑0 ↓ (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM-↑r/r}=↑0 { } 内を ↑e=↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM-↑r/r とおけば (d/dt)↑e=↑0 ↑eは #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル.
#大学の力学_惑星の運動編 82 #惑星 の #運動方程式 ↑r̈=-(GM/r^3)↑r 両辺に×(↑r×↑ṙ)し ↑r̈×(↑r×↑ṙ) = -(GM/r^3){↑r×(↑r×↑ṙ)} 変形 (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)} = GM(d/dt)(↑r/r) 整理 (d/dt){ ↑ṙ×(↑r×↑ṙ)-GM(↑r/r) } = ↑0 #保存量 が現れた!
#大学の力学_惑星の運動編 81 ここまでまとめ: #惑星 の #運動方程式 ↑r̈ = -( GM / r^3 ) ↑r 両辺に ×(↑r×↑ṙ) すると 左辺 = ↑r̈ × (↑r×↑ṙ) = (d/dt){ ↑ṙ × (↑r×↑ṙ ) } 右辺 = -(GM/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } = GM (d/dt)( ↑r / r ) 両辺を積分できる!
#大学の力学_惑星の運動編 80 もともと #惑星 の #運動方程式 の右辺に現れる -(1/r^3) ↑r およびそれを変形した -(1/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } の #原始関数 を得たいのだった. 前ツイで (d/dt)( ↑r / r ) = -(1/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } を得たので,原始関数は ↑r / r.
#大学の力学_惑星の運動編 77 #ベクトル三重積 ↑b (↑a・↑c)-↑c (↑a・↑b) ① = ↑a×(↑b×↑c) #惑星 の #運動方程式 の右辺 (1/r^2){ ↑ṙ r - ↑r ṙ } = (1/r^3){ ↑ṙ r・r - ↑r ṙ・r } ② ①で ↑b=↑ṙ ↑c=↑r ↑a=↑r とおくと ② = (1/r^3){ ↑r×(↑ṙ×↑r) }
#大学の力学_惑星の運動編 62 いま調べたいこと: 惑星の #運動方程式 の右辺に現れる -( 1 / r^3 ) ↑r およびそれを変形した -( 1 / r^3 ) ↑r × (↑r×↑ṙ) の #原始関数 を得たい. そのために, この式は「r の分数式」を含むので まずは小手調べで 1/r の時間微分を調べてみよう.
#大学の力学_惑星の運動編 61 #惑星 の #運動方程式 m ↑r̈(t) = -( GMm / r^3 ) ↑r の両辺を #積分 して解くにあたり, 左辺の ↑r̈(t) は 「×(↑r×↑ṙ)」をかければ原始関数が分かる。 右辺も同じく 「×(↑r×↑ṙ)」をかければ積分可能になるだろうか? 試してみよう。
#大学の力学_惑星の運動編 58 ベクトル形式の #運動方程式 を 上手に変形するため, 下記の式の時間微分を考えよう. ↑ṙ × (↑r×↑ṙ) #積の微分 公式より (d/dt) { ↑ṙ × (↑r×↑ṙ ) } = { (d/dt)( ↑ṙ ) } × (↑r×↑ṙ) + ↑ṙ × { (d/dt)(↑r×↑ṙ) } 計算を進めると…?
#大学の力学_惑星の運動編 54 #重力 だけが働く場合の #運動方程式 m ↑r̈(t) =( G mM / r^2 )( -↑r/r ) =-( G mM / r^3 ) ↑r ↓ ↑r̈(t)=-( GM / r^3 ) ↑r 両辺に,ある上手いベクトルを #外積 でかけると 上手な式変形ができ 二階微分を一階微分にできる。 そのベクトルとは…?
#大学の力学_惑星の運動編 52 #LRLベクトル という #保存量 を知り, 証明の方針が立ったので, ここからは実際に #ケプラーの第1法則 を示してゆこう。 惑星の位置を ↑r(t) 惑星の質量を m 惑星に働く力を ↑F(t) とすると, ベクトル形式の #運動方程式 は… m ↑r̈(t) = ↑F(t)
#大学の力学_惑星の運動編 49 #ケプラーの第1法則 と保存量の関係: #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r)'×( ↑r×(↑r)' ) }/GM-↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる. ↓ ↓ 両辺を積分 ↓ #楕円軌道 が導出される!
#大学の力学_惑星の運動編 41 物理で,#運動方程式 などの #微分方程式 を解くコツは ズバリ「時間不変の #保存量 を見つけること」. 時間不変(時間変化がゼロ)とは (d/dt)(何かの関数)=0 ↑ この「何かの関数」が保存量. 保存量を作れたら微分方程式は「解ける」. なぜそう言える?