#解析力学_Hamilton形式編 46 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p を #ポアソン括弧 を使い書き直せ A. 前ツイまでの計算により {p_i, H}＝－∂H/∂q_i {q_i, H}＝∂H/∂p_i ∴ ṗ_i＝{p_i, H} q̇_i＝{q_i, H} ※上記は ∂X/∂t＝0 の時 Ẋ＝dX/dt＝{X, H} という結果と一致する.

#解析力学_Hamilton形式編 26 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p それぞれ何を求めるための物? A. ①Lを求めるのではなく q(t)を求めるための方程式. ②Hを求めるのではなく q(t)とp(t)を求めるための方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 21 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p に従う物理量が #相空間 内で描く軌道は 決して交差しない と言えるのはなぜか A. 軌道上の1点(q,p)を指定した時 ハミルトン方程式の左辺から その1点の時間変化の方向ベクトルが 相空間内でただ一通りに定まるため

＜#解析力学の参考書＞ 「解析力学と微分形式」(岩波書店1996) amazon.co.jp/dp/4000106260 前書きより: 『#微分形式 は， 様々な #演算 が #座標変換 で #不変 であるように 工夫された #概念 である。 これを使うことで #ハミルトン方程式 の #座標不変 な #性質 を 調べることができる。』

#解析力学_Hamilton形式編 20 Q. H(q,p)の #ハミルトン方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p 階数は? A. H(q,p)はq,pの一階微分を含まない. 右辺の ∂/∂qと ∂/∂pは H内のq,pの時間微分の階数を上げない. 左辺はq,pの一階微分. ∴q,pのtによる一階微分を含み q,pに関し各々一階の連立微分方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 19 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② ↑ この式の①②右辺の ∂H/∂q と ∂H/∂p は 微分方程式の階数を上げない と言えるのはなぜ？ A. Hをqやpで偏微分しても Hに含まれるq, pは 時間微分の階数が増えず q, pのまま.

#解析力学_Hamilton形式編 18 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② は， Hではなくq,pに関する微分方程式. ①②の左辺にある時間微分のドット すなわち (d/dt) の部分は 微分方程式の階数を生む？ A. 階数を生む. ①②の左辺はq,pに関し一階微分の量.

#解析力学_Hamilton形式編 17 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ=-∂H/∂q① q̇= ∂H/∂p② はHではなくq,pに関する微分方程式で 1)①左:tで全微分 2)①右:qで偏微分 3)②左:tで全微分 4)②右:pで偏微分 の4か所に微分がある. このうち 微分方程式の「階数」を上げるのはどれ? A. (1)と(3)

#解析力学_Hamilton形式編 16 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② ↑ これって 「Hを求めるための微分方程式」じゃないの？ A. H(＝q̇p－L)はすでにわかっているとして H(q,p)をqとpで表記したものを①②に代入したら q(t)，p(t) という時間軌跡が求まる.

#解析力学_Hamilton形式編 15 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ 左辺は時間での一階微分 右辺はq,pでの一階の偏微分。 p,q,Hのどれも微分の階数は最大で一階だから ハミルトン方程式は1階の連立微分方程式？ A. ちょっと違う. 階数を考える時にはHを残さない.

#解析力学_Hamilton形式編 14 #ハミルトン方程式 絵かき歌♪ 上から下へpとq 下から上へpとq p↓　　 q↑ q↓　　 p↑ マイナス付けて ドットして ṗ -　　 q q̇ 　　　p デルエイチ デル デルエイチ デル ṗ -[∂H/∂]q q̇ [∂H/∂]p イコール結んで出来上がり! ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 12 Q. #ハミルトン方程式 とは A. ṗ ＝ － ∂H / ∂q q̇ ＝ 　 ∂H / ∂p #ハミルトン力学 で， #正準変数 と #ハミルトニアン の偏微分の間の関係式. ṗ の式中のマイナスを忘れずに. 別名 #正準方程式(canonical equations). #ハミルトンの正準方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 47 Q. ṗ_i={p_i, H} q̇_i={q_i, H} #ハミルトン方程式 を 偏微分記号の代わりに #ポアソン括弧 を使って書き直すと 何が嬉しい？ A. ・負号が無く2式がより対称. ・「#ハミルトニアン とのポアソン括弧は時間微分に相当」というハミルトニアンの意味がより強調される.

