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#大学の力学_惑星の運動編 94 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル である 定ベクトル ↑e と, 惑星の #位置ベクトル ↑r(t) との #内積 をとると… ↑e・↑r(t) = e r cosθ = e r(t) cos θ(t) ※eはある定数 となり, この r(t), θ(t) で #極座標 を設定可能になる。

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#大学の力学_惑星の運動編 92 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) は定ベクトルだから, この #ベクトル の向きは 「3次元空間内に固定されたまま ある一方向を常に向く。」 ということは…, この ↑e を「#座標系 の基準軸」として使える, という事になる。

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#大学の力学_惑星の運動編 91 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) が #保存量 であり, 定ベクトルである… …ということは, この #ベクトル の大きさについて | ↑e(t) | = e (ある定数) と書ける。 では ベクトルの向きについてはどうか?

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#大学の力学_惑星の運動編 90 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM - ↑r / r について (d/dt)↑e = ↑0 …ということは, この #ベクトル ↑e は 一見すると時間の関数だが, 実際には時間変化せず 定ベクトルである,という事を意味する。

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#大学の力学_惑星の運動編 89 #ケプラーの第1法則 の 証明の流れを復習: #運動方程式 を立てる ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t)={(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM-↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる←★今ここ! ↓ ↓ 両辺積分 ↓ #楕円軌道 を導出

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#大学の力学_惑星の運動編 83 #惑星#運動方程式 ↑r̈=-(GM/r^3)↑r 変形し (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)-GM(↑r/r)}=↑0 ↓ (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM-↑r/r}=↑0 { } 内を ↑e=↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM-↑r/r とおけば (d/dt)↑e=↑0 ↑eは #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル.

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#大学の力学_惑星の運動編 49 #ケプラーの第1法則 と保存量の関係: #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r)'×( ↑r×(↑r)' ) }/GM-↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる. ↓ ↓ 両辺を積分 ↓ #楕円軌道 が導出される!

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#大学の力学_惑星の運動編 47 エゴサ用に検索リンクを作っておいた。 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル (#LRLベクトル)のさまざまな表記ゆれを吸収して 一括ツイート検索。 ↓ x.com/search?q=%22%e… .

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#大学の力学_惑星の運動編 46 同じものを指すのに, 表記ゆれが大きいので エゴサで検索しづらい…。 ・#ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ・Laplace-Runge-Lenz ベクトル ・#ラプラスベクトル ・Laplaceベクトル ・#ルンゲ・レンツベクトル ・Runge-Lenzベクトル ・#LRLベクトル

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#大学の力学_惑星の運動編 45 #ルンゲ・レンツベクトル(Runge–Lenz vector) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB… 逆二乗則に従う #中心力 の下の運動 (#ケプラー問題)における #保存量 の1つ。 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル (Laplace–Runge–Lenz vector,#LRLベクトル) とも呼ばれる。

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#大学の力学_惑星の運動編 44 #角運動量 ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) は わりと単純な形をしている。 いっぽう #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r) ' × ( ↑r × (↑r) ' ) } / GM - ↑r / r は ↑L よりは複雑な式。 ↑L(t) も ↑e(t) も 時間変化しない #保存量

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#大学の力学_惑星の運動編 43 #ケプラーの第2法則(#面積速度一定) において,系の #保存量 は ・#角運動量 ↑L または ・#面積速度 d↑S/dt だった。 いっぽう #ケプラーの第1法則(#楕円軌道) において,系の保存量は ↑L と別に #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e がある。

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