#解析力学_Hamilton形式編 46 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p を #ポアソン括弧 を使い書き直せ A. 前ツイまでの計算により {p_i, H}＝－∂H/∂q_i {q_i, H}＝∂H/∂p_i ∴ ṗ_i＝{p_i, H} q̇_i＝{q_i, H} ※上記は ∂X/∂t＝0 の時 Ẋ＝dX/dt＝{X, H} という結果と一致する.

#解析力学_Hamilton形式編 47 Q. ṗ_i={p_i, H} q̇_i={q_i, H} #ハミルトン方程式 を 偏微分記号の代わりに #ポアソン括弧 を使って書き直すと 何が嬉しい？ A. ・負号が無く2式がより対称. ・「#ハミルトニアン とのポアソン括弧は時間微分に相当」というハミルトニアンの意味がより強調される.

#解析力学_Hamilton形式編 46 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p を #ポアソン括弧 を使い書き直せ A. 前ツイまでの計算により {p_i, H}＝－∂H/∂q_i {q_i, H}＝∂H/∂p_i ∴ ṗ_i＝{p_i, H} q̇_i＝{q_i, H} ※上記は ∂X/∂t＝0 の時 Ẋ＝dX/dt＝{X, H} という結果と一致する.

#解析力学_Hamilton形式編 26 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p それぞれ何を求めるための物? A. ①Lを求めるのではなく q(t)を求めるための方程式. ②Hを求めるのではなく q(t)とp(t)を求めるための方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 21 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p に従う物理量が #相空間 内で描く軌道は 決して交差しない と言えるのはなぜか A. 軌道上の1点(q,p)を指定した時 ハミルトン方程式の左辺から その1点の時間変化の方向ベクトルが 相空間内でただ一通りに定まるため

＜#解析力学の参考書＞ 「解析力学と微分形式」(岩波書店1996) amazon.co.jp/dp/4000106260 前書きより: 『#微分形式 は， 様々な #演算 が #座標変換 で #不変 であるように 工夫された #概念 である。 これを使うことで #ハミルトン方程式 の #座標不変 な #性質 を 調べることができる。』

#解析力学_Hamilton形式編 20 Q. H(q,p)の #ハミルトン方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p 階数は? A. H(q,p)はq,pの一階微分を含まない. 右辺の ∂/∂qと ∂/∂pは H内のq,pの時間微分の階数を上げない. 左辺はq,pの一階微分. ∴q,pのtによる一階微分を含み q,pに関し各々一階の連立微分方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 19 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② ↑ この式の①②右辺の ∂H/∂q と ∂H/∂p は 微分方程式の階数を上げない と言えるのはなぜ？ A. Hをqやpで偏微分しても Hに含まれるq, pは 時間微分の階数が増えず q, pのまま.

#解析力学_Hamilton形式編 18 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② は， Hではなくq,pに関する微分方程式. ①②の左辺にある時間微分のドット すなわち (d/dt) の部分は 微分方程式の階数を生む？ A. 階数を生む. ①②の左辺はq,pに関し一階微分の量.

#解析力学_Hamilton形式編 17 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ=-∂H/∂q① q̇= ∂H/∂p② はHではなくq,pに関する微分方程式で 1)①左:tで全微分 2)①右:qで偏微分 3)②左:tで全微分 4)②右:pで偏微分 の4か所に微分がある. このうち 微分方程式の「階数」を上げるのはどれ? A. (1)と(3)

#解析力学_Hamilton形式編 16 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② ↑ これって 「Hを求めるための微分方程式」じゃないの？ A. H(＝q̇p－L)はすでにわかっているとして H(q,p)をqとpで表記したものを①②に代入したら q(t)，p(t) という時間軌跡が求まる.

#解析力学_Hamilton形式編 15 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ 左辺は時間での一階微分 右辺はq,pでの一階の偏微分。 p,q,Hのどれも微分の階数は最大で一階だから ハミルトン方程式は1階の連立微分方程式？ A. ちょっと違う. 階数を考える時にはHを残さない.

#解析力学_Hamilton形式編 14 #ハミルトン方程式 絵かき歌♪ 上から下へpとq 下から上へpとq p↓　　 q↑ q↓　　 p↑ マイナス付けて ドットして ṗ -　　 q q̇ 　　　p デルエイチ デル デルエイチ デル ṗ -[∂H/∂]q q̇ [∂H/∂]p イコール結んで出来上がり! ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 12 Q. #ハミルトン方程式 とは A. ṗ ＝ － ∂H / ∂q q̇ ＝ 　 ∂H / ∂p #ハミルトン力学 で， #正準変数 と #ハミルトニアン の偏微分の間の関係式. ṗ の式中のマイナスを忘れずに. 別名 #正準方程式(canonical equations). #ハミルトンの正準方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 26 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p それぞれ何を求めるための物? A. ①Lを求めるのではなく q(t)を求めるための方程式. ②Hを求めるのではなく q(t)とp(t)を求めるための方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 21 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p に従う物理量が #相空間 内で描く軌道は 決して交差しない と言えるのはなぜか A. 軌道上の1点(q,p)を指定した時 ハミルトン方程式の左辺から その1点の時間変化の方向ベクトルが 相空間内でただ一通りに定まるため

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」 (岩波書店2005砂田) 『特に， #結晶格子 の #格子振動 について その #物理現象 と #数学的構造 の 両面から論じる.』 レビュー欄には， 「#ハミルトン方程式 が #力学 と #量子力学 を つないでいる点を学べた.」 とのコメントがある.

#解析力学_Hamilton形式編 20 Q. H(q,p)の #ハミルトン方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p 階数は? A. H(q,p)はq,pの一階微分を含まない. 右辺の ∂/∂qと ∂/∂pは H内のq,pの時間微分の階数を上げない. 左辺はq,pの一階微分. ∴q,pのtによる一階微分を含み q,pに関し各々一階の連立微分方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 19 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② ↑ この式の①②右辺の ∂H/∂q と ∂H/∂p は 微分方程式の階数を上げない と言えるのはなぜ？ A. Hをqやpで偏微分しても Hに含まれるq, pは 時間微分の階数が増えず q, pのまま.

#解析力学_Hamilton形式編 18 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② は， Hではなくq,pに関する微分方程式. ①②の左辺にある時間微分のドット すなわち (d/dt) の部分は 微分方程式の階数を生む？ A. 階数を生む. ①②の左辺はq,pに関し一階微分の量.

#解析力学_Hamilton形式編 17 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ=-∂H/∂q① q̇= ∂H/∂p② はHではなくq,pに関する微分方程式で 1)①左:tで全微分 2)①右:qで偏微分 3)②左:tで全微分 4)②右:pで偏微分 の4か所に微分がある. このうち 微分方程式の「階数」を上げるのはどれ? A. (1)と(3)

#解析力学_Hamilton形式編 16 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② ↑ これって 「Hを求めるための微分方程式」じゃないの？ A. H(＝q̇p－L)はすでにわかっているとして H(q,p)をqとpで表記したものを①②に代入したら q(t)，p(t) という時間軌跡が求まる.

#解析力学_Hamilton形式編 15 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ 左辺は時間での一階微分 右辺はq,pでの一階の偏微分。 p,q,Hのどれも微分の階数は最大で一階だから ハミルトン方程式は1階の連立微分方程式？ A. ちょっと違う. 階数を考える時にはHを残さない.

#解析力学_Hamilton形式編 14 #ハミルトン方程式 絵かき歌♪ 上から下へpとq 下から上へpとq p↓　　 q↑ q↓　　 p↑ マイナス付けて ドットして ṗ -　　 q q̇ 　　　p デルエイチ デル デルエイチ デル ṗ -[∂H/∂]q q̇ [∂H/∂]p イコール結んで出来上がり! ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 12 Q. #ハミルトン方程式 とは A. ṗ ＝ － ∂H / ∂q q̇ ＝ 　 ∂H / ∂p #ハミルトン力学 で， #正準変数 と #ハミルトニアン の偏微分の間の関係式. ṗ の式中のマイナスを忘れずに. 別名 #正準方程式(canonical equations). #ハミルトンの正準方程式.